高数符号总结（合集）

1、高数符号总结（合集）简介第一篇：高数符号总结数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率。运算符号 除号（÷或） 两个集合的并集（） 交集（） 根号（） 对数（log，lg，ln），比（：） 微分（dx） 积分（） 曲线积分（）等。结合符号 如小括号“（）”中括号“”，大括号“”横线“”省略符号 三角形（） 直角三角形（rt） x的函数（f(x)） 极限（lim） 角（），因为，（一个脚站着的，站不住）所以，（两个脚站着的，能站住）总和（） 连乘（） 从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（c(r)(n) ） 幂（a，ac，aq，xn）等。排列组合符号 c-组合数a-

2、排列数 n-元素的总个数 r-参与选择的元素个数 !-阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120 c-combination- 组合a-arrangement-排列离散数学符号（未全） 全称量词 存在量词 断定符（公式在l中可证） 满足符（公式在e上有效，公式在e上可满足） 命题的“非”运算 命题的“合取”（“与”）运算 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 命题的“条件”运算? 命题的“双条件”运算的ab 命题a 与b 等价关系 a=>b 命题 a与 b的蕴涵关系a* 公式a 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当 命题的“与非” 运算（

3、 “与非门” ） 命题的“或非”运算（ “或非门” ） 模态词“必然” 模态词“可能” 空集 属于（?不属于）p（a） 集合a的幂集 |a| 集合a的点数 r2=rr rn=r(n-1)r 关系r的“复合” 阿列夫 包含 （或下面加 ） 真包含 集合的并运算 集合的交运算 - （） 集合的差运算 限制 x(右下角r) 集合关于关系r的等价类a/ r 集合a上关于r的商集a 元素a 产生的循环群 i (i大写) 环，理想 z/(n) 模n的同余类集合r(r) 关系 r的自反闭包s(r) 关系 的对称闭包 cp 命题演绎的定理（cp 规则） eg 存在推广规则（存在量词引入规则）es 存在量词特指

4、规则（存在量词消去规则）ug 全称推广规则（全称量词引入规则）us 全称特指规则（全称量词消去规则）r 关系r 相容关系 rs 关系 与关系 的复合domf 函数 的定义域（前域）ranf 函数 的值域 f:xy f是x到y的函数gcd(x,y) x,y最大公约数 lcm(x,y) x,y最小公倍数 ah(ha) h 关于a的左（右）陪集 ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）1，n 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离 d(v) 点v的度数g=(v,e) 点集为v，边集为e的图w(g) 图g的连通分支数k(g) 图g的点连通度（g) 图g的最大点度a(g) 图g的邻接矩阵

5、p(g) 图g的可达矩阵m(g) 图g的关联矩阵c 复数集 n 自然数集（包含0在内）n* 正自然数集p 素数集q 有理数集r 实数集z 整数集set 集范畴 top 拓扑空间范畴ab 交换群范畴grp 群范畴 mon 单元半群范畴 ring 有单位元的（结合）环范畴rng 环范畴 crng 交换环范畴 r-mod 环r的左模范畴mod-r 环r的右模范畴field 域范畴poset 偏序集范畴 数学符号的意义 符号(symbol) 意义(meaning) >> 远远大于号?) 求极限 f(z) f关于z的m阶导函数c(n:m) 组合数,n中取m p(n:m) 排列数m|n m整除

6、n mn m与n互质a a a属于集合a#a 集合a中的元素个数 第二篇：高一数学集合符号总结高一集合符号总结 定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。任何集合是它自身的子集. 元素与集合的关系： 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合的分类: 并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作ab（或ba），读作“a并b”（或“b并a”），即ab=x|xa,或xb 交集： 以属于a且属于b的元素为元素的集合称为a与b的交（集），记作ab（或ba），读作“a交b”（或“b交a”），即ab=x|xa,

7、且xb 例如，全集u=1，2，3，4，5 a=1，3，5 b=1，2，5 。那么因为a和b中都有1,5，所以ab=1，5 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说ab=1，2，3，5。 图中的阴影部分就是ab。 无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集：令n+是正整数的全体，且nn=1，2，3，n,如果存在一个正整数n，使得集合a与nn一一对应，那么a叫做有限集合。 差：以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差（集） 注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 补集：属于全集u不属于集合a的元素组成的

