电动力学习题解答4

1、电动力学习题解答山东师大物电学院第四章电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为切+do和切d®的线偏振平面波,它们都沿z轴方向传播。(1) 求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。(2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：Ei (x,t) = E0(x)cos(kiz mt) ； E2(x,t) = E0(x) cos(k2z%)则合成波为 E =E 1(x,t) E2(x,t) = E0(x)cos(kz-、t)cos(k2z- 2t)ki k2 1 . 2ki k2 1 2 ,、=2E0(x)cos(z t)c

2、os(z 1)2222其中 k1=k+dk , k2=kdk ； 。1 =co+d。，与2=切一d 与所以 E =2E0(x)cos(kz *t)cos(dk z-d，t)用复数表示E =2E0(x)cos(dk z-d，t) exp i (kz - t)相速由 。= kz(Cit确定，vp = dz/dt = co / k群速由 b=dk zd切 t 确定，Vg =dz/dt =d®/dk2. 一平面电磁波以6=45。从真空入射到 必=2的介质，电场强度垂直于入射面，求反射 系数和折射系数。解：设n为界面法向单位矢量，(S)、(S')、(S”)分别为入射波、反射波和折射波的

3、玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R和折射系数T定义为：(S') nl E'2_ (:S") n _ n2cosWE”0R |JE2 '17 _ n1 cosE；又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得L稣cosB -cosB".1 cos- , 2 cosU"根据折射定律可得:c 2 - 3R 7=,2 .3伊=30°,代入上式,23T =2 v3(.；1 cosU . ;2 cos71" )2得=1 一 R第 10页3.有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°,证明这时将会发生全反射，并求折射波沿

4、表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为*0 =6.28X10cm，水的折射率为 n=1.33。解：由折射定律得，临界角Bc =arcsin(1/1.33) =48.75，所以当平面光波以60。角入射时,将会发生全反射。由于kx =ksin【所以折射波相速度 vp = 7kx =/ksin -"/sin -c/nsin - - 3c/2透入空气的深度为'二/2二，sin% -n；1 =6.28 10”/2二，sin2 60 -(3/4)2 ： 1.7 10%m4.频率为由的电磁波在各向异性介质中传播时，若 E, D, B, H仍按ei(叩尊)变化，但D不再与E

5、平行(即D = &E不成立)。(1) 证明 k B = k，D =B D = B -E = 0,但一般 k，E 尹 0。(2) 证明 D =k2E (k E)k/心。(3) 证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。证明：1)麦氏方程组为：隽=-汨/a(i)"H =£0 /ct(2)V D= 0(3) ,B = 0(4)由(4)式得： B = B0 上 e'-'t) =ik B0ei(口-=ik B = 0,kB= 0(5)同理由(3)式得：k D = 0(6)由(2)式得：H =Dei(k、 H 0=ik H= -r D二 D = -k" I

6、- = -kxB/"(7)B，D =BkB)/与卜=0(8)由(1)式得：x E =Dei(kJt) E0 =ik E - -i B二 B = " E /切(9)B E = (k xE ) E / 缶=0(10)由(5)、 ( 8)可知：k_LB ; D_LB ; E _L B，所以 k, E, D 共面。又由(6)可知：k_LD，所以，当且仅当 E / D时，E_Lk。所以，各向异性介质中，一般k E。0。2) 将(9)式代入(7)式，便得：D=k (k E )/2M=k2 E (k E )k /23) 由(9)式得 H =k x E /". S=E H =E

7、(k E)/=E2k-(k E) E / 湛由于一般情况下 k E 0 ,所以S除了 k方向的分量外，还有E方向的分量，即能 流S与波矢k 一般不在同一方向上。5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播，一个波沿 x方向偏振，另一个沿 y方向偏振，但相位比前者超前H/2 ,求合成拨的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：偏振方向在 x轴上的波可记为Ex = A0 cos( t -kz) = A0 cos( t - 0x)在y轴上的波可记为Ey = A0 cos( t - kz 二 /2) = A0 cos( t 孑0y)-"y - "二/2合成得轨迹

8、方程为：E2 E2 = A2cos2( t 户 ) cos2 ( t 产 )1 x y /i0 cos ( 0x) cos ( 0y )J=A：cos2( t - ;：0x) sin2( t - "x) = A所以，合成的振动是一个圆频率为 由的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为兀/2的线偏振的合成。6. 平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。证明：设在 z>0的空间中是金属导体，电磁波由z<0的空间中垂直于导体表面入射。已知导体中电磁波的电场部分表达式是：E =E 0e-：

