浙江农林大学静电场中的导体和电介质有介质时的高斯定理习题

1、四解答题1、如图所示，一导体球半径为 Ri,外罩一半径为 R2的同心薄导体球壳，夕卜球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0，求导体球和球壳之间的电势差 （填写A、B C或D,从下面的选 项中选取）。Q4兀既R2 jR V Q 、V0R2 4 评 0R2 )C、V0 _ Q D4 二；0R2Ri和R2,电荷分别为q和Q的带电球壳。由电势叠加原理，导体球的电势为=V0解出答案：A解 设导体球所带电荷为 q。因静电平衡，电荷q分布在导体球的外表面。这样一来，就可以把体系看成是两个半径分别为R1Qq =4二；0双-R2因此，导体球和球壳之间的电势差为u12 =v0 q+Q = '1 -坦i

2、v0 _ Q4喉0R2iR2 人颈&0R2J2、如图所示，在一半径为Ri=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳内，外半径分别为R2=8.0cm, R3=10.0cm。设A球带有总电量 QA=3X：108C，球壳B带有总电量Qb =2><10"C。（1）求球壳B内表面上带有的电量 外表面上带有的电量 以及 球A的电势 球壳B的电势A、5勺0*。 B 、3勺0'。C、5.610%D、4.5勺0勺答案：B, A, C, D（2）将球壳B接地然后断开，再把球 A接地。求球A带有的电量 球壳B内表面上带有的电量 外表面上带有的电量 以及球 A的

3、电势和球壳B的电势。A、 一3x10 鱼CB 、 2.1x10。 C 、 -2.V<10-CD、-0.9 10 气E、8.1 102VF、0答案：B, C , D, F, E解（1）由高斯定理可知，B球壳内表面带的电量等于金属球A带的电量 Qa的负值，即QB,int = Q = -3 10'C因电荷守恒，贝U B球壳外表面所带电量为 QB,ext =Qb +Qa =5x10C-，1因此，球A的电势为WA4 评 o (RiQa QB,int QB,ext 一"rTR39 /3 10'-3 10，5 10二= 9.0 10()0.060.080.10= 5.6 10

4、3V球壳B的电势为B4 二 °R35 10廿3=4.5 103V0.10（2 ）球壳B接地后电势气=° ,因此Q B,ext = °。B接地断开后总电量变为Qb= QB,int = 3勺0妥C。然后球A接地，贝U <PA = 0。设此时球A带电量为QA,有1 Qa -QaQb Qa(+ +)=0由此解得球A的电量4"。 R1R2R3Qa-Qb R33 10' 0.10«.=.=2.1X10 C这时球冗B内、外表面的电重1 R1 -1 R2 1 R31 0.06 -1 0.08 1 0.10QB,int=QA =一2.1 10

5、9;CQB,ext=QB Qa=0.9 10'C球壳B 的电势为甲B =Q： *Qa =9.0乂109 (3 + 2.1)*10= 8.1 102V3、一接地的充分大的导体板的一侧有一半无限长的均匀带电直线（电荷线密度为入），垂直于导体板放置，如图所示,带电直线的一端 A与板距离OA= d。求板面上。点处的面电荷密度A、: d: d答案：D解 导体板可视为无限大接地板，感应电荷只分布在板的。点一侧表面上。设 O点处的感应电荷面密度为1。在导体板内与O点紧邻处由感应电荷产生的场强为Ei =-切一负号代表场强沿 x轴反方向。而通过对带电直线上电荷元dq = Zdx的场强积分，可2 poO

6、-.dxE220 4二 (x d)得板内与O点紧邻处由带电直线产生的场强为一 导体板内与O点紧邻处的总场强等于 E和£2的叠加，而静电 4二；0d平衡导体内场强处处为零， 即- + - = 0因此，板面上O点处的面电荷密度为 a =4、如图所示，电荷面密度为巧的带电无限大板 A旁边有一带电导体B,今测得导体表面靠近P点处的电荷面密度为 。2。求：（1） P点处的场强 ; （2）导体表面靠近P点处的电荷元aS所受的电场力22A、乓 B、重 C、S D、也；。2；02；。p答案：A, C解（1）导体B和带电板A共同达到静电平衡。由静电平衡导体表面的电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可

