307-8连续时间系统的频谱分析-抽样定理09

1、X第7节 连续时间系统的频谱分析连续时间系统的频谱分析 从时域卷积到频域相乘LTI频谱分析原理系统函数与频谱分析求法系统频谱分析举例1：信号无失真传输系统频谱分析举例2：理想滤波器可实现滤波器的约束条件X系 统f(t)y(t)h(t)时域关系: y(t) = f(t)* h(t) 卷积*关系频域关系: ( )YFH乘积*关系系统零状态响应：X一一.引言引言连续系统的时域分析法连续系统的时域分析法:)()()(tytytyzszi:)( 的的求求解解tyzs)()()()()()(thtftyththtzs线线性性叠叠加加求求求求的的线线性性组组合合信信号号的的分分解解理论基础理论基础:线性和时

2、不变性线性和时不变性信号的频域分析法信号的频域分析法:(与时域分析区别与时域分析区别?)的的线线性性组组合合不不同同频频率率的的虚虚指指数数信信号号信信号号的的分分解解 连连续续变变量量傅傅立立叶叶反反变变换换离离散散变变量量指指数数形形式式傅傅立立叶叶级级数数wdwejwFtfnweFtfjwtntjnnT)(21)()(11连续系统的频域分析法连续系统的频域分析法)()()(jwHjwFjwY时域卷积定理时域卷积定理X系统频域分析思路系统频域分析思路:变换变换反变换反变换卷积运算卷积运算乘法运算乘法运算说明说明:频域分析中求的响应是指系统零状态相应频域分析中求的响应是指系统零状态相应)()

3、()(thtftyzs)()()(jwHjwFjwYX二二.LTI系统的傅里叶变换分析法系统的傅里叶变换分析法1.系统的频域响应系统的频域响应H(jw)一般一般LTI系统可描述为系统可描述为:)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatyammmmnnnn)()()()()()(,01110111jwFbjwbjwbjwbjwYajwajwajwammmmzsnnnn利利用用时时域域微微分分性性得得对对方方程程进进行行傅傅里里叶叶变变换换)()()()()()(01110111jwFajwajwajwabjwbjwbjwbjwYn

4、nnnmmmmzs)()()(jwFjwHjwYzsX系统的频域响应系统的频域响应:)()()(jwFjwYjwHzs相相频频特特性性幅幅频频特特性性)()()()(wjwFjwYjwHzs说明说明:1)频域响应将系统的激励和响应建立了代数关系频域响应将系统的激励和响应建立了代数关系2)频域响应频域响应H(jw)是描述系统的重要物理量是描述系统的重要物理量,只与只与系统本身的固有特性系统本身的固有特性(参数和结构参数和结构)有关有关,而与激励而与激励无关无关.系统的数学模型可用系统的数学模型可用h(t)或或H(jw)来表述来表述.3)频域响应的物理意义频域响应的物理意义:h(t)和和H(jw)

5、分别从时域和频域描述了同一系统的特性分别从时域和频域描述了同一系统的特性)()(jwHth)(01110111)()()()()(wjnnnnmmmmejwHajwajwajwabjwbjwbjwbXXX参考课本X失真失真无失真传输条件无失真传输条件X一失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。使响应的各频率分量在时间轴上的相对

6、位置产生变化。 信号经系统传输，要受到系统函数信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出的加权，输出波形发生了变化，如与输入波形不同，则产生失真。波形发生了变化，如与输入波形不同，则产生失真。 jH线性系统的失真线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频幅度，相位变化，不产生新的频率成分；率成分；非线性系统产生非线性失真非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；无失真传输；利用失真利用失真波形变换。波形变换。X二无失真传输条件幅度可以比例增加幅度可以比例增加可以有时移可以有时移波形形状不变波形形状不变

7、h(t) tr te)()( 0ttKetr 因为因为0je )j ()j (tKER0je)j ()j ()j ( tKERH 所以所以),j ()( Hth已已知知系系统统 te 若若激激励励为为 tr 响响应应为为时不失真时不失真那么那么)()(0ttKetr X 0)j (:tKH 即即频谱图说明：说明：要求要求幅度幅度为与频率无关的为与频率无关的常数常数K，系统的通频带为系统的通频带为无限宽。无限宽。相位特性与相位特性与 成正比成正比，是一条，是一条过原点过原点的的负斜率负斜率直线。直线。 -线性相位线性相位 X相位特性为什么与频率成正比关系？ thttKKHt 0j0e)j ( 只

8、有只有相位相位与频率与频率成正比成正比，方能保证各谐波有相同的，方能保证各谐波有相同的延延迟时间迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 总结系统的无失真传输条件系统的无失真传输条件)()(:0ttKth 时域时域0je)j ( :tKH 频域频域0)(,)j (tKH 即即均为实常数均为实常数和和0tKX滤波器概述滤波器概述理想低通的频率特性理想低通的频率特性信号过信号过LP的系统响应的系统响应X一.滤波器概述1.分类分类 经典滤波器经典滤波器 现代滤波器现代滤波器经典滤波器：假定输入信号的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带如果信号和噪声的频谱相互重

