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1、第2节 无界函数的反常积分 我们知道，在上可积的函数都在上有界。下面我们考虑如果在某点的附近无界，该怎么积分？如果在的任意邻域内都无界，则称为的瑕点（反常点）。分别如下3种情况。（1）设在上只有唯一的瑕点；又设，在上都可积。考虑极限此时称收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在上是的随便一个原函数，则（记住：是怎样代进去的？）（2）设在上只有唯一的瑕点；又设，在上都可积。考虑极限此时称收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在上是的随便一个原函数，则（记住：是怎样代进去的？）（3）设在上只有全部的瑕点是。取，记。如果每一个都独立地存在，则称反常积分收敛，此时否则称发散。 关于（3）的解析：从

2、（1）和（2）我们懂得了只有一个端点是瑕点的反常积分。对于有限个瑕点的反常积分，我们插进一些分点，把积分变成若干个独立的只有一个端点是瑕点的反常积分的和。根据可加性，插进的这些分点是随意的。资料个人收集整理，勿做商业用途【例2.1】计算积分解、全部瑕点：。（记住：是怎样代进去的？）【例2.2】计算积分解、全部瑕点：。 【例2.3】证明：广义积分当时收敛，当时发散证、（1）设。发散。（2）设。发散。（2）设。收敛。【例2.4】讨论积分的敛散性解、发散，因为两个积分都发散。（在中，错误在哪里？）习题62A类1当为何值时，广义积分()收敛？又为何值时，这广义积分发散？*2证明：设函数的瑕点为，在的任

3、一内闭区间上可积，则当收敛时，也必收敛，并有*3证明：设定义在上的两个函数与，瑕点同为在任何上都可积，若，且，则有：(1) 当时，与同时收敛(2) 当时，由收敛可推知也收敛(3) 当时，由发散可推知也发散4讨论下列广义积分的收敛性：(1) (2) (3) *(4) *(5)5下列积分是否收敛?若收敛求其值（其中为正整数）：*(1) (2)(3) *(4)*6证明不等式:(1) ； (2) B类1讨论下列广义积分的收敛性：*(1) (2) (3) *(4) *(5) 2下列积分是否收敛?若收敛求其值（其中n为正整数）：*(1) (2) *(3) *3证明瑕积分收敛，且（提示：利用，并将它们相加）*4利用上题结果，证明：(1) (2) 总 习 题 六1判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：(1) (2) 2讨论下列积分的收敛性：*(1) *(2) (3) (4)3判别下列积分的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛：(1) *(2) 4. 讨论反常积分取何值时绝对收敛与条件收敛 5.举例说明：收敛时，不一定收敛*6. 证明下列等式：(1) (2) 7.证明：设在上连续，(1) 若，则(2) 若收敛，则*8. 证明下述命题：(1) 设为上的非负连续函数，若收敛，则也收敛(2) 设为上连续可微函数，且当时，递减趋于零时，则收敛的

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