杆件的内力截面法

1、杆件的内力截面法一、基本要求1. 了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2. 掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力;3. 熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1 .轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合；变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。计算简图为：图2-12）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为 轴力。一般用Fn表示，单位为牛顿（N）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行丁杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴

2、力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。2. 扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直丁杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。a -th-2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功 率P来计算。当功率P单位为千瓦（kW），转速为n （r/min）时，外力偶矩为PM e = 9549 （N .m）n当功率P单位为马力（PS）,转速为n （r/min）时，外力偶矩为PM e =7024 （N .m） n3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的

3、内力偶矩一扭矩，用T表示。扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T欠量背离截面为正，指向截面为负 （或欠量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相 似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。3. 弯曲内力1）基本概念弯曲变形：杆件在垂直丁其轴线的载荷作用 下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变 形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为 梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般 至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线 的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位丁该平面内的一条曲线，这种弯曲形

4、式称为 对：H： A1 称弯曲。其力学模型如图2-3所示。2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由 静力平衡方程确定的梁。A Si图2-4静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁C 计算简图分别如图2-4 （a）、（b）、（c）所示。3）剪 力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分 布内力系的合力，称为剪力，用FS表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表小。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为 dx的微段，若横截面上的剪力 使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力Fs规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正

5、，反之为负），如图2-5 （a）、（b） 所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩 M规定为正，反之 为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5 （c）、（d）“0卜们y aDzg)ib皿点所示。图2-5根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩， 则该力 在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力(顺为正，逆为负) ；固定截面，若外 力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩， 反之为 负的弯矩(上挑为正，下压为负)。4)剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的

6、位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即 FS =Fs(x)M = M (x)上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5)剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力Fs和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行丁梁轴线的 横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和 弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：(1) 剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第求支座反力。第二，根据截荷情况分段歹0出FS(x)和M(x)。在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和 弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为

7、剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作 Fs、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，Fs=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。 分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明Fs|max、M |max的数值。(2) 微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和 弯矩图。载荷集度q (x)、剪力Fs (x)与弯矩M (x)之间的关系为：3*)dxdM (x)=Fs(x)dxd 2M (x) dF s(x)2 = q( x)dxdx根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形

8、状。(a)若某段梁上无分布载荷，即q(x)=0，贝U该段梁的剪力Fs (x)为常量, 剪力图为平行丁 x轴的直线；而弯矩M (x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。（b）若某段梁上的分布载荷q（x）=q （常量），贝U该段梁的剪力Fs（X）为x的 一次函数，剪力图为斜直线；而M （x）为x的二次函数，弯矩图为抛物线。当q0（q向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当q<0 （q向下）时，弯矩图为向上凸 的曲线。（c）若某截面的剪力Fs （x） =0,根据 竺也=0，该截面的弯矩为极值。dx利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利 用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图， 而不

9、必再建立剪力方程和弯矩方程， 其步 骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定Fs 和M 。7S maxmaxFs max可能出现的地方：集中力F作用处；支座处。M max可能出现的地方：剪力Fs=0的截面；集中力F作用处；集中力偶M作用处6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为 刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组 成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的火角保持不

10、变。静定刚架：凡未知反 力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的 方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴 线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负 平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。图的绘制方法，与刚架相类似。三、典型例题分析例2-1 在图2-6 （a）中，沿杆件 轴线作用 Fi、F2、F3、F4。已知:Fi=6kN , F2=18kN , F3=8kN , F4=

11、4kN。试求各 段横截面上的轴力，并作轴力图。解：1.计算各段轴力AC段：以截面1-1将杆分为两段， 取左段部分（图（b）。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图2-6由£ f x =0得Fni = Fl =6 kN （拉力）CD段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图（c）。由£ f x = 0得Fn2 = Fi F2 = 12 kN （压力）Fn2的方向与图中所示方向相反。DB段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图（d）。由£ f x =。得f N 3 = f 4 = 4 kN （压力）Fn3的方向与图中所示方向相反。2.绘轴力图以横坐标x表示横截面位

12、置，纵轴表示对应横截面上的轴力 Fn ,选取适当 比例，绘出轴力图（图（e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在 x轴上侧，负 的轴力（压力）画在x轴下侧。例2-2 传动轴在图2-7 （a）所示。主动轮A输入功率为Pa= 36kW,从动 轮B、C、D输出功率分别为 Pb= Pc= 11kW, Pd= 14kW，轴的转速为n = 300r/min。 试作轴的扭矩图。段，取左段部分（图（b）。由平衡方程T1M B =0T - -M B 一 -350 N m负号说明Ti所假定的方向与实际扭矩相反同理，在CA段内，T2 ，M c ' M B = 02CBT2 = M C - M B = -700