9、叠，经典滤波器无能为力现代滤波器：从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。它把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（自相关函数、功率谱等）导出最佳的估算方法，利用硬件或软件予以实现。X2.几种常见的滤波器X ccj 0e1j0 tH二理想低通的频率特性 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真 ( ) 。c0 在在0 t只有时移只有时移 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称称 频带频带c 0t 即即 cc01j H)()(0ttftytjejFY0)(jX三信号过信号过LP的系统响应的系统响应1

10、 单位冲激函数2 单位阶跃函数X)(j)( Hth因为因为 de )(j21)(j)( j1tHHFth所以所以 cc0cc0j0)(jej121de121 tttttt1理想低通的冲激响应 cctt dee121jj0 0c0cjj0eej2111tttttt 0c0ccsintttt 0ccSatt 由傅氏反变换公式：X 0ccSattth 波形由对称性也可以从矩形由对称性也可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到脉冲的傅氏变换式得到X1 1比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真；2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统说明： 当当

11、经过理想低通时，经过理想低通时， 以上的频率成分都衰以上的频率成分都衰 减为减为0，所以失真。，所以失真。 t c 信号频带无限宽信号频带无限宽， 1t 而理想低通的通频带而理想低通的通频带( (系统频带系统频带) )有限的有限的 c0 系统为全通网络，可以系统为全通网络，可以 无失真传输无失真传输。时，时，当当 c )()(tth 原因：从原因：从h(t)看，看，t0时已有值。时已有值。X ccj 0e1j)(0 tHth 0jej1 tR 所以所以)(cc c0deej1)(21)()(jj1 cttRFtr2理想低通的阶跃响应（不作要求） dje21de21cc0cc0jj tttt d

12、sin2221c00 tt 0ttx 令令 xxxttdsin1210c0 激励激励 j1)()( t=ute系统系统响应响应)()()(thttrX可实现滤波器的约束条件参考课本P282 -5.5节X总结主要内容: 1) 连续时间系统的频谱分析(求法) 2)信号无失真传输（条件与原理） 3）理想滤波器（原理） 作业作业: 3-23(+时域求法）时域求法）, 3-32( (解题思路解题思路) ) 3-35,3-40,3-41X1.问题的提出问题的提出(数字化数字化)2信号抽样信号抽样理想抽样理想抽样3.信号的恢复信号的恢复X问题的提出问题的提出: 现实生活中的连续信号的数字化问题现实生活中的连

13、续信号的数字化问题如如:新闻照片新闻照片,一幅图片需要多少个离散点才清晰一幅图片需要多少个离散点才清晰? 电影胶片电影胶片,每秒多少个离散样本可放映连续景象每秒多少个离散样本可放映连续景象? 绘制曲线绘制曲线,取多少个离散点才具有一定光滑度取多少个离散点才具有一定光滑度?说明连续信号和离散信号存在关系说明连续信号和离散信号存在关系,在一定条件下在一定条件下连续信号可用离散信号来复原连续信号可用离散信号来复原.需解决的问题需解决的问题:由抽样由抽样定理解决定理解决即用离散信号描述本来由连续信号描述的物理现象即用离散信号描述本来由连续信号描述的物理现象1)对连续信号的要求对连续信号的要求 2)如何

14、抽样如何抽样 3)如何复原连续信号如何复原连续信号X从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。数字处理的第一个环节。周期信号周期信号:采样脉冲序列采样脉冲序列抽样原理图：抽样原理图：一信号的抽样 tftftfjFjFtf能能否否恢恢复复由由是是否否保保留留原原信信号号的的信信息息的的关关系系与与抽抽样样后后频频谱谱的的变变化化需需解解决决的的问问题题ssss,)(:采样（抽样）开关：采样（抽样）开关：对连续信号等间隔的采样过程对连续信号等间隔的采样过程.数字信号数字信号X模拟信号，抽样信号，数字信号数字信号：时间和幅值均为离散数字

15、信号：时间和幅值均为离散 的信号的信号。模拟信号：时间和幅值均为连续模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号：时间离散的，幅值抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号连续的信号。量化抽样Ot tfO)(kfkOk)(kfXnnnnTtttp)()()()(sssTSnnjFTjFsss1 nnTtnTfttftf)()()()()(ssTs )( mmjFtf jPtp jFtfss 1理想抽样信号时域抽样过程时域抽样过程:频域抽样过程频域抽样过程:还保留原信还保留原信号的信息吗号的信息吗? )(ss 21 sTssjFttfFjF(抽样脉冲是冲激序列抽样脉冲是冲激序列)Xtf(t)