8、集合称为集合a的补集，记作cua，即cua=x|xu,且x不属于a 空集也被认为是有限集合。 例如，全集u=1，2，3，4，5 而a=1，2，5 那么全集有而a中没有的3，4就是cua，是a的补集。cua=3，4。 在信息技术当中，常常把cua写成a。 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。 说明一下：如果集合 a 的所有元素同时都是集合 b 的元素，则 a 称作是 b 的子集，写作 a b。若 a 是 b 的子集，且 a

9、不等于 b，则 a 称作是 b 的真子集，写作 a b。回答人的补充 2009-07-17 16:29 集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。1.列举法常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3， 2.描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|p（x为该集合的元素的一般形式，p为这个集合的元素的共同属性）如：小于的正实数组成的集合表示为：x|0 3.图式法（venn图）为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。 4.

10、自然语言 常用数集的符号： （1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作n （2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作n+（或n*） （3）全体整数的集合通常称作整数集，记作z （4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作q （5）全体实数的集合通常简称实数集，记作r （6）复数集合计作c 第三篇：高数总结高数总结 公式总结： 1.函数定义域 值域 y=arcsinx -1,1 -/2, /2 y=arccosx -1,1 0, y=arctanx (-，+) （-/2, /2） y=arccotx (-，+) (0, ) y=shx (-，+) (-，+)奇函数，递增

11、 y=chx (-，+) 1, +)偶函数，(-，0)递减 y=thx (-，+) (-1,1)奇函数，递增 y=arshx (-，+) (-，+)奇函数，递增 y=archx 1，+) 0，+)递增y=arthx (-1,1) 奇函数，递增 2.双曲函数和反双曲函数： shx = (ex - e(-x)/2, sh(x+y)=shxchy+chxshy (shx) ' =chx sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = (ex + e(-x)/2 ch(x+y)=chxchy+shxshy , (chx) ' =shx ch(x-y)=chxchy-shxshy

12、 thx = shx / chx, (chx)2-(shx)2=1 (thx) ' = 1/(chx)2 sh2x=2shxchx arsh x = ln x+ (x2+1)(1/2) ch2x=(chx)2+(shx)2 , (arsh x) ' = 1/ (x2+1)(1/2) arch x = ln x+ (x2-1)(1/2) , (arch x) ' = 1/ (x2-1)(1/2) arth x =(1/2) ln(1+x)/(1-x) , (arth x) ' = 1/(1-x2) 我只记得考了几个这里的公式，不过不记得是哪次考试了，所以就给你们写

13、上咯3.对于x趋近于，f(x)/g(x)的极限，f(x)和g(x)均为多项式时，分子分母同时除以其中x的最高次项，利用x趋近于时，由1/(xk)的极限为0（k>0）,可以求得结果。 4.极限存在准则： 夹逼准则:证明极限存在并求得极限 单调有界准则：仅用于证明极限存在，对于有递推式的数列比较常用。一般都是先根据单调有界准则证明极限存在 p54例3 p55例5 5.两个重要极限： （1）当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1 （2）当x趋近于时，（1+1/x）x的极限为e,也可以说当x趋近于0时，(1+x)(1/x)的极限为e,但是不能说当x趋近于0时，（1+1/x）x的极限为e.要求（

14、1+在x趋近于或0时，该部分极限为0），指数部分为 6.无穷小的比较： b/a的极限为0，则称b是比a高阶的无穷小，b=o(a) b/a的极限为，则称b是比a低阶的无穷小 b/a的极限为常数，则为同阶无穷小，常数为1，为等价无穷小，记作ab b/ak的极限为常数（k>0）,则称b是a的k阶无穷小 7.等价无穷小： sinxx tanxx arcsinxx arctanxx 1-cosx(1/2)x2 ln(1+x)x ex-1x ax-1xlna (1+x)a-1ax (1+ax)b-1abx tanx-x(1/3)x3 x-sinx(1/6)x3 loga(x+1)x/lna 加减运算

15、时不能用等价无穷小，乘除的时候可以。如p61例5 8.函数的连续与间断： 函数f(x)在某点连续的充要条件为f(x)在该点处既左连续又右连续。 函数的各种间断点以及间断点的条件要记住。 我们上一年有考这种题。p64-p68 9.函数在某点可导的充要条件为函数在该点的左右导数均存在且相等。如果函数在某点可导，则它在该点处连续。逆命题不成立。 10.熟记函数的求导法则： p96-97初等函数的求导法则。 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 会求复合函数的导数。 11.n阶导： x ln(1+x)的n阶导=(-1)(n-1)(n-1)!/(1+x)n sinkx =(kn)sin(kx+n/2)

