向量知识点题型归纳

1、则iruu i 3e (2, 3)© g,-)BC,AC上的中线，且a,b表示为专 题 - 平 面 向 量1. 向向量的相关概念、2. 向量的线性运算二. 向量的表示方法：1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点 在前，终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ,b ,c等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方 向相同的两个单位向量，j为基底，则平面内的任一向量a可一 r r r一 一一表示为a xi yj x,y，称x, y为向量a的坐标，a = x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐 标与向量的

2、终点坐标相同。三. 平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 i2，使 a=2&。如（i ）若 a （i,i）b （i, i）,c （ 1,2）俗：a |b）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uurmunA. q (0,0), e2 (i, 2) B. ei ( i,2)© (5,7)LTUC.ei (3,5), e2 (6,i0)D.俗：B);(3 )已知AD,BE分别是 ABC的边luir r uun r uuu,亠 -AD a, BE b ,贝U BC 可用向量(答: -a -b)；

3、33(4 )已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB，CD r AB sAC ， 贝U r s 的 值 是俗：0)四. 实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：i的方向与a的方向相同，当 <0时，a的方向与a的方向相反, 当 =0时，a 0，注意：a丰0。五.平面向量的数量积：rfUUUr uuu1.两个向量的夹角：对于非零向量a， b，作 OAa,OBAOB0称为向量a，b的夹角，当=0 时，a，b同向,= 时，a， b反向，当=一时，a， b垂直。22.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角 为，我们把数量|a|b|cos

4、叫做a与b的数量积（或内积或点 积），记作：a ? b，即a ? b = ； b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 如则k等于（答：1）；（3 ）已知怡2,b 5話 3 ,则b等于（答： 23 ）；（4）已知a,b是两个非零向量，且 a b a b，则a与a b的 夹角为 （答：30o）3. b在a上的投影为| b| cos，它是一个实数，但不一定大于0。 如已知| a | 3， | b | 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影 为（答：12 ）5_十_r4. a ? b的几何意义：数量积a ? b等于a的模|a|与b在a上的 投影的积

5、。(1 ) ABC 中，| AB | 3， | AC | 4， | BC | 5，贝U AB BC(答：-9);已知；（Q，b（°，1），Crkb,r r ub , c与d的夹角为，4r b r a当a同向时，a?b二ab,特别地，a2 a?a a2,a書；5. 向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，0;r br a13.AnM向量的减法：用“三角形法则”：设uuu r uuur r rAB a, AC b,那么 ar uur unrb AB ACcA ,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。Luu(1 )化简：ABuun uuuBC C

6、Duuu uuir； AB ADmirDC若正方形ABCD的边长为uuu r uur1 , AB a,BCr uuur r b, AC c ,当a与b反向时，a ? b = a b ;当 为锐角时，a ? b > 0，且 ab不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝 角时，a ?b v 0,且；、b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充 分条件；r r非零向量a， b夹角 的计算公式：cos a ?b ；r r r r r|a?b| |a |b|。女口(1) 已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是俗：4或0且 -);33(2) 已知

7、 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若1 S ，2 2则 OF,FQ 夹角 的取值范围是(答：(一,一)；4 3六.向量的运算：1 .几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设Ab a,Bc b，那么向量Ac叫做a与b的uuu uuu uur uuu (AB CD) (AC BD)，” uuur_ uur r(答：AD :CB :0);(3 )若0是VABC所在平面内一'点，且满uuuuuuruuuuuiTuuu，则VABC 的形状为OBOCOBOC2OA(答:2 2);I a足(答：直角三角

8、形)c I =（4）若D为 ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点 P ,uuuuun uuu uuu r 、r iAPi满足PA BP CP 0 ,设朋 ,则 的值为|PD|（答：2）;（5）若点0是厶ABC的外心，且C）A OB CO 0，则 ABC的内角 C 为 （答：120o）；2.坐标运算：设a （Xi,yj,b化山），贝寸：向量的加减法运算：a b （x-, x2， y1 y2）。如已知作用在点A（1,1）的三个力uuuuF1(3,4), F2uu(2, 5),F3(3,1)，则合”iruruuuu,力FF1F2F3的终占k、八、坐标是(答: (9,1 )实数与向量的积：a为