9、zei（"于是，单位时间内由 z=0表面的单位面积进入导体的能量为：S = E X H ,其中H =k E /'-（"）n E IES的平均值为（S）=2>Re（E * x H ） =Pe2/2"在导体内部： J -；，E -；，E茂一"* '）金属导体单位体积消耗的焦耳热的平均值为：dQ =：Re（J * xe ）=亦混'度/2作积分：Q =§亦（2 je'dz = bE（2/40即得界面上单位面积对应的导体中消耗 的平均焦耳热。又因为 渺=co&r / 2，所以Q = uE； / 4a = Be

10、； / 2M，原题得证。7.已知海水的 已=1 , § =1S - m'1,试计算频率v为50, 106和109Hz的三种电磁波在 海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：、 = 1/ ： - 2/-1/ .二七由丁巴=1,所以卜=扁,8 =1/妍°。1）当 v =50Hz时，& =1/、加 ><50x4兀 乂10* 乂1 =72m2） 当 v =106Hz 时，62 =1/。、,1。64 兀 丁10二又1 女 0.5m3） 当 v =109Hz时，&3 =1/J71 X1。9 乂4兀叶10二 乂1 16mm

11、勺。求导电介质中电磁波的8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为 相速度和衰减长度。若导电介质为金属，结果如何？提示：导电介质中的波矢量 k = 6 +ia, a只有z分量。（为什么？） 解：根据题意，取入射面为 xz平面，z轴沿分界面法线方向，如图所示。设导体中的电磁波表示为：E = E0etxei（ 3*4而 k = 8 + i a上式中a, 8满足：I2 一2 =a邛=对8 /2根据边界条件得：kx 一 - x i' x = k1x = k sin 斗=（，sin 3）/ck = ' ' i ： = k - 0y y y 1y,、ax=0 , &a

12、mp;x =（切 sin4）/c , % = 0 , 8y=0。将结果代入（1）、（ 2）得：（切sin Z）2/c2 +E； a；=伊2虫（5）(6)(%z良=裸圮/ 2解得：-：z =(2；一.2.2.'2，=sin2 羽), _( = sin2 e _ ，2)22 J2。2 22'c22 c2.2. 2d1 22.12.2.22.22。= _('；- ?sin 功)一(,；- ？sin 由) J c 22 c2c其相速度为：V =而日= 00/崩；+E；。衰减深度为：1/0=1/c(z。如果是良导体，k2的实部与其虚部相比忽略，贝U：GsinS)2/c2 +一妲=

13、0& =与卜8 / 22.41：；=_ sin2 (一sin4 "适22。2) 2 2c22 c42412''.21,''.42|2212W = sin 叫(一sm 弓")22c22 c49. 无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在z = q到z=0这段管内可能存在的波模。解：在此结构的波导管中，电磁波的传播满足亥姆霍兹方程： 2 E+ k2 E= 0 , k=JP0&0 , E= 0电场的三个分量通解形式相同，均为：E(x, y, z) = (C1 sin kxx D1 coskxx)(C2

14、 sin ky y D2 cosky y)(C3 sin kzz D3 coskzz)边界条件为：在 x = 0 及 x = a 两平面：Ey=Ez=0 , EEx/©x=0在 y =0 及 y =b 两平面：Ex=Ez=。，5Ey/Ey = 0在 z = 0平面：Ex=Ey=0 , EEz / 金=0由此可得： Ex = A1 coskxxsin kyy sin kzzE A2 sin kxxcosky ysin kzzEz =A3sinkxxsinkyycoskzz波数满足：kx=m?r/a , ky=nn/b, (m,n= 0,1,2 )k2 k2 k2 = ¥

15、76;；0 =，2/c2振幅满足：A1m二 / a A2n 二/ b , A3kz = 0综合上述各式，即得此种波导管中所有可能电磁波的解。10.电磁波E (x, y,z,t) = E (x, y)el(kz->)在波导管中沿z方向传播，试使用 KE =四七H及 KH = -i媛0E证明电磁场所有分量都可用Ex(x,y)及H z( x, y)这两个分量表示。证明：沿z轴传播的电磁波其电场和磁场可写作：E (x, y,z,t) = E(x,y)ei(七心),H (x, y,z,t)= H (x,y)ei(kzt)由麦氏方程组得：E - - - B / ft = i 0H ,'

16、9;、 H - ；0f E /t - -i 0E写成分量式：EEz/ 既，/恣= £Ez/印ikzEz =iP0Hx(1)zyzz zxEEx/& EEz/a = ikzExEEz/ax = ioH y(2)Ev/fx-fEx/fy =i J0HzyxzEHz/£y EHy/& = EHz/£yikzHy=/&0Ex(3)EHx/& EHz/&=ikzHxHz/& = ig0Ev(4)xzz xzy一：H y / _'x - _'H x /y - -i，； 0Ez(5)由（2） （3）消去 Hy 得：

