勾股定理试题分类

1、AB.根据此图证明勾股定理AbEB数学八年级下册 第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1. 如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、 S2、S3，则它们的面积关系是，直角 ABC 的三边的关系是.参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2 S3，从而得到： AB2+BC2 AC2.2. 如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、 S2、S3，则它们的面积关系是，直角 ABC 的三边的关系是.参考答案：对于 S3 显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相 加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出 S1+S2 S

2、3，从而得到： AB2+BC2AC2.3. 如图，是由四个全等的 Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由 S 大正方形 4SRt +S 小正方形 ，得1c24× ab+(b a)22 a2 +b2c2.4. 如图，是由四个全等的 Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？ 参考答案：由 S 大正方形 4SRt +S 小正方形 ，得1(a+b)2 4× ab+c22a2+b2c2.5. 如图，已知 A B 90°且 AEDBCE，A、E、B在同一直线上参考答案： 先证明 DCE 是等腰直角三角形， 再根据梯形面积为三个 三角形面积之和得12 11 2(a

3、+b)22× ab+ c2,2 22 a2 +b2 c2.6. 如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法参考答案：方法类似第 5 题.CDA后人称其为“赵爽弦图”7.（ 2011 温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”如图 1 1）.图 1 2 由弦图变化得到， 它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图 1 2 中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2 的值是10 参考答案：38.（ 2010 湖北孝感） 问题情境 勾股定理是一条古老的数学

4、定理，它有很多种 证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利 用面积法进行证明，着名数学家华罗庚曾提出 把 “数形关系 ”（勾股定理）带到其他星球，作 为地球人与其他星球 “人”进行第一次 “谈话 ”的语言。 定理表述 b请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述） 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2），请你利用图2，验证勾股定理； 知识拓展 ab2.利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明c 其证明步骤如下：BC a b, AD =又在直角梯形ABCD中有 BCAD（填大小关系） ，即ab2.参考答案：

5、定理表述 222 如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b，斜边长为 c，那么 a b c尝试证明 Rt ABE Rt ECD, AEB EDC,EDCDEC 90 , AEB DEC 90S梯形 ABCDSRt ABESRtDECSRt AED1(a b)(ab)1ab1 1 2 ab c .2222222整理，得 abc.知识拓展 AD 2c,RCAD,ab 2cAED 90 .【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积 A， C，B参考答案： 10， 144，1600.2.如图， 直线 l 上有三个正方形 a、b、c 若 a 和 c 的面积 分别为 5

6、 和 11，则 b 的面积为多少？参考答案：先证两直角三角形全等，得 FE BC，从而得 正方形 b 的面积为 16.A B C F3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探 究 Sa 、 Sb 和 Sc 之间的关系 .参考答案：显然SBCE4a2，S ABF又 a2+b2 c2 Sa+Sb Sc.4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形， 探究 Sa、Sb和 Sc之间的关系 .E参考答案：类似上一题5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、 Sb和 Sc 之间的关系BcabACCbcAacCABCS2S1ABS3CD少？BFEA7cmS1)C.5B.4D)D.3

7、C.2 3A.4 3B. 3参考答案：类似上一题8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的 面积分别是 a、b、 c，正放置的四个正方形的面积依次是 S2、S3 ，则 S1 S2 S3 S4=.参考答案： a+c6. 如图，已知 ABC中，ACB90°，以 ABC的各边为长边向形外作 矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S1、S2、S3 之间有什么关系，并证明你的结论 .参考答案：类似上一题参考答案： 49cm2.题型三】利用勾股定理求边长和进行论证选择题】1.在 Rt ABC中， C 90°， a 12， b16，则 c 的长为(参考答案： C

8、2.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是 (3,4)，则 OP的长为(参考答案： C参考答案： C4.等边三角形的边长为 2，则该三角形的面积为()7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形边长为 7cm，则正方形 A、B、C、D 的面积之和为多3.在 Rt ABC中， C 90°， B 45,c 10，则 a 的长为(A.5 B. 10C.5 2A.26B.18C.20D.21A.3参考答案： B 5.若等腰三角形的腰长为 A.6 B.7 参考答案： C 6.若一个三角形的三边长为10，底边长为 12，则底边上的高为（C.8 D.9A.5B