13、N m在AD段内，T3 - M D 0T3 = M D =446 N m3.以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取 适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在 x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。例2-3图示简支梁受集中力F作用，试利用剪力方程和 弯矩方程绘出该梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由 £ Fy =0,£ Ma(F)=0,得FbF A =, F Bl2.列剪力、弯矩方程在AC段内，FalFs(x)=FAM (x)Fb,0 ： x ： alFbx, 0 _ x _ al在BC段内Fs(x)=-F BM (x)Fa，a ： x : llFax )=

14、-(l x ,(a M x壬l )3.求控制截面内力，作男力图、弯矩图。Fs图：在AC、CB段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行丁 x轴的直线。在集中力F作用处，Fsc左=-旦，Fsc右=企，左、右两侧截面的 S CS Cll剪力值发生突变，突变量=旦(旦)=F ； m图：在AC、CB段内，弯矩方ll程M (x)均是x的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩FabM A = M B =。，M C =,标在M -x坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的l弯矩图。显然在集中力F作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯 矩图斜率发生突变，因此在集中力 F作用处弯矩图上为

15、折角点。例2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图2-9 所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力F Ay = FBy = ql 22.列剪力、弯矩方程qlM 0) =FAyx qxx ql22图2-9Fs(x) = FAy -qx = 2 -qx，0 : x : l3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图M 0 = 0, M l = 0, MqlFSx = ,M 皿 S m axm ax2在某一段上作用分布载荷,2ql8剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线。且在Fs=0处弯矩M取得极值。例2-5 如图2-10所示简支梁，在C点处受矩为 梁的剪力图和弯矩图。Me的集中力偶作用，试作解：1.求支反力

16、由平衡方程Z Mb(F)=0和乏Ma(F)=0得FA = Fb =2. 列剪力、弯矩方程 在AC段内Fsi(x) =FAyMi(x) =FAyM elm0,0 ：: x _ alm。 八.x = x, 0 _ x ：: a图 2-10在BC段内l , 、 lm°,Fs2(X)= FBy =- , a _ X ： M (x) =Fb(1 x) = q1 (1 8 .求控制截面内力，绘Q、M图Fs图：AC段内，剪力方程Fs(X)是x的一次函数，剪力图为斜直线，求出两，、 L ,m° ,M 2(x) - -By 1 _x - -1 x , a ： x _13. 求控制截面内力，作

17、剪力图、弯矩图。M eFs 0= Fs 1=M aM b_eeM(0)=M(1)=0, M 左=一,M 右=在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为 A M = M，而11剪力图无改变。解：1.求支反力。由平衡方程£Mb(F)=0和图 2-11例2-6 如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力 图和弯矩图。£ M A ( F) = 0 求得F a = q1 , Fb = q1882. 列剪力、弯矩方程AC段：3 Fs(x) = Fa qx = q1 - qx81(0 ：: x _ )21 231M(x)=FAx_qx =_q1x qx2 821(0

18、 £x 土 )2CB段：1(-x : 1)21-x) (一 _ x _ 1 )21Fs(x) - -Fb = -q1831个跚截面的男力值，Fsa =-ql , Fsc = - ql ,标在Fs -x坐标系中，连接两点 88即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值， 连一水平线即为该段剪力图。梁 AB的剪力图如图2-11(b)所示。M图：AC段内，弯矩方程M (x)是x的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，Ma=0 , Mc=Lql2,分别标在M x坐标系中。在Fs=016339-处弯矩取得极值。令男力万程 Fs(x) =0，解得x =了，求

19、得M (板l)=瑟"ql，标 在M x坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。 CB段内，弯矩方程M (x) 是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在M _x坐标系中，并连成直线。AB梁的M图如图2-11(c)所示。例2-7 梁的受力如图2-12 (a)所示，试利用微分关系作梁的Fs、M图。 解：1.求支反力。F =3kN由平衡方程£Mb(F)=0和m=3.6kN.mq=10kN /maZ M a(F) = 0 求得Fa =10 kN , Fb =5kN2.分段确定曲线形状由丁载荷在A、D处不连续，应将梁 分为三段绘内力图。根据微分关系dFs(x)=q(x), dxdM

20、 (x)Fs (x)dx0.6m1.2m0.6m图 2-12d 2M (x) dFS(x)= q(x)dx 2dx,在CA和AD段内,q = 0 ,剪力图为水平线，弯矩图为斜直线;DB段内，q =常数，且为负值，剪力图为斜直线，M图为向上凸的 抛物线。3. 求控制截面的内力值,绘fs、M图Fs图：Fsc右=-3 kN , Fa右=7 kN ,据此可作出CA和AD两段Fs图的水平' 线。Fsd右=7kN , Fsb左=-5 kN，据此作出DB段Fs图的斜直线。M图：Me =0 , M人左=-1.8 KN 'm，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线A支座的约束反力Fa只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩 值，故M A左=Ma右=MA = 1.8 kN -rn , M d左=2.4 kN .m，据此可作出AD段弯 矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求 出M D右=-1.2 KN .m , M B =0 ；由DB段的剪力图知在E处Fs =0，该处弯矩 为极值。根据BE段的平衡条件£ Fy =0 ,知BE