分式运算中的常用技巧与方法

1、分式运算中的常用技巧与方法 1 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到 事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、 整体通分法2例 1化简： a -a-1a1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：a12a-a-1=a22aa-(a+1)=1a122(a 1)(a 1) a2 (a2 1) 1a1a1a1二、 逐项通分法例 2计算1ab1ab2b -2 2 - 4aba4b3b4分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：a b a2b 4b3- 2 2 - 4 4b a b a b(a b) (

2、a b)a2 b22ba2 b2a44b3b42ba2 b22ba2 b24b3a4 b42b(a2 b2)2b(a 2 b2) a4 b44b3a4 b44b3a4 b44b3 a4 b4 =0a2三、 先约分，后通分a 6a例 3计算： 2 + 2a2 2a a2 4a 4分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解： a22 6a +a2 2a2a2=+ a2 4a 4 a(a 2) (a4 a(a 6) (a 2)(a2)2) a 6+2a2a24=2a22a四、 整体代入法例 4已知1 =5 求 2x 5xy 2y 的值y x 2xy y解法 1： 1+ 1 =5xy0,.所以

3、 2x 5xy 2yx y x 2xy yy121 yx112( )xy112xy52555= 5 2 = 7解法 2：由 1 + 1 =5 得，xyx y =5,xyx+y=5xy2x 5xy 2y 2(xy) 5xyx 2xy y (x y) 2xy2 5xy 5xy 5xy 55xy 2xy 7xy 7五、 运用公式变形法14a1解：由已知条件可得 a0, a+ =5a111 a4+ 4 =(a2+ 2 )2-2=( a+ )2-2 2-2=(52-2)2-2=52742a例 5已知 a2-5a+1=0 ，计算 a4+ 4aa六、 设辅助参数法bc例 6已知ac解：设 b a 把这 3

4、个等式相加得 若 a+b+c=0 ， a+b= -c, 则 k= -1 若 a+b+c 0，则 k=2 (a b)(b c)(c a) ak bk ck 3= =kb2(a+b+c)= (a+b+c)ka b ，计算： (a b)(b c)(c a) cb =k，则 b+c=ak ； cabca+c=bk ； a+b=ck ；abc 当 k=-1 时，原式 = -1 当 k=2 时，原式 = 8 七、 应用倒数变换法abc例 7已知 2 aa21=7，2a2a的值1解：由条件知a 0, a11a+ =a7a4a2 1a2=a2+1215122 +1=(a+ )2-1= a2a 492a42a

5、a 1 1549八、 取常数值法例 8已知：xyz0,x+y+z=0, 计算 y z+x z+ x yy解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2.yzxzxy则 + +=-3. 当然本题也可以设为其他合适的常数。xyz222 abc ab bc ac九、 把未知数当成已知数法例 9已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0, 计算 :解：把 c 当作已知数，用 c 表示 a,b 得 ,a=3c, b=2c2 2 2 2 a b c 14c 14 = 2 = .ab bc ac 11c 11十、 巧用因式分解法例 10已知 a+b+c=0 ，计算22 ab 2 + 2 2a2 bc 2b2c

6、2ac 2c2ab解 : a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2 2 2 2 2a +bc=a +a +bc=a +a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)2+ab=(c-a)(c-b)2同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2cb22a2 bc + 2b22 c ac 2c2b2ab(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a) (c-a)(c-b)a2b2c2-+(a-b)(a-c) (a-b)(b-c) (c-a)(c-b)a2(bc) b2(a c) c2(a b)(a b)(a c)(b c)a2(b c) b2a b2c c2a c2b a2(b c) a(b c)(b c) bc(b c)(a b)