9、. 63、4、 x，则使此三角形是直角三角形的C. 7 D.5 或 7参考答案： D7.下列各组数中以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt的是（）A.a=2， b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25 C.a=6, b=8, 参考答案： Ax 的值是（c=10 D.a=3, b=4, c=58.要从电杆离地面 5m 处向地面拉一条长为 13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为 （ ）. A.10m 参考答案： C9.现有两根木棒 棒长度是（A.22 参考答案： BB.11mC.12mD.13m,长度分别为 44 和 55 .若要钉成一个三角形木架， 其中有一个角为直角

10、， 所需最短的木 ）.B.33 C.44 D.55 10一个直角三角形，有两边长分别为A. 第三边一定为 10 参考答案： D 11直角三角形的斜边为 A . 27cm B. 30cm 参考答案： D 12将直角三角形的三边扩大相同的倍数后， A 直角三角形 B 锐角三角形 参考答案： A 13已知，如图，一轮船以 16 海里 /时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮 船以 12 海里 / 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ A 25 海里B.参考答案： D 14. （ 2010 山东临沂） 形，点 B 、B.20cm，C.）30 海里A.

11、3参考答案：15.(2010BC 8 cm，（）A.4 cm 参考答案：6 和 8 ，下列说法正确的是（）三角形的周长为 25 C. 三角形的面积为 48D. 第三边可能为 10两条直角边之比为 34，那么这个直角三角形的周长为（ 40cmD. 48cm得到的三角形是（C 钝角三角形）D 不能确定A南C. 35 海里D. 40 海里如图， ABC 和 C、 E在同一条直线上，连接DCE 都是边长为 4的等边三角 BD，则 BD的长为（B.2 3C.3 3D.4 3广西钦州市） 如图是现将 ABC折叠，使点 B 与点 A 重合，张直角三角形的纸片， 两直角边 AC 6 cm、折痕为 DE，则 B

12、E 的长为B.5 cm BC.6 cmD.10 cm16. （2010 广西南宁） 图中，每个小正方形的边长为1， ABC 的三边 a,b,c的大小关系式（A.a c b 参考答案： C)B.a b c C.c a bD.c b aADACCDCbacABE17. （2011 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分 别为 6m 和 8m.按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m参考答案： C板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，如图

13、，则三角板的最大边的长为（ ）A. 3cm B. 6cmC. 3 2 cmD. 6 2 cm参考答案： D18. （ 2011 湖北黄石） 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角19. （2011 贵州贵阳）如图， ABC中， C=90°， AC=3， B=30° 是 BC边上的动点，则 AP 长不可能是（）A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 参考答案： D20. 直角三角形三边的长分别为 3、4、x，则 x 可能取的值有（）点PA. 1 个 参考答案：B. 2 个C. 3 个D. 无数多个B

14、 斜边可以为 4 或 x,故两个答案 .21如果 Rt两直角边的比为 5 12，则斜边上的高与斜边的比为（）A.60 13B.512C.1213D.60169参考答案： D22直角三角形一直角边长为 11 ，另两边均为自然数，则其周长为（）A.121 B.120 C.132D.以上答案都不对参考答案： C【填空题】1. 已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为 参考答案： 12或 7 7 提示：因直角三角形的斜边不明确， 结合勾股定理可求得第三边的长为 5或 7，所以直角三角形的周长为 34 512 或 34 7 7 7 .2. 直角三角形两直角边长分别为3 和 4，则它斜边上

15、的高为 12 参考答案： 53.直角三角形两直角边长分别为60，提示：设斜边的高为13参考答案：1积法得， 125和 12，则它斜边上的高为x ，根据勾股定理求斜边为122 52169 13 ，再利用面12 1 13 x,x 602 134.如图，学校有一长方形花圃，长4m，宽 3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路” ，他们仅仅少了 步路（ 2 步为 lm ），却踩伤了花草 参考答案： 4.5.图 1 是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍， 得到图 2 所示的