16、otp(t)oTSEtfS(t)oTSooo1相乘卷积(1)2冲激抽样信号的频谱X频谱不重叠频谱不重叠ms mms 3说明 倍倍。幅幅度度差差含含原原信信号号的的全全部部信信息息包包时时sss ,1,0 1TjFTjFn . , 2ss征征均均保保持持原原信信号号频频谱谱的的特特性性延延拓拓。每每个个独独立立频频谱谱进进行行周周期期对对即即新新的的频频率率成成份份有有为为周周期期的的连连续续谱谱以以jFjFo 现原信号。现原信号。滤除高频成分，即可重滤除高频成分，即可重截止频率截止频率为为其增益其增益器，器，若接一个理想低通滤波若接一个理想低通滤波 3mscms T nnFTFsss1(4)要

17、恢复原信号要恢复原信号,要求要求f(t)为带限信号为带限信号,且且S2 mXtfS(t)oTSotf(t)oo1 。或者说抽样率，即其抽样间隔必须惟一地表示。可用等间隔的抽样值来的范围，则信号，若频谱只占据一个频带受限的信号)2(222121 )( mmmmsmmmmssffffTftftf二 抽样定理X冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号的频谱X重建原信号的必要条件：重建原信号的必要条件：不满足此条件，就会发生不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。频谱混叠现象。奈奎斯特(Nyquist) 抽样率和抽样间隔msss222fT。隔隔是必要条件，或抽样间是必要条件，或抽样间抽样频率抽样频率即即msms21

18、2 fTff 隔”。隔”。称为“奈奎斯特抽样间称为“奈奎斯特抽样间是最大抽样间隔是最大抽样间隔 , 21msfT 特特抽抽样样频频率率”称称为为“奈奈奎奎斯斯是是最最低低允允许许的的抽抽样样频频率率 , 2 msff X例：已知实信号 的最高频率为 ，求 tfHzfm tf 2 tftftftf2,2抽样不混迭的最低抽样频率。 解： 2212jFtf最高频率为mf2最低抽样频率为mf4 2212jFjFtftf最高截止频率频率是两函数截止频率的最小值 Hzfm最低抽样频率为mf2! 图示加以说明X 221212jFjFtftf最高截止频率是两函数的截止频率的和mf3最低抽样频率为mf6X理想低

19、通滤波器理想低通滤波器滤除高频成分，即可恢复原信号滤除高频成分，即可恢复原信号ccs0TjH thtftfjHjFjFss三由抽样信号恢复原信号o HC C STo Fm m 1 o SFS1Tm S S mS mS2 从频域分析从频域分析信号的复原信号的复原结论结论:对一个带限信号对一个带限信号,只要满足抽样定理只要满足抽样定理,就可由理想低通滤波器恢复原信号就可由理想低通滤波器恢复原信号mscm:要求要求X从从时域运算时域运算分析信号的复原过程分析信号的复原过程以以理想抽样理想抽样为例为例 nnTtnTfttftf)()()()()( ssTs 时域：时域： nnFTFFssSs1 21

20、频域：理想低通滤波器：理想低通滤波器： ccs0 TH频域：频域： tTthccsSa 时域：时域： tTnTtnTfthtftfnccssssSa)()()( scscsSa)(nTtnTfTn X 连续信号连续信号f(t)可以展开成可以展开成Sa函数函数的无穷级数，级数的系的无穷级数，级数的系数等于抽样值数等于抽样值f(nTs)。 也可以说在抽样信号也可以说在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值的每个抽样值上画一个峰值为为f(nTs) 的的Sa函数波形，由此合成的信号就是函数波形，由此合成的信号就是f(t) 。 cssmcm2,2 Ts，则则有有当当 scsSa)(nTtnTftfn

21、 此时此时 scscsSa)(nTtnTfTtfn 说明X抽样信号恢复的时域分析抽样信号恢复的时域分析h(t)过零点过零点:由由ct=nt=nTS抽样间隔越抽样间隔越小小,恢复越好恢复越好css2,21Tsc当当.,)(,21:而而已已只只是是峰峰值值和和过过零零点点不不同同级级数数叠叠加加而而成成仍仍是是有有抽抽样样函函数数的的无无穷穷如如假假设设注注tfsc scsSa)(nTtnTftfnX四四.对抽样定理的进一步说明对抽样定理的进一步说明1.抽样定理是在理想条件下得出的抽样定理是在理想条件下得出的.l假设原信号频带有限假设原信号频带有限,实际上许多信号的频谱随实际上许多信号的频谱随增增大振幅而逐渐衰减大振幅而逐渐衰减.抽样信号的频谱会发生混叠现象抽样信号的频谱会发生混叠现象,不不可能无失真地复原信号可能无失真地复原信号.结论结论:一切时限信号在频域都是非带限的一切时限信号在频域都是非带限的 一切频带有限信号在时域都是非时限的一切频带有限信号在时域都是非时限的l理想低通滤波器是物理不可实现的理想低通滤波器是物理不可实现的.实际低通滤波器实际低通滤波器不是陡直的不是陡直的,要无失真获取原信号的频谱是不可能的要无失真获取原信号的频谱是不可能的.l严格地恢复原信号实际上是不可能的严格地恢复原信号实际上是不可能的.X