16、coskx =(kn)cos(kx+n/2) 1/x =(-1)nn!/x(n+1) xa =a(a-1)(a-n+1)x(a-n) ax =ax(lna)n ex =ex lnx =(-1)(n-1)(n-1)!/xn 1/(ax+b) =(-1)nn!an/(ax+b)(n+1) u(ax+b) =an(ax+b)u(n) u(n)为u的n阶导 cu(x) =cu(x)(n) u(x)(n)为u(x)的n阶导 u(x)+-v(x) =u(x)(n)+-v(x)(n) v(x)(n)为v(x)的n阶导 xn =n! xn的（n+1）阶导为0 至于莱布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心还是

17、背会吧，同情你们。 12.隐函数的导数： 求隐函数的导数时，只需将确定隐函数的方程两边对自变量x求导。 （1） 对数求导法：注意x=e(lnx)的化简 （2） 参数方程表示的函数的导数：一阶导和二阶导的公式都要记住。 （3） 极坐标表示的函数的导数：同参数都需把公式记住或者自己会推导。 （4） 相关变化率：以应用题的形式出现，看一下书上的例题p111-112。 13.函数的微分：重要 熟记基本初等函数的微分公式，考试会考，而且同求导法则一样，在下学期的高数中可能会有用。p117 应用题中，可用微分 da近似代替a。 复合函数的微分：dy=f(u)du 14.函数的线性化： l(x)=f(x0)

18、+f(x0)(x-x0)称为f(x)在点x0处的线性化。近似式f(x)l(x)称为f(x)在点x0处的标准线性近似，点x0称为该近似的中心。常用函数在x=0处的标准线性近似公式：（1+x）(1/n)1+x/n sinxx(x为弧度) tanxx(x为弧度) ex1+x ln (1+x)x 常用于估计某式的近似值。 15,误差计算： p123表格 16.费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。这些定理的条件以及结论均需记住，会考。 17.洛必达法则： 0/0型：当x趋近于a时，函数f(x)及g(x)都趋于0 在点a的某去心领域内，函数的导数均存在，且g(x)不等于0 x趋近于a时，f

19、(x)/g(x)存在或为无穷大 则有x趋近于a时，f(x)/g(x)的极限与f(x)/g(x)的极限相等 /型：当x趋近于时，函数f(x)及g(x)都趋于0 对于充分大的|x|，函数的导数均存在，且g(x)不等于0 x趋近于时，f(x)/g(x)存在或为无穷大 则有x趋近于时，f(x)/g(x)的极限与f(x)/g(x)的极限相等 0*型：化为0/0或者/型来计算 -型：通分化为0/0型来计算 00,1, 0型：可先化为以e为底的指数函数，再求极限 x趋近于a时，lnf(x)的极限为a可化为 x趋近于a时，f(x)的极限等于e(lnf(x)的极限等于e(x趋近于a时，lnf(x)的极限)等于a

20、。p141 18.泰勒公式： ex=1+x+x2/2!+xn/n!+o(xn) sinx=x-x3/3!+x5/5!-+(-1)nx(2n+1)/(2n+1)！+o(x(2n+2) cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+(-1)nx(2n)/(2n)!+o(x(2n+1) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)(n-1)xn/n+o(xn) 1/(1-x)=1+x+x2+xn+o(xn) (1+x)m=1+mx+m(m-1)/2!x2+m(m-1)(m-n+1)/n!xn+o(xn) 泰勒公式和麦克劳林公式的一般形式也要记住。我们上一年有考过一题，不过不记得是啥题了。

21、19.补充一些关于三角函数的知识，可能会用到： tan(x/2)=(1-cosx)/sinx 1+(tanx)2=(secx)2 1+(cotx)2=(cscx)2 和差化积公式： sinx+siny=2sin(x+y)/2cos(x-y)/2 sinx-siny=2cos(x+y)/2sin(x-y)/2 cosx+cosy=2cos(x+y)/2cos(x-y)/2 cosx-cosy=-2sin(x+y)/2sin(x-y)/2 积化和差公式： sinxcosy=1/2sin(x+y)+sin(x-y) cosxsiny=1/2sin(x+y)-sin(x-y) cosxcosy=1/2