16、“数 学风车”，则这个风车的外围周长（图 2 实线部分）是参考答案： 76.6如图，将一根长 24 cm 的筷子，置于底面直径为 5 cm，高为 12 cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯外的长度为 h cm，则 h 的取值范围是 .参考答案： 11h1.27. 在 Rt ABC中, C=90°,AB=15,BC:AC=3:4则, BC=.参考答案： 9.8. 已知：如图，在 RtABC中，B=90°，D、E分别是边 AB、AC的中点， DE=4，AC=10， 则 AB=.参考答案： 6.9. 已知两条线段的长为 9cm 和 12cm,当第三条线段的长为 ?cm 时 ,这三

17、条线段能组成一个直角三角形.参考答案： 15 或 3 7.10. 在 RtABC中， C=90°，（ 1）若 a=5，b=12，则 c=；（2）b=8，c=17 ，则 SABC=参考答案： 13 60B11（ 2010 辽宁丹东市）已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC 的斜边 AC为直角边， 画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD的斜边 AD为直角边， 画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是参考答案： （ 2）nl955 年希腊发行了二枚以勾12. （ 2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣股图为

18、背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向 外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已 知 ACB=90°，BAC=30°，AB=4作 PQR使得 R=90°，点 H在边 QR上，点 D，E在边 PR上，点 G，F在边 _PQ上，那么 PQR 的周长等于参考答案： 27 + 13 3 .13. （2010 湖北鄂州）如图，四边形 ABCD中，AB=AC=AD，E 是 CB的中点， BAC=3 DBC， BD= 6 2 6 6，则 AB= 参考答案： 1214. （2010 河南）如图， Rt ABC中， C=90°, ABC=30

19、76;， AB=6.点 D在 AB边上，点 E是BC边上一点（不与点 B、C重合），且 DA=DE，则 AD的取值 范围是 .参考答案： 2 AD < 315. （ 2010 山东淄博）如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格” 只 用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 5的线段 条.参考答案： 816.（2010 黑龙江绥化） RtABC中， BAC=90°，AB=AC=2，以 AC为一边，在 ABC 外部作等腰直角三角 形 ACD ，则线段 BD 的长为.参考答案： 4 或2 5或 1017. （2011 重庆綦江 ） 一个正方体物体沿斜坡向下滑动

20、，其截面如图所示.正方形 DEFH的边长为 2 米，坡角222A30°,B90°,BC6米. 当正方形 DEFH运动到什么位置 ,即当 AE米时,有DC2 AE2 BC2 .参考答案：143【解答题】1.如图，在 RtABC中， ACB=90°， CDAB， BC=6， AC=8， 求 AB、CD 的长参考答案：在 Rt ABC中， BC=6，AC=8 36 84 100 AC BCAB68104.82.如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形， 试求 BAC 的大小 .参考答案： BAC=45°A 、B 、C 均在顶点上，3.（ 2011 四

21、川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、 8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长参考答案：由题意可得，花圃的周长=8+8+ 8 2 =16+8 24.如图，正方形网格中的每个小正方形 边长都是 1，每个小格的顶点叫做格 点，以格点为顶点分别按下列要求画 三角形（涂上阴影） 在图 1 中，画一个三角形，使它的 三边长都是有理数；图1在图 2、图 3 中，分别画一个直角三 角形，使它的三边长都是无理数 （两 个三角形不全等 ） 5.已知：如图， ABC中， C=90°， D 是 AC的中点 .

22、求证： AB2+3BC2=4BD2.参考答案： ABC中， C=90°， AB2BC2+AC2， AB2 +3BC24BC2+AC2， 又 BC2 BD2CD2， AB2 +3BC24BD2 4CD2+AC2，又 AC 2CD， AB2 +3BC2=4BD2.【题型四】勾股定理在非直角三角形中的应用【选择题】1. 若 ABC中， AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12,则 BC的长为（）A、 14B、 4C、 14 或 4D、以上都不对参考答案： C 2一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请 你帮他找出来，应该是（ ）A.