9、，X1,*。uu若 A(X1, yj, B(X2,y2)，则 ABX2X1, y2% ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A（2,3）, B（ 1,5），且 AC 1AB，AD 3AB，则 C、D 的坐标分别3是（答：（苟；,：）;平面向量数量积：a?b x1x2 y y2向量的模：|a| .7已知a,b均为单位向量,两点间的距|AB|2X2X1y2七.向量的运算律1.交换律：a ba ?b a?ba?分配律：a b ?c a?c b?c。2y2, a|a |2 x2 y2。女口它们的夹角为60°，那么 |a 3b |A Xi, yi ,B X2

10、,y22yiF列命题中：a （b c）c, aa,b a c :a (b c)(a b) c ;(a b) |a |(答:2);(2)已知 a (1,1)b(4, x)， u a 2b， v 2a b，且 u/v，贝U Xr r2r r 2（a b）2 a 2a b b。其中正确的是 （答：）2|a|b| |b|2 :若 a b 0,则 a 0 或 b0 ；若 a b c b,俗:4)；(3)、r uuuuuuuuu设 PA (k,12),PB(4,5), PC (10,k)，则k=时,A,B,C提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于 一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同

11、乘以一个实数， 两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个 向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a（b?c） （a?b）c，为什 么？八.向量平行（共线）的充要条件：ab a b （; b）2（|；诂|）2Xi y2 yi X20 o 女口（i）若向量a （x,i）,b （4,X），当x=时a与b共线且方向相同共线俗:2 或 11)向量垂直的充要条件：aX1X2% y2uuu(1)已知OAuuuuuuruuuuULTABACABAC(-utur-rttur)(-uuur-ruuur)AB|ac|AB|ac|uuuuuu(3,

12、m)，若 OAOB，则m00.特别地如Ouuu(1,2), OB|a b|a b|俗:-）；2（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形B 90，则点B的坐标是(答:(1,3)或(3， 1);OAB2y1 y2 o在使用定比分点的坐标公式2线段巳卩2的中点公式如与线段AB交于M，且uuurruuirAM 2MB则a等于(答：2或4)r, = r ur _ r ur _ir,(3)已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是(答:(b, a)或(b,a)十.线段的定比分点： 1.定比分点的概念：设点P是直线P,P2上异于 巳、P2的任意 一点，若存在一个实数 ，使PP PF

13、2，则 叫做点P分有向 线段 勰 所成的比，P点叫做有向线段 勰 的以定比为 的定比 分点；2. 的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段Pf2 上时>0;当P点在线段Pf2的延长线上时V 1;当P点在线段P2巳的延长线上时10 ；若点P分有向线段Pb所成的比为，则点p分有向线段fP!所成的比为-o如 若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为4(答: 7 )33线段的定比分点公式：设Rgyi)、F2(x2,y2)， P(x, y)分有XX2Vuuun向线段RP2所成的比为A，则1，=xX1= yy1“ *y2X2 xy2yy 1 -x时，应明确(x, y)， (xi,yi)、(

14、X2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1(1)若 M(-3，-2 )，N ( 6，-1 )，且 MP - MN，则点 P 的坐3标为(答：(6, £)；(2)已知 A(a,0), B(3,2 a)，直线 y十一.平移公式：如果点P(x, y)按向量a h,k平移至P(x, y),r,则a= pp' , x xh ；曲线f(x,y)0按向量a h,k平移得曲 y y k线f(x h,y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2)向量平移具有坐标不变性

15、，可别忘了啊！如(1) 按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点(7,2)平移到点(答： (8,3)；(2) 函数y sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y cos 2x 1,贝 9a =俗：(-,1)412、向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2)|a|r r r |b| |a b|a| |b|，特别地，当a、b同向或有r0r rrra b |a|b|；|b|； b| ； 当r r、rr r rab反向或有0|a b| |a|r|b|当ab不共线 |；| |b| |a b| |a| |b|(这些和l|a| |b

16、| |a实数比较类似).在ABC中， 若A疋畀，B X2,y2 ,C g* ,则其重心的坐标为G Xi x X3 yi y2 w。如若/ ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),则/ ABC的重心的坐标为 (答：(-4)；3 3 uju . urn urn uuu PG W(PA PB PC) G 为 ABC的重心，特别地3membuupuuu uur uuu uuu iuu uuu , PA PB PB PC PC PA P 为 ABC 的垂心；uuu uuur 向量(habuACF)(0)所在直线过 ABC的内心(是 BAC|AB| |AC|的角平分线