22、cos(x+y)+cos(x-y) sinxsiny=-1/2cos(x+y)-cos(x-y) 补充两个公式： （1） xn-1=(x-1)x(n-1)+x(n-2)+x+1 （2） n(1/n)-1=(n-1)/1+n(1/n)+n(2/n)+n(n-1)/n)a,如果极限 limòt®+¥taf(x)dx 存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+¥)上的反常积分，即 ò+¥af(x)dx=limt®+¥òtaf(x)dx （二）无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，点a为

23、f(x)的丅点。取t>a,如果极限 limòt®ba+tf(x)dx b存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的反常积分，仍然记作òa即 f(x)dx，ò例题 讨论反常积分baf(x)dx=limòt®ba+tf(x)dx 1-1òdxx的收敛性。 21解：被积函数（fx）=x在积分区间-1,1上除x=0外连续，且由于 2limx®01x2=¥ ò即反常积分0dx-1x21=lim(-)-1=+¥xx®0 ò0dx-1x2发散，所以反常积分ò1d

24、x-1x2发散 定积分òabf(x)dx的积分区间a，b是有限区间，又f(x)在a，b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f(x)推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分： 1.无穷区间上的反常积分 （1）概念 定义：òa+¥f(x)dx=limòf(x)dxb®+¥ab f(x)dx+¥若极限存在，则称反常积分òa+¥是收敛的，它的值就是极是发散的，而发散的限值；若极限不存在，则称反常积分ò反常积分没有值的概念. af(x)dxòòb-¥f(x)dx=lim

25、òf(x)dxa®-¥ab +¥同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念. +¥-¥f(x)dx=òf(x)dx+ò-¥ccf(x)dx =limòf(x)dx+limòf(x)dxa®-¥ab®+¥ccb 同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断ò要求ò-¥c+¥-¥f(x)dx的收敛性不能用f(x)dxr®+¥-rlimòrf(x)

26、dx的极限存在性.必须+¥f(x)dx和òc+¥两个反常积分都收敛，才能知道ò-¥+¥f(x)dx是收敛的，但是如果已经知道ò么计算r®+¥ò-rlimr-¥f(x)dx是收敛的，而求它的值，那f(x)dx是可以的. （2）常用公式 ò+¥11ì=, p>1收敛，dxïp-1íxpïî p£1发散， dx=x(lnx)pò1+¥ò+¥e1ì=, p&g

27、t;1收敛，duïíp-1upïî p£1发散， ò+¥aì收敛(l0）xke-lxdxíî发散(l£0），(k³0） 2.无界函数的反常积分（瑕积分） （1）概念： 设baf(x)limf(x)=¥-a，b)x®b在内连续，且，则称b为f(x)的瑕点，b-e®o+af(x)dx=limòòe定义f(x)dx b若极限存在，则称反常积分òa若极限不存在，则称反常积分òa的概念. 设f(x)bbf(x)dx收

28、敛，且它的值就是极限值.f(x)dx发散，发散的反常积分没有值lim+f(x)=¥(a，bx在内连续，且®a，则称a为f(x)的瑕点， b®0+a+ef(x)dx=limòòe定义af(x)dx b若极限存在，则称反常积分òabf(x)dx收敛，且它的值就是极限值，f(x)dxò若极限不存在，则称反常积分发散，它没有值. a设的瑕点， f(x)limf(x)=¥a，c)(c，b在和皆连续，且x®c，则称c为f(x)定义cbc-e1acòbaf(x)dx=òf(x)dx+òf(

29、x)dx=lim+òe1®0af(x)dx+lim+òe2®0bc+e2f(x)dx (值得注意：这里判别收敛性时，e1和e2要独立地取极限，不能都+e®0用来代替) f(x)dxò若上面两个极限都存在时才称反常积分是收敛的，否则ab反常积分òabf(x)dx发散. dxì收敛 (q1时）ò0xqíî发散 (q³1时）1（2）常用公式：1 1dxdxqòqò0x-1）类似地考虑（和-1x 最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则