7、得P点处的场强为（2）电荷元。2占S所受电场力为f =b2ASE其中E是指在导体B表面P点附近挖去面元 AS后，导体B上剩下的电荷以及带电板 A上的电荷 在面元AS所在处产生的场强，我们把挖去面元AS后导体B上剩下的电荷以及带电板A上的电荷称为其它电荷。这样一来，导体内与P点紧邻处的总场强是由电荷元 s2AS和其它电荷共同产生的，在静电平时该点总场强为零。考虑面元AS邻近处的场强，可将 AS看成无限大带电平板，因此电荷元Q2AS两侧的场强的大小都为 。2/（2&。），方向沿离开AS的方向（设。20 ）。由于 总场强为零，所以其它电荷在导体内与P点紧邻处的场强的大小等于 。2/（2舄），

8、方向与电荷元P点处的场强等于。2 as的场强的方向相反，垂直于导体表面向外。为使全部电荷分布在导体外AS所在处产生的场强为。2/饥，则要求其它电荷在导体外P点处的场强与在导体内与 P点紧邻处的场强大小、方向都相同。由于在没有电荷的空间电场线是连续的，所以其它电荷在面元-2- 22指、4-八八E= 因此，电荷兀t2AS所受的电场力为 f=b2ASE= 方向垂直于导体表面向外。 2；。备注：求解此类习题常出现的错误是f =o；AS/&0h处,5、如图所示，一个点电荷q放在一无限大接地金属平板上方试根据电场叠加原理求出板面P'点总场强为零,所以E1和E 2大小相等,方向相反。在图（b

9、）中,E 1和E 2分别代表点电荷q和金属板表面的感生电荷在P点的场强。因P点和QP'点紧邻,则E1= E；。由于P点和P'点镜面对称，所以 E2和E；也镜面对称。因此，点电荷q和金属板表面的感生电荷在P点的总场强为q hE =-2EiSinB =-3 负号代表万向竖直向下。由静电平衡导体表面的2二 0R R所以，板面上距q为R处的感生面电荷密度为aqh2 二 R3_- 22二；0R R电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可得三=E= q h；0R2 = 2 Ri,6、径为Ri的导体球，带电荷 q,在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R3 = 3 Ri,今在距球心d

10、 = 4 R1处放一电荷为Q的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷.A、3Q- q_4买 C、-q D、-l3Q+q 答案：A4解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为E = qr / 4二；0r3(Ri v r v R2)设大地电势为零，贝U导体球心 O点电势为:r2 d r2.R2 _ .qU 0 = E d r = F4二；0 Ri r4券0 BR2根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知， 球壳内表面上感生电荷应为一 q .设球壳外表面上感生电荷为Q'.以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心 O 处电势应为：f 小Uo假设大地与无穷远处等电势，则上

11、述二种方式所得的Q + Q_n+_g_4"。d R3 R2 Ri。点电势应相等，由此可得Q -3Q4故导体壳上感生的总电荷应是-匹. q-47、两个半径分别为 Ri和R2 ( R V R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电外球壳上的内表面带电则为，外表面带电为,其电势大小A、 -q B 、 +q C4戒0RD 、0答案：A, B, C(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，外球壳上的内表面带电则为，外表面带电,其电势大小A、Ri *3 q B、R2Ri q CR24 戒°RRi 一 R2 q 答案:24 戒0 R2B, A, D解：(1)内球带电+q ;球壳内表面带电

12、则为 -q ,夕卜表面带电为+ q ,且均匀分布，其电势3 0rqdr qo 72 =& 4 度0r4 淀oR(2)外壳接地时，外表面电荷+ q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q.所以球壳电势由内球+ q与内表面-q产生:4 thj0r2q4 兀;0R2=0d =3R处有一点电荷2；r 1 R2/2 ；0 ；r解：由高斯定理可求得:B、2 ；r1 R26。7C、2；r 1 R2，： 口 2；r 1R2 广0 'r(3)设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为-q，外壳外表面带电量为 -q + q(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且q' q' - q q&

13、#39;R1,一，一Ua =+=0碍 q = q夕卜球冗上电势4 兀 0 R14 磕0 R24 兀®0 R2R2q' q' - q q' _ R - R2 qU B -一 一 4 Tt0 R24 必0 R24 兀®'0 R24 戒0 R28、半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 + q ,试求：金属球上的感应电荷的电量 .答案：-q/3解：如图所示，设金属球感应电荷为 q，则球接地时电势 U°=0由电势叠加原理有：Uo = - q一 = 04 族0R 4 戒03R得qq39、一个半径为R的各向同性均匀电介质球

