勾股定理培优题

1、勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上 的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、 b、c，其中 c 为斜边）的三边关系，即 a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2 或 c2-b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形 与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法 .2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则这个三角形

2、是以 c为斜边的直角三角形 .勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它 是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要 思想数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的 新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为 3，4，则第三边 a 的值是 .2.如图，图形 A 是以直角三角形直角边 a 为直径的半圆，阴影 SA=.3. 如图，有一个圆柱

3、的高等于 12cm，底面半径 3cm，一只蚂蚁要从下底面上 B点处爬至上底与 B点相对的 A 点处， 所需爬行的最短路程是 .4. 如图.在 ABC中， CD AB于 D， AB=5， CD= 2 3 ， BCD=30° ，则 AC= .5. 作长为 2 ， 3 ， 5 的线段 .6. 在下列各组数中 5，12，13 ； 7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a； a2+1，a2-1，2a（a>1）；m2-n2，2mn， m2+n2（m>n> 0）可作直角三角形三边长的有组.7. 如图，四边形 ABCD中， AB=1，BC=2， CD=2，AD=3，ABB

4、C，则四边形 ABCD的面积是.ACACD第 2 题图第3 题图第 4 题图第 7 题图18. 如图，在正方形 ABCD中， F为 DC中点， E为 BC上一点，且 EC= BC，试判断 AEF的形状 . 4、综合 .提高 .创新【例 1】（1）在三角形纸片 ABC中， C=90°， A=30°， AC=3，折叠该纸片，使点 A 与点 B重合，折痕与 AB、AC分别相交于点 D 和点 E（如图），折痕 DE的长是多少？2）如图，在矩形 ABCD中， AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点 D落在 BC上的点 E处，求折痕 AF的长 .3）如图，正三角形 ABC的边长为

5、2，M 是 AB边上的中点， P是BC边上任意一点， PA+PM 的最大值和最小值分别记作 S和 T，求 S2-T2 的值.练】如图，四边形 ABCD是长方形，把 ACD沿 AC折叠到 ACD， AD与 BC交于 E，若 AD=4，DC=3，求 BE.例 2】（ 1）如图， ABC中， C=60°， AB=70，AC=30，求 BC的长 .2）如图，在四边形 ABCD中， AB=2， CD=1， A=60°， B=D=90°，求四边形 ABCD的面积 .练】如图， ABC中， A=150°， AB=2，BC= 13 ，求 AC的长 .例 3】（ 1）如图

6、， ABC中， AB=AC=20， BC=32，D 为 BC上一点， ADAB，求 CD.C2）如图，在 Rt ABC中， C=90°， D、E分别是 BC、AC中点， AD=5，BE=2 10，求 AB.例 4】如图， ABC中， ACB=90°， CDAB 于 D，设 AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：1）2)a+b< c+h；3）以 a+b， h 和 c+h 为边的三角形是直角三角形2）锐角 ABC中，ADBC于 D，若 B=2C，求证： AC 2=AB 2+AB·BC.变式：如图， AM 是 ABC的 BC边上的中线，求证： AB 2+A

7、C 2=2（AM 2+BM 2）.3）如图， ABC中， AB=AC， P为线段 BC上一动点，试猜想 AB 2，AP2， PB，PC 有何关系，并加以证明变式：若点 P在 BC的延长线上，如图， （3）中结论是否仍然成立？并证明4）在等腰 RtABC的斜边 AB 所在的直线上取点 P并设 s =AP2+BP2，试探求 P点位置变化时，s与 2CP2的大小关系，并证明变式：若点 P 在 BA 的延长线上，如图中， （4）中结论是否仍然成立？并证明【例 6】（1）如图， ABC中， D为 BC边上的中点，以 D为顶点作 EDF=90°， DE、DF分别交 AB、AC于E、F， 且 BE

8、2+FC2=EF2，求证： BAC=90° .（2）在 Rt ABC中， BAC=90°， AB=AC，E， F 分别是 BC上两点，若 EAF=45°，试推断 BE， CF， EF之间的关 系，并证明 .变式一 :将（ 2）中 AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明变式二：如图， AEF中EAF=45°，AGEF于 G，且 GF=2，GE=3，求 SAEF.例 7】（1）在 ABC中， ACB=90°， AC=BC，P为 ABC内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2，求 BPC的度数 .2）如图，在四边形 ABCD中， ABC=

9、30°， ADC=60°， AD=CD，求证 BD2=AB2+BC2.例 8】在等腰 ABC中， AB=AC，边 AB绕点 A 逆时针旋转角度 m，得到线段 AD.1）如图 1，若 BAC=30°， 30°< m< 80°，连接 BD，请用含 m 的式子表示 DBC;2）如图 2，若 BAC=90°，0°< m< 360°，射线 AD 与直线 BC相交于点 E，是否存在旋转角度m，使 AE = 2 ，BE若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由D例 9】（1）已知点 P在一、

10、三象限的角平分线上，且点P到点 A（3，6）的距离为 PA=15，求点 P 的坐标；（2）已知直角坐标平面内的 ABC三个顶点的坐标分别为 A（ -1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断 ABC的形 状；3）求代数式 x2 +1+ （3- x）2 +4 的最小值；4）已知 a>0，b>0，求以 a2+b2 ， a2 +4b2 ， 4a2+b2 为三边长的三角形的面积自我归纳：四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 时后到达 B处，测得灯塔 M 在北偏西A 处测得灯塔 M 在北偏西 30 °，货轮以每小时 20 海里的速度航行， 1 小 45

11、6;，问该货轮到达灯塔正东方向 D 处时，货轮与灯塔 M 的距离是多少？东B2.在 ABC中， A=30°， B=45°， BC=10cm，求 AB，AC及 ABC的面积 .3.（1）如图，把长方形沿 ABCD对角线折叠，重合部分为 EBD.1）求证和： EBD为等腰三角形；2）若 AB=2， BC=8，求 AE.C'A2）如图，折叠长方形 ABCD的一边 AD，使点 D 落在 BC边上，已知 AB=8cm， CE=4cm，求 AD.AD4如图， ABC 是等腰三角形， BAC=90°，AB=AC，D.E.是 BC 上的两点，且 DAE=45°，

12、若 BD=6， EC=8，求 DE的长.C5如图，在等腰三角形中， AB=AC，D是斜边 BC的中点， E 、F分别为 AB，AC边上的点，且 DEDF.（ 1）求证： BE2+CF2=EF2；（ 2）若 BE=12， CF=5，试求 DEF的面积 .6如图，等腰 RtABC中， A=90°， P为 ABC内一点， PA=1，PB=3，PC= 7 ，求 CPA.7（1）如图 1，已知点 P 是矩形 ABCD内一点，求证： PA2+PC2=PB2+PD2.DC如果点 P 移动到矩形 ABCD的外部时，如图 3，（1）中结论仍成立 .请在以上两个结论中任选一个并给出证明DC归纳结论：8如图， ABC中， AD 是 BC边的中点， AE是 BC边上的高，求证： AB2-AC2=2BC· DE.DE9求代数式 x2 + 1 + （9 - x）2 + 4 的最小值 .10试判断，三边长分别为 2n2+2n，