4数列求和-难-讲义

1、12 3 23 33 L n32n(n 1)2数列求和Q知识讲解、数列求和的常用方法1.公式法1）直接用等差、等比数列的求和公式.2）掌握一些常见的数列的前 n项和.1 2 3 L n n( 2.-21 35 L(2n1)n；2 46 L2nn(n1)；2 .倒序相加法那么求这个如果一个数列 an，与首末两端等距离”的两项的和相等或等于同一常数,数列白前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.3 .错位相减法那么这个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,数列白前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4 .裂项相消法把数列

2、的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的拆项公式有:111n(n 1) n (n 1)1112) -(一2 (2n 1)(2n 1) 2 2n 111113)=- n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)5)n n! (n 1)! n!n 116(n 1)! n! (n 1)!5 .分组求和可分为几个有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开, 等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如:1) an bn ,其中an是等差数列，bn是等比数列;f(n) ,n 2k 1,k N* an2) g (n) ,

3、 n 2k , k N *6 .并项求和如求 1002 992 982 97222 12 的和Cp经典例题.选择题（共9小题）1. (2018?三模拟)已知 12+22=2>< 3><: 12+22+32=63X 4X74X5X912+22+33+42=6若 i2+22+32+42+- +n2=385 (nC N*),贝U的值为（A. 8B. 9C. 10D. 11【解答】解：12+22=2X 3X52X (2+1)(2X 2+1)12+22+32=3 =3X(3+1)(26 x 3+1)5X 4+1)9 9 a 9 4X 5X94X (4+1)(2 12+22+33+

4、42=6可知 12+22+32 +42+n2='?(?+1)(2?+1)若 12+22+32+42+ +n2=385 ( n N N*),可得:?(?+1)(2?+1) =385.n (n+1) (2n+1) =10X 11X21解得n=10.故选：C.2 . （2018?南充模拟）设数列an前n项和为一 ，4&，已知？=5, ?+1 =2?2?-A.C.10 < ?< Q则S2018等于()1, 1<?<1504455048B.D.50475504954【解答】解：ai=-5, , a2=2X 1=, 55a3=2 X 11=1, 55a4=2 x 一

5、二一a5=2 x 一二一数列an是以4为周期的周期数列, , ai +a2+a3+a4 = + + + =2, 5 5 5 5二 &018=504 x (ai+a2+a3 +a4)+ai+a2=1008+-=,55故选：B. .1593. （2018徵州区校级模拟）在等比数列an中，右a7+a8+a9+a10=, a8a9=-、,88则L工? ?A.+ 111=()?r9 ?053B.5 C.-9D.【解答】解：由等比数列an的性质可得:3V599a8a9= =a7a10,8.1 + 1 + 1 + 1 _?0+?+?*+?。? ? ? ?0?15万_9 =853'故选：A.4

6、. （2018?海南一模）已知数歹U an的前n项和为Sn,且满足a1=1, an+an+1=2n+1,?20i72017B. 1008A. 1009C. 2D. 1【解答】解：二,数歹1a的前n项和为S,且满足ai=1, an+avi=2n+1,，n2 时，an i +an=2 （n1） +1, an an - i+an+i an=2,an是首项为1,公差为1的等差数列, an=1+ (n 1) =n,2017 x 2016二险017=2017+2=1009X 2017,?201720171009 X 20172017= 1009.故选：A.5.（2018孤侯区校级模拟）已知等差数列an的前

7、n项和为S,且？= 2?2+ 6, a2=4,则数列?的前10项和为（）B.D.111A.一129C.1010118【解答】解：由？ = 2?2 + 6及等差数列通项公式得a1+5d=12,又a2=4=a+d, - a=2=d,. $=2?+ ?(2?-1) X2=n2+n,. .+? + = (1 -?0'.1111, ?= ?(?+1)= ?- ?+1'1) + (1 - 1) + ? + (- -)=1 - / = 10 .2，'23，'1011，1111故选：B.6.(2017秋？洛阳期末)已知数歹!J an满足 a1=4且 a1+a2+-+an=an+