14、， 相对介电常量为#r ,球内均匀地分布着体密度为 P的自由电荷，试求球心与无穷远处的电势差 .答案：BE工2 L P球内： E =rU。二二0E dr二 R3/rdrR.dr3p6侦；r其间的库仑力为F° .试10、有三个大小相同的金属小球， 小球1,2带有等量同号电荷，相距甚远, 求:小球1, 2之间的库仑力(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去，小球1,2之间的库仑力4233A、F09B、F03C、F0 D 8、4F0答案：C, A解：由题意知F02=q(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1, 2后移去,4脩or小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电q小球3再与

15、小球2接触后，小球2与小球3均带电此时小球1与小球2间相互作用力F1 = 一-3 =q43 28q3匚,2 一04 脩0r2824适0r(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为 奕3小球1、2间的作用力F22 2qq 3 3“ _4f一9F。11、在半径为R的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳， 介质相对介电常数为 8，金属球带电Q .试求：(1)电介质内的场强 .电介质外的场强 A、一B、一C、W D、W 答案：A, C4 兀'rr2 兀 &rr4 渣0r2 族0r(2)电介质层内的电势 电介质外的电势 Q4戒0rB、Q2 兀；0r(1.)4

16、戒0弓rR2Q 1； r T J(_+ )答案：C, A2戒。弓rR2金属球的电势 答案：AB、, 1；r -1、(r)DE RlR22Q(，)兀.0 TR1R2解：利用有介质时的高斯定理<fD，dS = £ qSQrQr介质内(Ri <r <R2)场强D =U3,E内=43 ;QrQr介质外(r < R2)场强D = Q 3 , E外=Q 34 <34 疝0r3Q(2)介质外(r a R2)电势U = £ E外dr = 介质内(Ri <r <R2)电势U =E内 dr - E外 drrr14 兀-(r1R2)Q4 兀；0R27(-

17、4戒0与r:-1匚)R2(3)金属球的电势R2 -U =匚E内dr+匚E外drr2QdrR 4兀的；r2Qdr2I)o4 兀& 0 r4 戒 0 & r R1R2一、判断题1、处于静电平衡的导体表面不是等势面。错误分析：处于静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面，此时导体表面及内部不会发生电荷的定向运动。2、 导体的静电平衡状态是指导体内部和表面都没有电荷的状态错误分析：静电平衡状态指的是导体内没有电荷的定向运动，而不是指没有电荷。3、处于静电平衡的空腔导体，当空腔内有电荷 +q时，内表面因静电感应出现等值异号的电荷-q ,外表面有感应电荷 *q (电荷守恒)。正确4、 空腔

18、导体可以屏蔽外电场，使空腔内物体不受外电场影响。这时 ，整个空腔导体和腔内的电势 也必处处相等。正确5、 将一个带正电的带电体 A从远处移到一个不带电的导体 B附近，导体B的电势将降低。错误 分析：不带电的导体相对无穷远处为零电势。 由于带正电的带电体 A移到不带电的导体 B附近时,在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带导体的电势将高于无穷远处，即导体 B的电势将升高。6、将电介质放置到外电场中，电解质就会立刻失去了绝缘性。错误分析：电介质内几乎不存在自由电子（或正离子）。当把电介质放置到外电场中，电解质中的电子等带电粒子，也只能在电场力的作用下作微观的相对移动。只有在强电场的作用下

19、被击穿，电解质中的一些电子才被解除束缚而作宏观的定向运动，从而失去绝缘性。7、 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零 错误分析：根据有介质时的高斯定理，高斯面内不包围自由电荷时，高斯面上的电位移通量等于零，即c/D，d S = 0，但不能由此推出 D = 0S8、高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷；错误分析：根据高斯定理，高斯面上处处D为零，则高斯面上的电位移通量等于零，即qD，dS=，Q=0 , Z Q为零即表示面内自由电荷的代数和为零。 S9、 高斯面的电位移（D）通量仅与面内自由电荷有关；正确分析：高斯面的电位移通量fD，dS=£Q , Z Q为面内自由电

20、荷的代数和。S10、若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷。错误 分析：电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，根据高斯定理，只能判断出曲面内一定有自由电荷。11、 在静电场中，作闭合曲面 S,若有qD 'dS = 0 （式中D为电位移矢量），贝U S面内必定自S由电荷和束缚电荷的代数和为零；错误分析：根据高斯定理，高斯面上的电位移通量等于零，则面内自由电荷的代数和为零12、 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关正确13、各相同性的均匀电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强、 一， 1,、度一定等于没有介质时该点电

