1.1.1变化率问题

1、1. 1.1 变化率问题课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题 1,2。知道平均变化率的定义。预习内容： 问题 1 气球膨胀率我们都吹过气 球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?在吹气球问题中，当空气容量V 从 0 增加到 1L 时，气球的平均膨胀率为 _当空气容量 V 从 1L 增加到 2L 时，气球的平均膨胀率为 _当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率为 _问题 2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后h的时间 t (单位：s)存在函数关系 h(t)=

2、-4.9t2+6.5t + 10.如何用运动代员在某些时间段内的平均速度V 粗略地描述其运动状态？在0兰t兰0.5这段时间里，V =_ I在1兰t兰2这段时间里，V =- -1o问题 3 平均变化率已知函数f(x )，则变化率可用式子_，此式称之为函数f(x)从X2_.习惯上用也 x 表示X2-X1，即Ax=_，可把也 x 看做是相对于X1的一个“增量”，可用X1 + Ax代替X2，类似有f (x) =_于是，平均变化率可以表示为 _提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标1.理解平均变化率的概念；2. 了解平均变化率的几何意义

3、；3. 会求函数在某点处附近的平均变化率学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)=学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题 1 气球膨胀率问题：气球的体积V(单位：L)与半径r(单位:dn)之间的函数关系是如果将半径 r 表示为体积 V 的函数，那么_ . 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 _ .气球的平均膨胀率为_. 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 _ .气球的平均膨胀率为_.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考：当空气容量从V增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少

4、问题 2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 时间 t (单位：S)存在怎样的函数关系？ 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 间t(单位：S)存在函数关系_)如何计算运动员的平均速度？并分别计算0 t 2, 2 t 2.2，时间段里的平均速度.思考计算：0乞t乞0.5和1乞t乞2的平均速度 在0空t空0.5这段时间里,在1 r2这段时间里，65探究：计算运动员在0空t这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10 的图像，结合图形可知,

5、h(聲-h(0)，65.虽然运动员在0乞t这段时间里的平均速度为0(s/ m),49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(1) 计算和思考，展开讨论；(2) 说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上(3) 得到结论是： 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态， 它并不能反映某一刻的运 动状态.需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；二平均变化率概念：所以但实际情况是1.上述问题中的变化率可用式子f (X2)- f(x1)表示，称为函数f(x)从X!到X2的平均变化X2一捲h (单位：m)与起跳后的h(单位：m与起跳后的时t0.5,K tw2,1.8

6、2 若设 LX= X2- xLf= f (x2) - f(X)(这里 LX 看作是对于X1的一个增量”可用xi+ x代替X2,同样f . y = f (x2) -f (x1)3.则平均变化率为=f=_Ax Ax思考：观察函数f(X)的图象平均变化率 二f(X2)-f (Xi)表示什么？Zx2x(1)一起讨论、分析，得出结果；(2)计算平均变化率的步骤：求自变量的增量 X=X2-Xi；求函数的增量 f=f(x2)-f(xi)；求平均变化率兰二f(X2)f(Xl)LXX2_X)注意：厶 X 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘;2X2= X 计厶 X ;3 f= y=y2-yi；三.典例分析例 1

7、 .已知函数f(x)=-x2x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1：x,-2：y),则=_ 解：2例 2 .求y = x在x=x0附近的平均变化率。解：四.有效训练21._质点运动规律为S=t 3，则在时间(3, t)中相应的平均速度为 _ .2. 物体按照S(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动，求在 4S附近的平均变化率.3. 过曲线y=f(x)=x3上两点P(1, 1)和Q(1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率反思总结：1、平均变化率的概念2、如何求函数在某点附近的平均变化率当堂检测1、函数f x =X2在区间-1,3 1上的平均变化率是()1

8、3A4 B、2 C 、D 、一442、 经过函数y = -2x2图象上两点AB 的直线的斜率(XA=1.5,XB=1)为_；函数y =2x2在区间1 , 1.5上的平均变化率为 _3、如果质点 M 按规律s=3+t2运动，则在时间2 , 2.1中相应的平均速度等于 _课后练习与提咼21、 已知函数f(x) - -X1，分别计算f x在下列区间上的平均变化率(1) 1, 1.01(2)0.9,12、 已知一次函数y = f(X)在区间-2 , 6上的平均变化率为2，且函数图象过点(0, 2),试 求此一次函数的表达式。3、 已知函数y = f(x)=2x2-1的图象上一点(1, 1)及邻近一点(

9、1+LX,f (-X ), 求卫x4、将半径为 R 的球加热，若球的半径增加R,则球的体积增量243V =4兀R(AR)2+_JT(AR)3+(_)1.1.1 变化率问题教学目标:1. 理解平均变化率的概念；2. 了解平均变化率的几何意义；3. 会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究：产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度

10、等；二、 求曲线的切线；三、 求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二、新课讲授(一)问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？43气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r33分析：r (V) =3(1)当V从0增加到1时，气球半径增加了r(1) -r(0)0.62(

11、dm)气球的平均 膨胀率为口1一口0:0.62(dm/ L)1-0(2)当V从1增加到2时，气球半径增加了r(2)r(1)：0.16(dm)气球的平均 膨胀率为一一:-0.16(dm/ L)如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)2-1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从Vi增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少？-V2Vi问题 2 高台跳水在高台跳 水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳 后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t) = -4.9t26.5t - 10.如何用 运动员在某些时间段内的平均速V度粗略地描述其运动状态？思考计算：

12、0空t乞0.5和1空t空2的平均速度v在0汀乞0.5这段时间里,V =h(0.5)_h(0) =4.05(m/s)0.5-0在1 2这段时间里,VJ(2)川川一8.2(m/s)2165探究：计算运动员在0乞t这段时间里的平均速度，并思考以下问题49(1) 运动员在这段时间内使静止的吗？(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=.9t26.5t 10的图像，6565一h(云)-h(0)结合图形可知，h( ) = h(0)，所以v = 0(s/ m)49竺_04965虽然运动员在0乞t这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动，

13、并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态(二)平均变化率概念1. 上述问题中的变化率可用式子f (x2)-f (x1)表示，x2_x称为函数f (x)从x2的平均变化率.2. 若设厶 XXQ-X.f = f (x2) - f (xj(这里x看作是对于x1的一个增量”可用捲代替x2，同样f = y =f (x2) - f (xj)则平均变化率为卫二兰二&2)-口刘)二f(X!切-fd!)=X=XX2- X1LX思考：观察函数f (X)的图象平均变化率 =f(X2)一一f(X1)表示什么？ZX2 X1三、典例分析例 1 已知函数f(x)=-x2x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B( 1-2 =y)则一y =_._xY=f(x)解：一2二y - -(二x)2(二x)2.=-(：x) (J：x)-2_ 3 _ .,xLXLx2例 2 求y二x在x =x附近的平均变化率.解：y =(x0* =x)2- x022 2 2 2 2y(xoLX) _XOxo2xoixLX- xo所以2x0* =xxx x2所以y = x在x = x0附近的平均变化率为2x x四、 课堂练习1. 质点运动规律为