8、1,设 bn=log2an,111?+?+ +?0仔？?018 的值是2017A.4038)3025B.403620172016,2018D.2017【解答】解：数歹1an满足a二4且a1+a2+an=ai+1,可得 a2=a1=4,当n2时，可得a1+a2+an-1=&,-可得an=an+1 - an,即 an+1=2日,贝U an=4?2n 2=2n, n>2,可得 bn=log2an=n (n>2),则 + +- - +1=-+-+- +1?017 ?018 2X2 2X3 3X42017 X 20182 11 1111 31 3025=4 2 3 3 42017 2

9、018 =4 2018 -4036 '故选：B.7. (2018?上饶二模)已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且满足?017 + ?018 = ? ?0 - 4,贝! ?4033 -()A. - 1B.C. 1D. v3【解答】解：由等差数列与等比数列的性质可得：a2+a4033-?2017 + ?018 = ?20 = 4=b1b39,贝 ij ?033 =tan?1.故选：C.8. （20187®山一模）数列an中，已知对任意正整数 n,有？+ ?+ ? + ?=2?- 1 ,则？?2 + ?2 + ? + ?2 等于（）A. (2nT) 2B. 1(2?- 1

10、)231 ?C. 4n- 1D. 3 (4,- 1)【解答】解：？+ ?+ ? + ?= 2?- 1 ,n2 时，a1 +a2+ +an 1=2n 1 1,相减可得：an=2n- 1 - (2n 1 - 1) =2n 1.?= (2n 1) 2=4n 1.数列?爵成等比数列，首项为1,公比为4.则？?2 + ?2 + ? + ?第=44=3(4?- 1).故选：D.9. (2018?长安区二模)已知数列an为等差数列，d为公差，若a1，a2, a4成等1比数列，a3=6且dw0,则数列的前n项和为()i?+1?-2?-1A，4(?-1)' 4?+1'4(?+1)D> 4(

11、?+2)【解答】解：:白，a2, a4成等比数列，a3=6,2 一 a2 =a1 a4,(a3-d) 2= (a3-2d) (a3+d),(6-d) 2= (6-2d) (6+d),解得d=2或d=0 (舍去)， an=a3+ (n-3) d=6+2 (n-3) =2n,1_1 J 11, ?+1=2?2(?+1=4(? ?+1),数歹收一1的前 n 项和为 1 (1-1+1- 1+1 - 1+1 -)(1-)?？?+142 23 3 4? ?+1 4?+1?=4(?+1)故选：C.填空题(共5小题)10. (2018?聊城一模)已知数列an的前n项和公式为？?= ?2,若？?= 2?,则 数

12、列 bn的前 n 项和 Tn=_3 (4 ?- 1)_.【解答】解：S=n2,当 n=1 时，Si=ai=1,当 n2 时，Sn 1= (n 1) 2,由-可得an=2n - 1,当n=1时也成立， 二 an=2n 1,?= 2?丝2X4n 12(1-4 ?5 n= 1-42?3 (41),故答案为：2(4?- 1)311. (2018达武口区校级一模)在数列?中，？?=/+?2+1+? +肃，又2 ?=?+1.一、, 一. 8?则数列加的刖n项和为西(1+?)?【解答】 解。: ？名= + 2+ ? +？=一2=?'畔 口，畔.'? ?+1?+2?+1?+12?= ?%+?(

13、?+1)=?(?+1)=8(1- 1 = 8(? ?+16=8(11+1-1+? + 1-，)233? ?+1)8?=8（1-?+1）书 8?故答案为：诉12.（2018春？朔州期末）数列an前项和&=2n23n+1,贝U an=0, ?= 14? 5, ?2>2【解答】解：二数歹1an前项和&=2n23n+1, a1=S=2-3+1=0,an=Sn-Sn 1= (2n2 3n+1) 2 (n 1) 2- 3 (n- 1) +1 =4n 5.当 n=1 时，4n - 5=- 1wa1，0, ?= 1 an=.4? 5, ?>20, ?= 1故答案为：13. （201