21、场强度的上倍。正确；r14、 电介质中的电场强度一定等于没有介质时的该点电场强度的倍错误分析：对于正确各相同性的均匀电介质，表述应该如下，电介质充满整个电场并且自由电荷的分 1 ,、布不发生变化时，电介质中的电场强度一正等于没有介质时该点电场强度的一倍。；r三填空题：1、 任意带电体在导体体内（不是空腔导体的腔内）（填会或不会）产生电场，处于静电平衡下 的导体，空间所有电荷（含感应电荷）在导体体内产生电场的 （填矢量和标量）叠加为零. 答案：会，矢量 分析：答案依次为会，矢量。注意电场是矢量场。2、 处于静电平衡下的导体表面 （填是或不是）等势面,导体表面附近的电场线与导体表面相互 ，导体体内

22、的电势 （填大于，等于或小于）导体表面的电势.答 案：是，垂直，等于 分析：答案依次为 是，垂直，等于。要注意静电平衡下的导体是等势体，表面电势也相等。导体表面的电场线必须与导体表面相垂直，否则导体表面就不可能成为等势面。3、 一孤立带电导体球，其表面处场强的方向 ;当把另一带电体放在这个导 体球附近时，该导体球表面处场强的方向 。答案：垂直于表面仍垂直于表面分析：垂直于表面仍垂直于表面静电平衡时导体是等势体，导体表面的场强方向必定满足垂直于表面。4、在静电场中，电位移线从 出发，终止于 .答案：正的自由电荷、负的自由电荷分析：答案依次为 正的自由电荷、负的自由电荷。要注意电位移与电场之间的关

23、系。5、在相对介电常数为 的各向同性电介质中，电位移矢量与场强之间的关系是。答案：0rE分析：答案为D=80&rE6、 两个点电荷在真空中相距为 r1时的相互作用力等于它们在某一无限大”各项同性均匀电介质中相距为2时的相互作用力，贝U该电介质的相对介电常数弓=。2 2答案：ri2 /22分析：答案为1/2。根据题设有qiq22=qiq22，因此8= 12. r2"0r14二；r2；0 r27、 分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 电介质。在外电场作用下，分子 的正负电荷中心发生相对位移，形成 。答案：无极分子，电偶极子分析：答案为无极分子电偶极子。无机分子电荷中心重合，有机分

24、子正负电荷中心形成电偶极子。8、如图所示，平行板电容器中充有各向同性 均匀电介质。图中画出两组带箭头的线分别表示电力线、电位移线。则其中(1)为, (2)为。答案：电位移线，电力线分析：答案依次为电位移线、电力线。电位移是从正的自由电荷到负的自由电荷，而电力线还包括从自由电荷到极化电荷O9、 半径为R和R2的两个同轴金属圆筒， 其间充满着相对介电常数为 &r的均匀介质。设两筒上单 位长度带电量分别为+ 入和一入，则介质中的电位移矢量的大小 D = ，电场强度的大小，E=。答案：*(为)寻顷)分析：答案依次为> 。2二r2：p；r根据有电介质时的高斯定理efD，dS=£

25、Q可以得到相对介电常数为 耳的均匀介质中S人电位移矢量的大小 D =云-，再由D = &0&r E便可得到电场强度的 E的大小。10、 一点电荷q被放在一个介电常量 E为的有限大各向同性均匀电介质球的中心，则在介质球外距球心为r处的P点的场强大小EP =答案：一知4"0r11、描述电介质极化强度的物理量电极化强度P的定义式是 ,它的物理意义是答案：E p/ V,某点附近单位体积中的分子电矩矢量和分析：答案依次为P=* K 、某点附近单位体积中的分子电矩矢量和。12、平板电容器充电后断开电源，场强为Eo,现充满相对介电常数为 每的电介质，则其极化强度为。答案：,(1-1

26、/ r) E1 卜-. Eo分析：答案为 1 - Eo ,具体表达式如下：P=oE=(&r T堂0、选择题1、一带正电荷的物体 M,靠近一不带电的金届导体 N , N的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷，若将 N的左端接地，如图所示，则 答案：B(A) N上的负电荷入地(B) N上的正电荷入地(C) N上的电荷不动(D) N上所有电荷都入地分析：选(B)。导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处 等电势，这与导体N在哪一段接地无关3、有一带正电荷的大导体，欲测其附近 P点处的场强，将一电荷量为q0 (q0 >0 ) 的点电荷放在P点，如图所示，测得它所受的电场力为 F.若电荷量

