苏教版选修1-1高中数学椭圆教案

1、椭圆【考点透视】一、考纲指要1熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程2考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力 .二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点， 也是高中数学的重点内容， 高考中主要出现三种类型的试题：考查圆锥曲线的概念与性质； 求曲线方程和轨迹； 关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程 , 平面向量及椭圆的几何性质等基本知识, 考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力 . 【典例精析】例 1：已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、B 两点， OAOB

2、 与 a(3,1) 共线（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 OMOAOB(,22R) ，证明为定值x2y21(ab0), F (c,0)解析 :（1）设椭圆方程为 a2b2x c 代, 则直线 AB的方程 y22xy122222222220 入 ab, 化简得 (ab ) x2a cxaca b22222令 A( x1 , y1), B(x2 , y2 )x x2a c, x xa c a b, 则12a2b212a2b2由OAOB( x1 x2 , y1y2 ), a(3,1),OAOB与 a 共线 ,得3 y(y )x(x)又y0xc, yxc，1212,11223(

3、 x1x22c) ( x1x2 )0,x1x23c2 23c6a2a cca2222222b3 ，即 a b, 所以 a3b ，c6e3故离心率a22（2）由（）知 a23b2xy1222, 所以椭圆 a2b2可化为 x3 y3b设 OM(x, y) , 由已知得 (x, y)(x1, y1 )( x2 , y2 ) ，xx1x2 ,yy1y2 .M ( x, y) 在椭圆上 ,(x1x2 )23(y1y2 ) 23b2，即 2 (x123y12 )2 ( x223y22 ) 2 ( x1x23y1 y2 ) 3b2x x23 c, a23 c2 , b21 c21222，由（ 1）知a2 c

4、2x1 x2a2x1 x23y1 y222a bx1x23 c2 ,83(x1c)( x2c)24x1x23(x1x2 )c3c32922c c 3c220.223b2223b2221又x13y1, x23y2代入，得22故为定值,定值为 1 x2y21例 2：如图，点 A 、 B 分别是椭圆 3620长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于x 轴上方， PA PF （1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值解析 : （1）由已知可得点 A（ 6， 0），F（4，0

5、）设点 P 的坐标是(x, y),则 AP x6, y, FP x4, y ，由已知得x2y21则2x 23 或x36209x180, x6.(x6)( x4)y 202由于3,于是 y5353).y 0,只能 x23, 点P的坐标是 (,222（2）直线 AP的方程是 x3y6 0.| m6 |设点 M的坐标是（ m，0），则 M到直线 AP的距离是2，| m 6 | | m 6 |, 又6m 6, 解得 m 2,于是2椭圆上的点 ( x, y) 到点 M的距离 d，d 2( x2) 2y2x 24 x 4205x24( x9) 215,有9926 x6,当 x9 时, d取得最小值15.由

6、于2例 3：（2005·福建）已知方向向量为v(1,3) 的直线 l 过点（ 0, 2 3 ）和椭圆C : x2y21(a b0)a2b2的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上 .（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在过点E（ 2， 0）的直线 m 交椭圆 COM ON463于点 M、 N，满足cot MON0（ OE为原点） . 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 .解析 : （1）直线 l : y3x2 3 ，y3 x过原点垂直 l 的直线方程为3 ，x3 .解得2yOx椭圆中心（ 0， 0）关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准

7、线上，a2323.c2直线 l 过椭圆焦点，该焦点坐标为（2， 0） .c 2, a 26, b2x 2y 21.2. 故椭圆 C的方程为 62（2）设 M（ x1 , y1 ）， N（ x2 , y2 ）.当直线 m不垂直 x 轴时，直线 m : yk( x 2) 代入，整理得(3k 21)x 212k 2 x12k 26 0,x1x212 k 21, x1 x212k 26 ,3k 23k 21| MN | 1 k2(x1x2 )24x1 x21 k212k2)2412k 262 6(1k 2 )(23k 213k 2,3k11d| 2k |y1k2M点 O到直线 MN的距离OMON46

8、cotMON ,ExO3即 N| OM | | ON | cos4cosMON0,MON6MON3sin| OM | | ON | sin46,S OMN246,yMON6.| MN | d333M46 | k |k2421).Ex16(3kO即3Nk 21,k3 .整理得33S OMN26当直线 m垂直 x 轴时，也满足3.y3 x23 ,故直线 m的方程为33y3 x23 ,或33或 x2.经检验上述直线均满足 OM ONy3 x2 3 ,0 . 所以所求直线方程为33y3x2333,2.或或 x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合， 因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结

9、合根与系数的关系， 或直接解出根，是高考常用的方法， 要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质 , 这也是考生思维的一个障碍点 .【基础演练】x2y 2111若焦点在 x 轴上的椭圆 2m的离心率为 2 ，则 m= （）382A 3B2C 3D 32设 a,b R, a 22b26, 则ab 的最小值是（）537A22B3C 3 D23 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）221A 2B2C2 2D21x 2y 21( a b0)的左准线上，过点 P 且方向为 a (2

10、,5) 的4点 P( 3,1) 在椭圆 a 2b2光线经直线 y2 反射后通过椭圆的左焦点 , 则这个椭圆的离心率为（）3121A 3B 3C 2D 2A(1 ,0), BF : ( x1) 2y24( FAB 的垂直5已知2是圆2为圆心）上一动点，线段平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为.6如图所示 ,底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30 的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长，短轴长，离心率为x2y 2b 0)7 已知椭圆 a 21 (ab2的左、右焦点分别是yPF1OF2xF1 ( c , 0) 、 F2 ( c, 0) ， Q 是椭圆外的动点，满足 | F

11、1Q |2a ，点是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点在线段F2Q 上，并且满足 PT TF2 0, |TF2|0 | F1 P | acx（1）设 x 为点的横坐标，证明a ；（2）求点的轨迹的方程；（3）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使F1MF2 的面积 Sb2 若存在，求 F1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由x 2y28已知椭圆 C： a 2 b 2 1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 e. 直线 l ：yex a 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点， P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 AM AB .（1）证明： 1 e2；3（2）若4 ， PF