14、8春?南关区校级期中）已知数列an的通项公式为?、,an=7?,贝Uan的刖 24? 5, ?>>2-156项和S6= 一一 8 一?【解答】解：数列an的通项公式为an=2?,设an的前n项和Si,又 2?= 22+ 23 +?= 1+ 今+ '+ ?222233或？一 11由-式得：2?= 2?-+ 2?+1 11? _ 工27? + 2?- 2?+1 = 1 -齐?2?+1'?= 2-2+? 2?+1-2-?2-2+6 15可行 S5=2 - 26 ="8"一 115故答案为：14. （2017?唐山一模）设数列an的前n项和为S,且？?=

15、?(4 ?1)3-,若 a3=8,1则 a1= 一一2【解答】解：.数歹Ia4的前n项和为S,且？?=g区, 3'?(4-1) a1=Si= ?,3? (4 2-1)a2=S2 Si=3 ? (43-1)a3=S3 &=31a3=8,a1=-.21故答案为：1a1=4a1,? (42-1)-3=16a1,三.解答题（共4小题）15. （2018?鄂伦春自治旗二模）在等差数列an中，a3n=6n - 1.（1）求数列an的通项公式;（2）设数歹12?的前n项和为S,证明:?=吟【解答】解:(1) a3n=6n1, -23=5, a6=11,.?+ 2?=.、？+ 5?=证明：(2

16、) ?= 2 + 23 + 25 + ? + 22?-1 =2(14) = 2-2-,1-43二?=22?-1+2-24?2?216. （2018须南一模）记Sn为数列an的前n项和，已知？?= 2?+ ? nC N*.(1)求数列an的通项公式;求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：(1)由？私=2?+?得当 n=1 时，ai=s=3；当 n2 时，an=Sn - Sn 1=2n2+n-2 (n- 1) 2+ (n 1) =4n- 1.所以 an=4n - 1.(2) ?= oqJo =1=1 ( ,? ?+1 (4?-1)(4?+3) 4、4?-14?+3?12?+9,2a,记前1 11所

17、以？?=4(3- 7) + (7- 而)+ ? +(4?-1- 4?+3)=4(3- 4?+3)17. (2017惭水县校级模拟)已知等差数列an的前三项为a- 1, 4,n项和为Sn.(D设Sk=2550,求a和k的值；?一(D 设 bn=?，求 b3+b7+b11+- +b4n 1 的值.【解答】 解：(I)由已知得 a1=a- 1, a2=4, a3=2a,又 a+a3=2a2,(a- 1) +2a=8,即 a=3. (2分) a1=2,公差 d=a2 a1二2.?(?-1)由 Sk=kai+2-?得(4 分)2k+?(?-1)2X 2=2550即 k2+k 2550=0.解得 k=50

18、或 k=-51 (舍去). .a=3, k=50. (6 分) ?(?-1)?(D 由 Sn=na1+2,得&=2n+?x 23n (8 分) bn="?=n+1 (9 分)；bn是等差数列.则 b3+b7+bii+, +b4n 1= (3+1) + (7+1) + (11+1) + (4n1+1)(3+4?-1)?+ ?=(3+7+11+-+4n 1) +n2x> 0,把(4?+2)?、1 =4(1?+12 n(n 1)(2n 1)6一2+n (11 分) 二 b3+b7+bn +, , +b4n 1 =2n2+2n (12 分)18. (2017例南一模)已知 f (x) =2sin|Z,集合 M=x| f (x) |=2,M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an, nCN*.(1)求数列an的通项公式；1 一 ，、.，,1(2)记bn=-T,设数列bn的刖n项和为Tn