27、qo不是足够小,则(A) F/ qo比P点处场强的数值大；(B)F/ qo比P点处场强的数值小；/十 qo(C)F/ qo与P点处场强的数值相等；(D) F/ qo与P点处场强的数值哪 I个大无法确定.答案：B一一分析：选(B)。qo电量不是足够小，将影响导体上电荷的分布，近端的电荷在库仑力 的作用下原理P点，因此选B。4、有一接地的金届球，用一弹簧吊起，金届球原来不带电.若在它的下方放置一电量为q的点电荷，M 答案：C(A) 只有当q>o时，金届球才下移.(B)只有当q<o时，金届球才下移.(C)无论q是正是负金届球都下移.(D)无论q是正是负金届球都不动.分析：选(C) q不论

28、正负，由丁接地，金届球上的出现的感应电荷中只保留与q异号的电荷，因此在库仑力的作用下，金届球都要下移。5、把A , B两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示。设无限远处 为电势零点，A的电势为Ua, B的电势为Ub,则答案：D(A) Ub>Ua0 (B) Ub>Ua=o (C) Ub=Ua (D) Ub< Ua厂，分析：选(D)。可以根据电场线的分布来判断电势的高低。7图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷 q为答案：C6、半径为R的金届球与地连接.在与球心。相距d =2R处有一电荷为q的点电荷.如(A) o- (B) 2 (C) -"(D) q分析：

29、选(C)。由已知题设，电势叠加有 +C = 0,所以感生电荷总量为4二；0d4二；0 R7、如图所示，两同心金届球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过外球壳上的 绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷，则内球壳：(A)不带电荷.(B)带正电荷.(C)带负电荷.(D)内球壳外表面带负电荷，内表面带等量正电荷.答案： C分析：选(C)。外球壳有正电荷，由丁接地，则大地中的负电荷进入内球壳。* _8、一带电孤立导体，处丁静电平衡时其电荷面密度的分布为b(x,y,z)。已知面元dS处的电荷面密度为。0 ,如图所示，则导体上除dS面元处的电荷以外 的其它电荷在dS处产生的电场强度的大小为(A) (B)

30、二. (C)。&° .(D) 2。0初.答案：Bdsj-02 -0厂十，0分析：选(B)。带电导体表面的场强大小与表面电荷面密度的关系E=，考虑面元dS邻近处的场强，可将dS看成无限大带电平板，因此电荷元b0dS 两侧的场强的大小都为 &修0),方向沿离开dS的方向。所以其它电荷在 导体内与P 点紧邻处的场强的大小等丁 。/(2&。)，方向与电荷元 ddS的场强的方向相反，垂直 丁导体表面向外。为使全部电荷分布在导体外 P点处的场强等丁。/(虹)，则要求其 它电荷在导体外P点处的场强与在导体内与P点紧邻处的场强大小、方向都相同。其 它电荷在面元AS所在处产生的

31、场强为E=%9、一均匀带电球体，总电量为+Q,其外部同心地罩一内、外半径分别为的金届 球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为 r (r1 < r < r2)的P点处的场强和 电势为(A )、E = Q 2,U = ( B )、E=0,U=( C )、£ = 0(=4 - ;0r4- ;0r4二；0r14- ;0r(D)、e =0,U = 答案：D4二；0r2分析：选(D)。球壳达到静电平衡后，球壳的内表面带-Q的感应电荷，外表面带+Q 的感应电荷，球壳内部场强为零，球壳为等势体。P点处的电势就等丁球壳表面的电势，故U =。4 ：二.0210、A, B为两导体大平板，面积均为S,平行放置，A板带电荷+Qi,B板带电荷+Q2, 如果使B板接地，则AB问电场强度的大小E为(A)、- (B)、Ql 一Q2(C)、d (D)、Ql*Q2 答案:C2;°S2;°S；°S2;°S分析：选(C)。B板接地后，将出现-Qi的感应电荷，正电荷进入大地。因此 AB问电场强度的大小E= E = 2反=虫2 ；0；0S11、带电时为qi的导体A移近中性导体B,在B的近端出现感应电荷q2,远端出现感应电荷q3，这时B表面附近