第八模块复变函数PPT课件

1、一、孤立奇点一、孤立奇点二、留数的概念二、留数的概念第八模块第八模块 复变函数复变函数第九节留数第九节留数三、留数的计算三、留数的计算四、留数的应用四、留数的应用奇点：奇点：函数f(z)的不解析点。一、孤立奇点一、孤立奇点（一）孤立点的有关概念（一）孤立点的有关概念 z0为f(z)的孤立奇点：孤立奇点：函数f(z)在z0点不解析，但在z0点的某去心邻域 0z-z0内处处解析。.,:)()(,iizzzzzf0121有有三三个个孤孤立立奇奇点点如如。zezzzz为为孤孤立立奇奇点点都都是是以以又又011,sin,一、孤立奇点一、孤立奇点（二）孤立点的分类（二）孤立点的分类的的某某去去心心邻邻域域

2、则则在在的的孤孤立立奇奇点点是是设设00zzfz,)(定义定义:)(,|的的洛洛朗朗级级数数为为内内zfzz 000100nnnnnnzzczzczf)()()(的的为为则则称称项项的的洛洛朗朗级级数数中中没没有有负负幂幂)(,)()(zfzzf01可去奇点可去奇点。的的为为则则称称个个负负幂幂项项的的洛洛朗朗级级数数中中只只有有有有限限)(,)()(zfzzf02极点极点。10101010)()()()(zzcczzczzczfmm若若的的为为则则称称)(zfz0m级极点级极点。的的为为则则称称个个负负幂幂项项的的洛洛朗朗级级数数中中有有无无穷穷多多)(,)()(zfzzf03本性奇点。本性

3、奇点。一、孤立奇点一、孤立奇点（二）孤立点的分类（二）孤立点的分类例例 1。并并指指出出其其类类型型点点求求一一下下列列函函数数的的孤孤立立奇奇,;)()(zezfz11;)()()(2112zzzf.sin)()(zzf13（三）极点的判别（三）极点的判别定理定理:级级极极点点的的为为mzfzz)(01. 利用利用的形式的形式)(zfmzzzgzf)()()(0.)(,|)(000zgzzzg且且内内的的解解析析函函数数是是其其中中 例例 2。zzzzf并并指指出出其其级级数数的的极极点点求求函函数数,)()(321122. 利用函数的零点与极点的关系来判别利用函数的零点与极点的关系来判别的

4、某邻域内满足的某邻域内满足在在若解析函数若解析函数0zzf)(0000100)(,)()()()()(zfzfzfzfmm且且的的为为则称则称)(zfz0m级零点。级零点。（三）极点的判别（三）极点的判别定理定理:级级极极点点的的为为mzfzz)(02. 利用函数的零点与极点的关系来判别利用函数的零点与极点的关系来判别。mzfzz级级零零点点的的为为)(10例例 3求下列函数极点求下列函数极点;)()(211zezfz;sin)()(zzf12.)()()(1133zzzzf一、孤立奇点一、孤立奇点,|)(,)(内内解解析析在在的的孤孤立立奇奇点点为为设设 000zzzfzfzz二、留数的定义

5、二、留数的定义CdzzfiRzzC)(,| 210则则积积分分是是任任意意正正向向圆圆周周处处的的在在称称为为0zzf)(留数。留数。记记为为.)(,)(ReCdzzfizzfs 210三、留数的计算三、留数的计算的的去去心心在在处处的的留留数数等等于于在在孤孤立立奇奇点点解解析析函函数数00zzfzzf)()(即即项项对对应应的的系系数数内内的的洛洛朗朗展展开开式式的的,)(|11000czzzz .)(,)(Re1021cdzzfizzfsC 1.利用洛朗展式计算留数利用洛朗展式计算留数例例 4。zzezfz处的留数处的留数在孤立奇点在孤立奇点求求01)(例例 5。zzezfz处的留数处的

6、留数在孤立奇点在孤立奇点求求01)(例例 6。zzzzf处的留数处的留数在孤立奇点在孤立奇点求求1211)()(三、留数的计算三、留数的计算2.极点处的留数计极点处的留数计算算则则级级极极点点的的函函数数设设,)(mzfz0.)()(lim)!(,)(Rezfzzzddmczzfsmmmzz01110011有有的的一一级级极极点点时时为为当当,)(zfz0.)()(lim,)(Rezfzzzzfszz000有有的的二二级级极极点点时时为为当当,)(zfz0. )()(lim,)(Rezfzzzzfszz2000例例 7。zzzf处处的的留留数数在在奇奇点点求求531)(四、留数的应用四、留数的应用CDDCzf为为边边界界的的闭闭区区域域在在以以简简单单闭闭曲曲线线设设函函数数)(. ,)(Re)(nkkCzzfsidzzf12 则则1. 留数定理留数定理例例 8计计算算下下积积分分,内内的的孤孤立立奇奇点点为为其其中中外外解解析析上上除除点点Dzzzzzznn21212. 留数定理的应用留