23、13，12，12B12， 12，8C13， 10，12D 5，8，4参考答案： C【填空题】1.等腰三角形 ABC的面积为 12 2，底上的高 AD3 ，则它的周长为 .参考答案：由面积求出底边为8，进而求出腰围 5，故周长为 18.2. （ 2010 四川宜宾）已知，在 ABC 中， A= 45 °， AC= 2，AB= 3+1，则边 BC 的长为参考答案： 2.3. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植 某种草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草 皮至少需要 元参考答案： 150a.30米20米【解答题】1.如图， ABC中， A

24、C 12， B45°， A60°. 求 ABC 的面积 .参考答案： 54 + 18 3 （作 CDAB 于 D）2.已知等腰三角形腰长为 10，底边长为 16，求它的面积 参考答案： 48（作底边上的高） 3已知：如图，在 ABC中，AB15，BC14，AC13求 ABC的面 积参考答案：作任一边上的高，用勾股定理建立方程，求解 .【题型五】利用勾股定理求不规则图形的面积1.如图， B D 90°， A 60°， AB 4， CD2. 求四边形 ABCD 的面积 .参考答案： 6 3 （分别延长 AD、BC或分别延长 AB、DC转化成特殊的直角三角形研

25、究）CB2.如图，每个小正方形的边长都是 1，求图中格点四边形 ABCD 的面积 .参考答案：25 （用正方形面积减去四个直角三角形面积或转化成2以 AC 为底的两个三角形求解）3.如图，四边形 ABCD中， AB3cm，BC4cm，CD12cm，DA13cm， 的面积。参考答案：连接 AC在 RtABC 中， = 9 16 =5cmAB BC S ABC=2在 ACD 中，32 2 +CD=25+144=169， DA=132=169，4 =6cm2ABCD DA= +CD ACD 是 RtAC DC 5 12 2 S ACD= =30 cm22S四边形 ABCD= SABC+ SACD=6

26、+30=36 cm24.已知：如图，四边形 ABCD中， B，D 是 Rt,A=45°，若 DC=2cm, AB=5cm, 求 AD 和 BC 的长 .参考答案： 3，5 - 2 2 （分别延长 AD、 BC或分别延长 AB、 DC转化成特殊C直角三角形研究）5.四边形 ABCD中，ADDC，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形 ABCD的面积 . 参考答案： 144（连接 AC）【题型六】勾股定理与方程（组）【选择题】1. 小明想测量教学楼的高度他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了 的下端拉开A. 8 m6 m 后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高

27、为（ B. 10 mC. 12 mD. 14 m参考答案：当他把绳子，）.A 解：设教学楼的高为 x,根据题意得： （x 2） x 36 ，解方程得：x=8.）.2.如果梯子的底端离建筑物 9 ，那么 15 长的梯子可以到达建筑物的高度是（ A. 10 mB. 11 m C. 12 m D. 13 m2 2 2参考答案： C 解：设建筑物的高度为 x,根据题意得： 15 9 x ，解方程得： x=12.3. 已知 RtABC中， C=90°， a+b=14，c=10，则 RtABC的面积是（A.24 B.36 C.48 D.60参考答案： A.24.（方程组）4. 等腰三角形底边上的

28、高为 8，周长为 32 ，则三角形的面积为（）A.56 B.48 C.40 D.32 参考答案： B.48.A. 6 B. 8 C. 10D. 125. 已知，如图，长方形 ABCD中， AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠， 使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则 ABE的面积为（）cm2.参考答案： A.6. 如图，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O的距离为 2m，梯子的顶端 B到地 面的距离为 7m，现将梯子的底端 A 向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O的距 离等于 3m 同时梯子的顶端 B 下降至 B，那么 BB（）A小于 1m B大于 1mC等于 1m D小

29、于或等于 1mC D B参考答案： A提示：移动前后梯子的长度不变， 即 RtAOB和 RtAOB的斜边相等 由 勾股定理，得 32BO2 2272，BO 44 ，6<BO<7，则 O<BB< 17. 如图， RtABC中，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它 落在斜边 AB 上，且与 AE重合，则 CD等于（）m.A.2 B.3 C.4 D.5 参考答案： B.【填空题】1在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红 莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是 m.参考答案： 1