17、所在直线）;三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）（4）向量PA PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数 、urnnuuur使得PAPB PC且1 .如平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点 A（3,1） , B（ 1,3）,若点C满足OC i 0A 2 0B ,其中!, 2 R且i 21,则点C的轨迹是（答：直线AB）12、向量与三角形外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点（下左图）重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心是三角形三内角平分线的交占丿J八、三角

18、形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例（上右图）题型一：共线定理应用例一：平面向量a,b共线的充要条件是（）A.a,b方向相 同B. a, b两向量中至少有一个为零向量C.存在 R, b a D存在不全为零的实数1, 2, 1a 2b 0变式一：对于非零向量a,b，“ a b 0 ”是“ a/b ”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件三、垂心变式二：设a,b是两个非零向量（）C.若a b a _ b，则存在实数，使得b a D若存在实a一ba b使得b例二：设两个非零向量ei与e2，不共线,(i)如果

19、ABeie2 , BC Lb3ei2e,CD*8ei2e2,求证：A,C,D三点共线；(2)如果ABeie2, BC2ei3e2,CD*2eike2,且A,C,D三点共线，求实数k的值。变式一：设ei与e2两个不共线向量AB 2ei ke2,CB e< 3e2,CD 2e e2,若三点 A,B,D 共线，求实数k的值AB a 2b, BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的 三点是（）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，2BP BC BA,则（）A. 0 PA

20、PBB. 0 PC PA C. 0 PB PC D.f0 PC PA PB变式一：已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且 0 2OA OB OC ,那么（）A. A0 OD B. A0 2ODC. A0 3OD D. 2A0 OD变式二：在平行四边形 ABCD中 AB a，AD b，AN 3NC ,M为BC的中点，贝9 MN （用a,b表示）例二：在三角形ABC中, AB c , AC b,若点D满足BD 2DC ,角 ACB,CBa , CA八12 -A.a-b,3343,'a-b,55b, la 1，b 2,则CD2- 1 -B. -a b,C33A. 2b31

21、c,35 -B. 5c31 -2 -bc,33贝y ad ()变式一:2 1 -C. 3b r，D.(高考题)在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分3 -4 Dab,55变式二：设D,E,F分别是三角形 ABC的边BC,CA,AB上的点,1 1211 _1AF ( )A.-a-b,B.-a-b,C.-a-b, D.4 233241 2.a b,33题型三：三点共线定理及其应用例一：点 P 在 AB上，求证：OP OA OB 且 =1( , R,)变式：在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线ABAC于不同的两点 M和N,若AB mAM , AC n AN,贝 9 m+n二

22、例二：在平行四边形 ABCD中, E,F分别是BC,CD的中点，DE0D的中点，AE的延长线与 CD交于点F,若AC a, BD b,则一、 内心且 DC 2BD,CE 2EA, AF 2FB,贝U AD BE, CF 与 BC ()A.反向平行B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD中, E和F分别是边CD和 BC的中点，若AC AE AF ,其， R,则 二 变式四：在平行四边形 ABCD中, AC与BD交于点0,E是线段与AF交于点H,设AB a, BC b,则AHA.亠爲，2 -B. -a4 -b,C.2 4-a -b,D.5555552a纭55变

23、式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上点且AN=2NC,AMf BN相交于点P,若AP PM,求 的值题型四：向量与三角形四心例一：0是 ABC所在平面内一定点，动点P满足AB acOP 0A （I 1 I J,【0,）,则点P的轨迹一定通过 ABC的（ ）A.外心B.内心 C. 重心 D.垂心 AB AC变式一：已知非零向量AB与AC满足（）BC 0，lAB lAClAb Aci且，则 ABC%（）AB AC2A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形变式二：|ab PC |bc PA CA PB 0 P 为 ABC的内心变式一:在ABC

24、中，G为平面上任意一占八、7证明：GO-(GA3GBGC )O为 ABC的重心变式二:在ABC中，G为平面上任意一占八、7证明：GO-(AB3AC)O为ABC的重心的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心三垂心:例一：求证：在 ABC中, OA OB OB OC OC OAO为 ABC的垂心变式一：O是平面上一定点,A，B，C是平面上不共线的三个、重心例一：O 是 ABC 内一点，OC OA OB 0，则为 ABC占八、占八、OP OA (ABACAB COSBAC COSC),R,则点P的轨迹一定通过 ABC的（A.外心 B.内心 C. 重心D.垂心四外心例一：若0是 ABC的外心，H是 AB

