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文档简介
1、序列及其极限7-A 序列定义日常英语中,词“sequence”和“series”是同义词,它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上,这两个词有特殊专业含义,如通常用法一样,术语“sequence”表示按顺序排列的一串东西,而词“series”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念,而级数将在第十一节定义。如果对于每个正整数n都存在一个实数或复数an与之对应,则有序集a1,a2,an,称为无穷序列。这里重要的是,集合中的每一个元素都用正整数来标记,因此我们可以说,第一项a1,第二项a2,一般地,第n项an。每一项an都有下一项an+1,因此没有“最后”一项。序列最常用的例子是,给定
2、某种规则或公式来描述第n项。因此,例如,公式an=1/n定义了一个序列,它的前五项是:1,1/2,1/3,1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式,例如,a2n-1=1,a2n=2n2,在这种情况下,前几项是:1,2,1,8,1,18,1,32,1.另一种通常定义序列的方法是:通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有,对n2,a1=a2=1,an+1=an+an-1。这个特殊规则就是常见的递推公式,它定义了一个著名的称为Fibonacci数的序列,前几项是1,1,2,3,5,8,13,21,34.对任一序列,本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f使得对每一个n=1,2
3、,3,f(n)是序列的第n项。事实上,这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。定义:定义域是所有正整数1,2,3,的函数称为无穷序列。函数值f(n)称为序列的第n项。函数的值域(即函数值集合)通常是按顺序书写各项来表示,因此:f(1), f(2), f(3),f(n),.为简略起见,记号f(n)通常用于表示第n项是f(n)的序列,序列各项对n的相关性常常通过利用下标来表示,我们可以写为an, sn, xn, un,或者类似的东西来替代f(n)。除非特别声明,本章所有序列都假设具有实的或复的项。7B 序列极限这里,我们最关心的问题是决定当n无限增加时,项f(n)是否会趋于一个有限的极限。要处理这个
4、问题,我们必须将极限概念推广到序列。做法如下:定义:说序列f(n)有极限L,如果对每一的正数都存在另一个正数N(可能依赖于)使得对所有的nN有| f(n)-L|<.在这种情况下,我们说序列f(n)收敛到L,记为不收敛的序列称为发散。在这个定义中,函数值f(n)和极限L可以是实数或者复数。如果f(n)和L是复数,我们可将它们分解成实部和虚部,记为f=u+iv, L=a+ib, 则有f(n)-L= u(n)- a+iv(n)-b. 不等式表明当 反过来,不等式表明当 换句话说,复值序列f收敛当且仅当实部u和虚部v分别收敛,这是有显然,对所有正实数x有定义的函数都可以通过限制x仅取正整数来构造序列,这表明,刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限,我们把定义记号留给读者,就像在6.5节当f是实值时那样做,如果f是复的,就记术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列,具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列,有下列公式定义的序列,就是例子,作为讨
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