30、.5.2在 ABC中， CE是 AB 边上的中线， CD AB于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6则, DE的长为 .参考答案： 2.3在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处.另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 .参考答案： 15 米 .4. （ 2011 贵州安顺）如图，在 RtABC中， C=90°， BC=6cm，AC=8cm，按图 中所示方法将 BCD沿 BD折叠，使点 C落在 AB边的 C点，那么 ADC的面 积是 参考答案： 6cm2BC边上 F处 ,已知 C

31、E=3,AB=8,F5、如右图将矩形 ABCD沿直线 AE折叠,顶点 D恰好落在 则 BF=.参考答案： 6.【解答题】1已知，如图，在 Rt ABC中， C=90°， AD平分 CAB，CD=1.5，BD=2.5，求 AC的长.参考答案： 3.（作 DE AB 于 E）2.如图，铁路上 A、B两点相距 25 ， C、 D为两村庄， DA AB于 A，CBAB于 B，已知 DA15 ， CB 10 ，现在要在铁路 AB 上修建一个土特产收购站 E，使得 C、D 两村到 E站的距离相等，则 E站应修建 在离 A 站多少千米处？ 参考答案：设 E站应修建在离 A站 x 千米处则BE=25

32、-x。222由题意知： AD 2 AE2 BE2BC2即1552 2 2 x2 102 (25 x)2 。x=103.如图，某公园内有棵大树，为测量树高，小明C 处用侧角仪测得树顶端高 DC1.4m，BC 30 米，请帮助小明计算出树高AB（ 3取 1.732 ，结果保留三个有效数字）参考答案：过点 D作 DEAB于点 E，则 EDBC30 米， EB DC 1.4米 设 AEx米，在 Rt ADE中， ADE30°，则 AD2x 由勾股定理得： AE2 ED2 AD2，即 x2302（ 2x）2，解得 x10 3 17.32 AB AE EB 17.32 1.4 81.7米）答：树

33、高 AB约为 18.7 米4.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3 米的城门， 他先横着拿不进去，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 参考答案：由题意得：设城门高为x，（） 又竖起来拿， 结果竹竿比城门高 1 米，竹竿长为米。 答：竹竿长为米。4.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 参考答案：由题意得： （） 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，答：旗杆的高度为 5.如图，小红用一张长方形纸片 顶点 D 落在 BC边上的点 F处 参考答案：设为，米。ABCD进行折纸， 已知该纸片宽 AB为 8cm，长 BC为A

34、10cm当小红折叠时D，折痕为 AE）想一想，此时 EC有多长？A D与对折 在 Rt AB中， EFCEDB=CBD,则 AE=（ 8x） cm， 100 64 在 Rt中， （） 6. 如图，平面直角坐标系中 ,AB AC，求点 B的坐标 . 参考答案：设 OB=x 则 BC=x1；OC=1，OA=2.在 RtOAB中， AB2=OA2AC2， X2 4=（ X 1） 2（ 22十12）， x=4，点 B的坐标为7. 如图，已知将一矩形纸片 ABCD沿着对角线 BD折叠，使点 C落在 C'处，BC'交AD于点 E，已知 AD=8cm， AB=4cm，求重叠部分 BED 的面

35、积。参考答案：由折叠知， EBD= CBD，由 ADBC，知 EBD=EDB， EB=ED设 EB ED=Xcm， 在 Rt ABE中，AE2AB2=BE2，（ 8X）2十 42=X2，X=5， S BED=1（0 cm）题型七】利用勾股定理求最值1（2009年北恩施）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B离点 C的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（ ） A5 21B25C10 5 5D 35参考答案： B.主要利用图形的展开、勾股定理 .2. 一只蚂蚁从长为 4cm 、宽为 3 cm，高是 5 cm 的长方体纸箱的 A 点沿

36、纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是 cm。参考答案： 743（ 10分）如图， C为线段 BD上一动点，分别过点 B D作 ABBD，EDBD， 连结 AC、EC,已知 AB=5， DE=1，BD=8，设 CD=x1）用含 x 的代数式表示 AC十 CE的长；（2）试求 AC十 CE的最小值； 参考答案： （1） AC+CE=（2） 最小值 134. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm ，底面周长为 60 cm ，在外侧距下底1cm的点 C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的 F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .参考答案：将曲线沿 A