25、C的垂心,则OHOAOCOB变式一已知点0,N，P在ABC所在平面内，且oAOBOCJ0NANBNC，PAPBPBPCPC PA，则0, N,P依次是 ABC的()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.夕卜心重心、垂心D.外心、重心、内心题型五：向量的坐标运算例一：已知 A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CM 3CA,CN 2CB ,试求点M,N和MN的坐标。1 i 3变式一：已知平面向量a (3, 1), b (2，云)，向量-k-IklrB-H"xa( t 3)b,ykatb,其中t和k为不同时为零的实数，(1)若x y ,求此时k和t满足的函数关系式k=

26、f(t);(2)若x / y，求此时k和t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量5(3,2), b ( 1,2),C(4,1)，回答下列问题。(1)求3a b 2c ；(2)求满足a mb nc 的实数 m,n;(3)若(a kc)/(2b a)，求实数 k； (4)设 d (x, y)满足(d c) /(a b)且 d c 1，求 d。题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量a (1.2),b (3,2),当实数k取何值时，向量ka 2b与2a 4b平行？变式一：设向量a,b满足|a|= 2 5，b= (2,1 )，且a与b反向， 则a坐标为例二：

27、已知向量 OA (k,12),0B(4,5),OC( k,10)且 A,B,C 三点共线，则k=()A: 3B:2C:2D:32332变式一：已知a3(sin),b(cos,-),且a/b，则锐角a为23变式二：AABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向 量 p (a c,b),q (b a,c a),若 p/q，则/ C 的大小为()A: -B:- C: -D:6323题型七：平面向量的数量积例一：(1)在 Rt ABC中, / C=90°, AC=4,则 AB AC ()A: -16B:-8C:8 D:16(2) (高)已知正方形ABC啲边长为1,点E是AB边上的动

28、点，则DE CB的值为; DE CB的最大值为 (3) 在厶ABC中，M是BC中点，AM1,点P在AM上满足AP 2PM ,则 PA (PB PC)等于()4444A:4B:4C:4D:-9339变式一：(高)如图所示，平行四边形 ABC中, API BD垂足为P,且A陆3,则AP AC =变式二：在厶 ABC 中，AB=1, BC= 2 , AC= 3，若 O ABC的重心，贝9 AO AC的值为例二：(高)在矩形ABCD中, AB=2,BC=2,点E为BC的中点， 点F在边CD上，若AB AF 2 ,则AE BF的值是变式一：(高)在厶 ABC中, a 900, AB 1 ,AC=2.设点

29、 P,Q 满 足 AP AB,AQ (1 )AC, R,若 BQ CP 2,则 =()124A: -B:-C:-D:2333例三：已知向量a,b,c满足a b c 0,忖训 2#2,则卜 f f-»*a b b c c a 变式一：在 ABC中，若| AB 3网 4, AC 6,则AB BC BC CA CA AB 变式二：已知向量a,b,c满足a b c 0,且a b” 1,忡 2,则-*c 变 式 三： 已知 向 量a,b,c满 足ab c 0,且(ab) c,ab,若 a|1,则 ab 忡题型八：平面向量的夹角例一：已知向量a （1.3）,b（2,0）,则a与b的夹角是例二：已

30、知a,b是非零向量且满足（a 2b） a,（b 2a） b,则a与b的夹角是变式一：已知向量a, be满足1,|b 2,c a b,a c,则a与b的夹角是变式二：已知a,b是非零向量且满足 冋 冋|a b|,则a与a b的夹角是ta- m变式三：若向量a与b不共线，a b 0,且e a （翼）b,则a与e的a b夹角是变式四：（高）若向量 与 ”满足| 1,|1,且以向量 与为邻边的平行四边形的面积为o. 5,贝y 与的夹角的取值范围是例二：已知|a 词b i, a与b的夹角为450，求使向量a b与a b的夹角为锐角的的取值范围。变式一：设两个向量e,e2，满足G 2, e2 1, e与e2的夹角为-f-*13 '若向量2te1 7e2与&心的夹角为钝角，求实数t的范围变式二:题:Pi : aP3 : a题是（已知a与b均为单位向量，其夹角为A.，有下列4个命20pP2 : a0寸 P4：a b2（孑】；其中的真命P1,P4 B.P1,P3 C.P2, P3D.P2, P4题型九：平面向量的模长例一：已知a b 5，向量a与b的夹角为一，求a b，a b 。3变式一：已知向量a与b满足冋1,2, a 2，则a b =变式二：已知向量a与b满足1,|* 2, a与b的夹角为，则3a b=变式三：在厶ABC中，已知 風