含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题专题

1、v1.0可编辑可修改含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:、按X* 2 *项的系数a的符号分类，即a 0, a0, a 0 ；11例1解不等式：ax当a 0时，解集为 x| a 2-一4 x a 2 x 1分析：本题二次项系数含有参数,a 2 2 4a a240，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：4aa24解得方程ax20两根Xia 2 a24,X22aa 2.a2 42a2.a2a2aa 2. a242a12a 2 a242a当a 4,4即 0时，解集为R ；4即厶=0时，解集为 x0,此时两

2、根分别为Xi2 16,X2a16，显然2XiX2,不等式的解集为a 一 a2162例4解不等式m21 x2 4x 1解因m20,2 2(4)24 m243所以当m.3 ,0时，解集为.3，即0时，解集为単工或xm21-3 m21 ；当 m3或m . 3，即0时，解集为Ro三、按方程 ax2 bx0的根x1, x2的大小来分类，即x-iX2,XiX2,XiX2 ；例5解不等式x2 (a丄)x 1 0 (a 0)a分析：此不等式可以分解为：1x a (x)0，故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为:x a (x )a10，令a，可得：aa当 a11或0 a 1时，a

3、 ，故原不等式的解集为a1当a 1或a 1时，a ,可得其解集为 ；a11当1 a 0或a 1时，a ,解集为x | x a aa例6解不等式x2 5ax 6a20, a 02 2 2分析 此不等式5a 24a a0，又不等式可分解为x 2a (x 3a) 0,故只需比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0，对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为x1 2a, x2 3a，当 a>0时，即 2a<3a，解集为 x | x 3a或x 2a ;当 a 0时，即 2a>3a，解集为x | x 2a或x 3a含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等

4、式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数2f (x) ax bx c(a 0, x R),有1) f (x)0对x R恒成立2)f(x)0对x R恒成立a 00'例1 ：若不等式(m 1)x2

5、(m 1)x 20的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m所以要讨论m-1是否是0。(1)当m-1=0时，兀不等式化为 2>0恒成立，满足题意；m 10 时,只需m 10(2)2，所以，m 1,9)。(m 1)28( m 1)0例2.已知函数yigx22(a 1)x a 的定义域为R,求实数a的取值范围解：由题设可将问题转化为不等式x综上所得: (a 1)x a20对x R恒成立，即有2 2 1(a 1) 4a 0解得 a1 或a 一。31所以实数a的取值范围为(，1)(,)。3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分

6、布解决问题。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:1) f (x) a恒成立a f ( x ) min2) f (x) a恒成立a f ( x ) max例3、若x2,2 时,不等式x2 ax 3 a恒成立,求a的取值范围。解：设f2x axa，则问题转化为当 x2,2 时,x的最小值非负。(1)2 即:4 时，f x min7 3a7 又a34所以a不存在;(2)a2即:24 a 4 时,x min(3)即:4时,x min例4.函数f (x)2x1,)，若对任意x1,f (x)0恒成立,求实数a的取值范围。解：若对任意x1,)，f (x)0恒成立,即

7、对x 1,),f(x)2小0恒成立,考虑到不等式的分母2x 1,)，只需 x 2x a 0在 x 1,)时恒成立而得而抛物线g(x) x22x a 在 x 1,)的最小值 gmin (x) g(1)3 a 0 得 aa注：本题还可将f(x)变形为f (x) x2，讨论其单调性从而求出f(x)最小值。x例5:在 ABC中，已知f (B) 4sin Bsin2(-4BB) cos2B,且| f(B) m| 2恒成立，求实2数m的范围。解析：由2f (B) 4sin Bsin (-4B2)cos2B 2sin B1,sin B (0,1 , f(B) (1,3,|f(B) m | 2恒成立,2 f(

8、B) m 2，即f(B) f(B)2恒成立，m (1,32例6：求使不等式a sin xcosx, x 0,恒成立的实数a的范围。解析:-,，显然函数有最大值.2，44由于函 a sin x cosx .2sin(x ), x4三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数 的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1) f (x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f (x)max2) f (x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max 例8已知函数f x lg x - 2 ,若对任意x