37、B展开，如图所示，过点 C作CEAB于 E.在 Rt CEF , CEF 90 ，EF=18-1-1=16( cm )，30( cm) ，1CE=2. 60由勾股定理，得 CF= CE2 EF 2302 162 34(cm)5. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的 西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 .他要完成这 件事情所走的最短路程是多少？ 参考答案：如图，作出 A点关于 MN的对称点 A，连接 AB交MN 于点B=17km.P，则 A'B就是最短路线 . 在 RtADB中，由勾股定理求得 A【题型八】勾股定

38、理逆定理及其应用【选择题】 1下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ A1.5， 2， 3B. 7，24，25C 6，8，10参考答案： A2.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：6、8、10； 5、能构成直角三角形的有（） .A.4 组B.3 组参考答案： B, 对 .C.2组3（ 2010 四川泸州）在 ABC中， AB=6， AC=8， A锐角三角形B直角三角形参考答案： B4.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（53A.9， 12， 15B. ,1,44，0.3，0.4)D.A3，4，12、13；8、D.1 组BC=10，则该三角形为（C钝角三角形D.40，

39、41， 915、） D17； 7、8、9，其中等腰直角三角形参考答案： C5. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（A.三个内角比为 12 B.三边之比为1C.三边之比为 3 2D. 三个内角比为23参考答案： C6.已知三角形两边长为2和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（B.2 10C.4 2或 2 10 D.以上都不对参考答案： C7. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（7(A)(B)2015 (C)2425参考答案： C8.三角形的三边 A直角三角形 参考答案： A 9若 ABC的三边 a、b、c 满足

40、a2b2c2十 33810a24b26c，则 ABC的面积是（ A.338 B.24 C.26 D.30 参考答案： D10 ABC的三边 a、b、c 满足 a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0，则 ABC 的形状是（ A、直角三角形； B、等边三角形； C、等腰三角形； D、等腰直角三角形。 参考答案：11如果 A.2na、b、 c 满足关系：B、锐角三角形a十 b）2C钝角三角形=c2 2ab，则这个三角形是（）D 条件不足，不能确定Rt的两直角边长分别为 n21， 2n（n>1），那么它的斜边长是（C.n21D.n2+1参考答案：B.n+1D填空题】1.若一个三角形的三边

41、满足c222a2 b2 ，则这个三角形是参考答案：直角三角形 .2. ABC 的三边分别是 7、 参考答案： 90° .3.三边为 9、 12、 15 的三角形，其面积为 参考答案： 54.24、25，则三角形的最大内角的度数是4.已知三角形 ABC的三边长为 a,b,c满足 a b 10,ab18， c 8 ，则此三角形为三角形 .参考答案：直角三角形 .5.在三角形 ABC中， AB=12 cm ， AC=5cm ， BC=13cm ，则 BC 边上的高为 AD=cm.参考答案： 60136.已知两条线段的长为 5cm 和 12cm, 当第三条线段的长为 角三角形 .? cm时

42、,这三条线段能组成一个直参考答案： 13cm 或 119【解答题】1. 如图，已知四边形 ABCD中， B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积 .参考答案： 36（连接 AC）2. 如图， E、 F分别是正方形 ABCD中BC和CD边上的点，且 AB=4， CE= BC，F为 CD的中点，连接 AF、 4FCAE，问 AEF是什么三角形？请说明理由 参考答案：由勾股定理得 AE2=25， EF2=5，AF2=20， AE2= EF2 +AF2， AEF是直角三角形3. 在 ABC中， BC=m2-n2，AC=2mn， AB=m2+n2（m

43、>n）. 求证： ABC是直角三角形 .参考答案：证 （m2n2）2+（2mn）2 （m2+n2）24.张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表：n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 + 132 + 142 + 152 + 1请你分别观察 a b c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（ n>1）的式子表示： a=b= , c=猜想：以 a、 b、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案： n2-1,2n,n 2+1猜想：以 abc 为边的三角形为直角三角形。证明略5. 观察下列勾股数：第一组：3=2×1