30、和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则. (乙)典型例题 一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分 （1）ò0（3）ò02px2cosxdx （2）ò0 2p23xarctanxdx ln2ex-1dx2p解 （1）ò02pxcosxdx=òxdsinx=xsinx0-2òxsinxdx002p2p222p2p 2òxdcosx=2xcosx0-2òcosxdx00 4p-2sinx0=4p2p （2）ò3013x213x232xarctanxdx=òarctanxdx=arcta

31、nx0-òdx2002221+x 313æ1öarctan3-òç1-dx2÷02è1+xø 2p2-12(3-arctanx03)=p2-31p2p3+=-22332 （3）令dx=ex-1=t,x=ln(t2+1) 2tdt,x=02t+1时t=0；x=ln2时，t=1 于是òln201é2t21ùe-1dx=ò2dt=2òê1-dt2ú0t+10ë1+tû x11æpö2t-arctant0=2

32、31;1-÷è4ø 【例2】 计算下列定积分（分段函数） （1）ò-1（3）ò-231x2-3xdx （2） 0òe1elnxdx min1,x2dx1解 （1）ò-1（2）x2-3xdx=ò1-1(x2-3x)dx-ò(x2-3x)dx=30e11 òe1elnxdx=ò1(-lnx)dx+òlnxdxe (-xlnx+x)1+(xlnx-x)1=2æç1-1eeè1ö÷eø 3（3）ò3-2min1,x

33、2dx=òdx+òx2dx+òdx=-2-11-11113 二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分 p（1）i=ò20f(sinx)dxf(sinx)+f(cosx) （f为连续函数，f(sinx)+f(cosx)¹0） p（2）i=ò4ln(1+tanx)dx0 解 （1）令px=p-t2，则 i=ò20pf(cost)ppdt,2i=ò2dt=,i=0f(cost)+f(sint)24 （2）令0x=p-t4，则 p2é1-tantù4i=òplnê1+d(-

34、t)=lndtòú01+tant1+tantëû4 p4ln2-i,2i=p4ln2,i=p8ln2 f(x)=lnx-òf(x)dx1e【例2】 设连续函数f(x)满足e，求ò1ef(x)dx 解 f(x)dx=aò令，则f(x)=lnx-a， 1两边从1到e进行积分，得 òe1f(x)dx=òlnxdx-òadx=(xlnx-x)1-a(e-1)11eee 于是a=e-(e-1)-a(e-1),ea=1,a=e1e 则ò1f(x)dx=1e 三、递推公式形式的定积分 【例1】设in

35、=òsinnxdx(n=01，2，)2p0 求证当n³2时，求in 解（1）in=n-1in-2n in=òsin2pn-10xd(-cosx)=-sinp2n-1xcosx+òcosxd(sinn-1x)22pp00 =(n-1)òcosxsin20n-2xdx=(n-1)ò(1-sin2x)sinn-2xdx2p0 =(n-1)in-2-(n-1)in nin=(n-1)in-2p2，则p2in=n-1in-2(n³2)n p2（2）i0=òdx=0，i1=òsinxdx=10 当n=2k，正偶数时，

36、 in=i2k=2k-12k-12k-3i2k-2=2k2k2k-21i02 2k)!p2k)!p(=2k22k22(k!)2(2k!) 2i13 当n=2k+1，正奇数时， in=i2k+1=2k2k2k-2i2k-1=2k+12k+12k-122k!)(=k22k(k!)=(2k+1)!(2k+1)!2 2【例2】 设jn=òcosnxdx(n=01，2，)0p，2，)，求证：jn=in(n=01 pæpö2x=-t，jn=òpcosç-t÷d(-t)=òsinntdt022è2ø证 令 p0n1，2

37、，)(n=0，则 jn=in 【例3】 设求证：kn=kn=òtan2nxdx (n=1，2，3，4p0) 1-kn-12n-1 2，3，)(n=1，求kn 解（1）kn=òtan4p2(n-1)0x(sec2x-1)dxxdtanx-kn-1 （2）=òtan4p2(n-1)0 =p41-kn-12n-1 2p42k1=òtanxdx=secx-1)dx(ò00 4=tanx-x =1-40 ， pp1æpö1é1æpöùk2=-ç1-÷，k3=-ê-&

38、#231;1-÷ú3è4ø5ë3è4øû 当n>3，正整数时 kn=(-1)np4+(-1)n-1k-1né-1)ù(ê1+åú2k-1êúëk=2û 四、重积分 （一）二重积分的性质与概念 定义：设d是错误！未找到引用源。面上的有界闭区域，错误！未找到引用源。在d上有界，将区域d任意分成n个小闭区域错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域错误！未找到引用源。上任意取