9、2, 恒有f x 0，试确定a的取值范围。例7、已知x,1时，不等式1i *2x0,2解：令2t，,1t要使上式在t0,2上恒成立，只须求出f22t111111.f t -t2ttt24323f tf2aamin442t 1所以原不等式可化为：a a t2 ，tt 12 在 t 0,2上的最小值即可。t"111 tJ213a22a a24x 0恒成立，求a的取值范围。x解： 将问题转化为 a 4x 对x (0,4恒成立。x，则 a g(x)min4彳1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)min g(4)0；x令 g(x)由 g(x)4x x2解：根据题意得:ax 21在x2,

10、上恒成立，x即：ax23x在x2,上恒成立，设 f xx23x，则fx3x -2 924当x 2时，fxmax2所以a2例9.已知函数f (x) ax、4x2x ,x(0,4时f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围。 a 0即a的取值范围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例10.对任意a 1,1，不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不2等

11、式(x 2)a x4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4，则原问题转化为 f(a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f(a) 0 ,不合题意。当x 2时，应有f (1)0解之得x 1或 x 3。f( 1) 0v1.0可编辑可修改513故x的取值范围为(,1)(3,)。注：一般地,一次函数f(x) kxb(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要条件为f( ) 0 f( ) 0。例11、若不等式2x 1x2对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。解:x22x1，对满足0恒成立,五、处,数形结合法2 x2数学家华罗庚曾说过:2x 102x 10

12、“数缺形时少直观,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。f(x)f(x)例12.设 f(x)若恒有解得： 1 日 x2形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系:g (x) 函数f (x)图象恒在函数g(x) 函数f (x)图象恒在函数24x 4x , g(x) x 1f (x) g(x)成立，求实数a的取值范围.g(x)图象上方;g(x)图象下上方。分析：在同一直角坐标系中作出f (x)及g(x)O的图象 如图所示，f (x)的图象是半圆2 2(x 2) y 4(y 0) g(x)的图象是平行的直线系4x 3y 3 3a0。要使f (x) g(x

13、)恒成立,则圆心(2,0)到直线4x 3y 3 3a 0的距离满足 d8 3 3a 2v1.0可编辑可修改(1,2。内恒在同一坐标系内，分别作出函数y 3x2 禾口 y log a x5解得a5或a -(舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。例13：已知a 0,a1, f(x) x 1解：由题意知：3x log a x在x 0, ax,当x ( 1,1)时,有f (x)1127271综上得：1 a 2恒成立，求实数a的取值范围。解析：由f(x)x2 ax ，得x

14、212 ax，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，2 1 2 1 1如果两个函数分别在 x=-1和x=1处相交，则由1a及(1)a得到a分别等于2 和,2 21 2 1并作出函数y2x及y()x的图象，所以，要想使函数x2 ax在区间x ( 1,1)中恒成2 21立，只须y 2x在区间x ( 1,1)对应的图象在 y x2 在区间x ( 1,1)对应图象的上面即2可。当a 1时,只有a 2才能保证，而0例14、若不等式3x2 log a x 0在x成立，求实数a的取值范围。1 2观察两函数图象，当 x 0,时，若a 1函数y logax的图象显然在函数 y 3x图象的下方，3所以不成立；1 11 1当0 a 1时，由图可知，y log a x的图象必须过点 ，一或在这个点的上方，则，loga_3 33 32715v1.0可编辑可修改例 15.设 f(x) x2 2mx 2，当 x 1,)时，f (x) m恒成立，求实数 m的取值范围。17解：设F(x)x2 2mx 2 m，则当 x 1,)时，F(x) 0恒成立当 0时，如图，F(x) 0恒成立的充要条件为:0 即 2 m 1 时，F(x)4( m 1)( m 2)0F( 1)0 解得 3 m 2