44、1，4=2× 1×(1+1），5=2×1×(1+1)+1；第二组：5=2×21，12=2×2×（ 2+1 ），13=2×2×（ 2+1）+1；第三组：7=2×31，24=2×3×（ 3+1 ），25=2×3×（3+1）+1；第三组：9=2×41，40=2×4×（ 4+1 ），41=2×4×（ 4+1）+1；观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c 各应是多少吗？第n 组呢？参考答案：第七组，

45、 a 2 71 15,b27(7 1) 112,c112 1113.第 n 组， a 2n 1,b 2n（n 1）,c 2n（n 1） 16. （2011四川绵阳） 王伟准备用一段长 30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈， 用于饲养家兔 .已知第一 条边长为 a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2 倍多 2 米 .（1） 请用 a 表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为 7 米吗？为什么 ?请说明理由，并求出 a 的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状， 且各边长均为整数？若能， 说明你的围法 ;若不能， 请说明理由 参考答案： （1）第一条边为 a,第二条边

46、为 2a+2,第三条边为 30-a-（2a+2）=28-3a（2）不可以是 7 ，第一条边为 7，第二条边为 16，第三条边为 7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。 123>a> 5（3）5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形题型九】勾股定理及逆定理与实际问题15 ，则此时AC图11.如图，在高为 5m ，坡面长为 13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 A.17m B.18m C.25m D.26m 参考答案： A 依勾股定理先求出底边为 12，而地毯长等于两直角边的和， 即 12+5=17.2.将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8c

47、m 的圆柱形水杯中，如图所示， 设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）A h 17cmBh8cmC15cmh16cmD7cm h16cm参考答案： D3. 木工师傅要做一个长方形桌面， 做好后量得长为 80cm，宽为 60cm ，对角线为 100cm， 则这个桌面.（填“合格”或“不合格” ）参考答案：合格4. 轮船在大海中航行，它从 A 点出发，向正北方向航行 20 ，遇到冰山后，又折向东航行 轮船与 A 点的距离为 .参考答案： 255. （ 2009 年安徽）长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如 图所示），则

48、梯子的顶端沿墙面升高了m参考答案： 2（ 3 2） ，利用勾股定理即可6. 如图， A城气象台测得台风中心在 A城正西方向 320km 的B处，以每小时 40km 的速度向北偏东 60° 的 BF 方向移动，距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域 .A 城是否受到这次台风的影响？为什么？若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？ 参考答案： （1）过点 A做ACBF于点 C，由A、B、C三点构造直角三角形， 根据勾股定理求出直角边 AC=160，160200A 城受到这次台风的影响 ;（2）以点 A为圆心以 200为半径画圆弧交 BF于 D、E

49、，在 RtACD中， CDAD2 AC22002 1602 120所以 DE=240， A 城遭受这次台风影响的时间为 240 ÷40=6 （小时）7. 如图 1，一个梯子 AB 长 2.5m ，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角1.5m，梯子滑动后停在 DE 的位置上，如图 2，测得 BDC 距离为 长为 0.5m，求梯子顶端 A 下落了多少米 参考答案：在 Rt ABC中， AB2AC2BC22.52AC21.52， AC 2（ m）在 RtEDC中，DE2CE2CD2， 2.52CE222 CE2 2.25， CE 1.5（ m）， AE ACCE21.50.

50、5（m） 答：梯子顶端 A 下落了 0.5m 8. 如图，矩形零件上两孔中心 A、B 的距离是多少（精确到个位）？ 参考答案： 43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt ABC，利用勾股定理，AB2AC2BC21923921882，AB43）9. （2009 年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教CBD学楼 A 位于北偏东 60°方向， 办公楼 B 位于南偏东 45°方向 小明沿正东方向前进 60 米到达 C处，此时测得教学楼 A 恰好位于正北方向，办公楼 B 正好位于正南 方向求教学楼 A 与办公楼 B之间的距离（结果精确到 01 米）（供选用的数据： 2 1414