39、一点错误！未找到引用源。，作n个乘积错误！未找到引用源。，然后作和式 记错误！未找到引用源。，如当错误！未找到引用源。时，以上和式有确定的极限，则称该极限为错误！未找到引用源。在区域d上的二重积分，记作错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，即 其中错误！未找到引用源。称为被积函数，错误！未找到引用源。称为被积表达式，错误！未找到引用源。称为面积元素，错误！未找到引用源。称为积分变量，d称为积分区域，错误！未找到引用源。称为积分和式 几何意义 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于以区域d为底，曲面错误！未找到引用源。为顶的曲顶柱体体积； 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到

40、引用源。等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数； 当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于区域d的面积。 1.二重积分的性质 存在性：若错误！未找到引用源。在有界闭区域d上连续，则错误！未找到引用源。存在 线性性质： 区域可加性 设错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。只在它们的边界上相交，则： 有序性 若在区域d上错误！未找到引用源。，则有： 特殊地，有 估值不等式 设错误！未找到引用源。在区域d上有最大值m，最小值m，错误！未找到引用源。是d的面积，则有： 积分中值定理 设函数错误！未找到引用源。在有界闭区域d上连续，错误！未找到引

41、用源。是d的面积，则至少存在一点错误！未找到引用源。，使错误！未找到引用源。 例1 试用二重积分表示极限错误！未找到引用源。. 解：错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。. 例2 估计错误！未找到引用源。的值，其中错误！未找到引用源。 解：因为错误！未找到引用源。，积分区域错误！未找到引用源。，在d上错误！未找到引用源。的最大值错误！未找到引用源。，最小值错误！未找到引用源。，故: （二）二重积分的计算（一） 直角坐标系 x型区域 将区域d投影到x轴上，投影区间为错误！未找到引用源。，d的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则d表示为： y型区域 将区域d投影到y轴上，投影区间为错误！未

42、找到引用源。，d的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则d表示为： 例1 计算所围成的闭区域。 解： ，其中d是由直线错误！未找到引用源。（三） 二重积分的计算（二） 极坐标系 极点在d外，则第五篇：高数积分总结第四章 一元函数的积分及其应用 第一节 不定积分 一、原函数与不定积分的概念 定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数f(x)，使得f¢(x)或df=f(x)(x)=f(x)dx,则称f(x)为f(x)的一个原函数 定义2.函数f(x)的全体原函数f(x)+c叫做f(x)的不定积分，记为: òf(x)dx=f(x)+c f(x)叫做被积函数 f(x)

43、dx叫做被积表达式 c叫做积分常数 “ò其中 ”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 (f(x)dx)=f(x)；dòf(x)dx=f(x)dx. ò性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即¢òf¢(x)dx=f(x)+c,或òdf(x)=f(x)+c 性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 òkf(x)dx=kòf(x)dx(k¹0). 性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每

44、个函数不定积分的代数和，即 òf(x)±g(x)dx=òf(x)dx±òg(x)dx 基本积分公式 (1)òkdx=kx+c (k为常数) (2)òxmdx=1m+1xm+1+c(m¹-1) 1(3)òdx=lnx+c x (4)òexdx=ex+c (6)òcosxdx=sinx+c (8)òsec2xdx=tanx+c (10)òsecxtanxdx=secx+c (12)òsecxdx=lnsecx+tanx+c (14)ò(16)

45、2;11+x11-x2(5)òaxdx=axlna+c(7)òsinxdx=-cosx+c (9)òcsc2xdx=-cotx+c (11)òcscxcotxdx=-cscx+c (13)òcscxdx=lncscx-cotx+c (15)ò 11-x22dx=arctanx+c dx=arcsinx+c dx=arcsinx+c 三、换元积分法和分部积分法 定理1. 设j(x)可导，并且f(u)du=f(u)+c. 则有 òòfj(x)j¢(x)dxf(u)+c凑微分òfj(x)dj(x)令u=j(x) òf(u)du代回u=j(x)f(j(x)+c该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法 定理2.设x数f=j(t)是可微函数且j¢(t)¹0，若f(j(t)j¢(t)具有原函(t)，则 x=j(t)换元òf(x)dx òféë