17、Ex =（-以S 弟 z/印kz 能 z/以）/ife）2/c2 k2）由（1）（4）消去 Hx得：Ey=（切 £Hz/牧-kzEEz/£y）/i（切2/c2-k；）由（1） （4）消去 Ey 得：H x =（kz* z/以+媛 oEz/印）/i（仍2/c2k；）由（2） （3）消去 Ex 得：Hy = （kzdHz/fy场赭Ez/£x）/i 何2/c2k2）11. 写出矩形波导管内磁场 H满足的方程及边界条件。解：对于定态波，磁场为：H （x,t） = H （x力土、由麦氏方程组 "H =£0 /覆=i切&E，宁H = 0得：2.2（

18、I H ） = ' （'、H ） - - H - H = -i”、E又. ？ E = -. B/ ；：t =i，H-H = i " E =1 H所以V2H +k2H =0 , k2 =与2，旧，H = 0即为矩形波导管内磁场 H满足的方程由 n B = 0 得：n H = 0, Hn =0利用 x E =怂心 和电场的边界条件可得：6H t /切=0边界条件为：Hn=。，EHt /金=012. 论证矩形波导管内不存在TMm0或TM 0n波。证明：已求得波导管中的电场E满足：Ex = A1 coskxxsin kyye'kzzEy =A2sinkxxcoskyy

19、e'kzzEz =A3sinkxxsinkyye'kzz由E =iH可求得波导管中的磁场为：Hx - -(i/ n)(A3ky -iA2kz)sinkxxcoskyye'kzz(1)Hy - -(i A J)(iA1k A3kx)coskxxsinkyyelkzz(2)Hz = -(i J)(A2kA1ky)coskxxcoskyyeikzz(3)本题讨论TM波，故Hz=0 ,由（3）式得：（A2kx - A1ky） =0(4)1)若 n = 0, m=0 则 ky=n/b = 0 , kx=mN/a#0(5)代入（4）得：A2 = 0(6)将（5） （6）代入（1）

20、（2）得：Hx=Hy=02)若 m=0, n#0 则 kx=0 , ky = nn/b#0(7)13.解:代入(4)得：A1 =0将(7) ( 8)代入(1)因此，波导中不可能存在 9频率为30乂10 Hz的微波，在(8)(2)得：Hx=Hy =0TM m0和TM 0n两种模式的波。0.7cm X 0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播？在0.7cm x0.6cm的矩形波导管中能以什么波模传播？1)波导为 0.7cm x0.4cm，设 a = 0.7cm , b = 0.4cm,-'cc由 c -.2 二 2n=1 时,m、2 ,n、2冒+(b)得:当 m=1,当 m=1, 当 m=

21、0,n=1 时,C1'.c2n、2风b' 一= 4.3 1010Hz= 2.1 1010Hz :：: .= 3.7 1010Hz' c3所以此波可以以TE10波在其中传播。2)波导为 0.7cm x0.6cm，设 a = 0.7cm , b = 0.6cm由 *c=m=cj(%2 +)2 得：2 二 2 , a b当m=1, n=1 时，Vg =3.3x1010Hz av c 1当m=1, n=0时，vc2 =2.1x1010Hz当m=0, n=1 时，、3 =2.5x1010Hz c 3所以此波可以以TEi。和TEoi两种波模在其中传播。14.解:一对无限大的平行理想

22、导体板，相距为b,电磁波沿平行于板面的 z方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程：(、' 2 k2 ) E = 0k o ；oE =0令U (x,y,z)是E的任意一个直角分量，由于E在x方向上是均匀的，所以U(x, y,z) =U(y,z) =Y(y)Z(z)在y方向由于有金属板作为边界，所以取驻波解;所以通解为： U (x, y, z) = (C1sin kyy D1 coskyy)eikzz由边界条件：nE = 0和En/n= 0定解，得到Ex = A1sin(n兀y/b)ei(kzz)；Ey = A2 co

23、s(n兀y/b)ei(kzze)；Ez =A3sin(n：尸化冷心一')且 k22 / c2 = n2兀2/b2 + k； , ( n = 0,1,2,)又由 V E =。得：Ai 独立，与 A2, A3 无关，A2g /b = ikzA3 令kz=0得截止频率：c = rn/ b15.证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等。证明：设谐振腔的三边长度分别为a, b, c,则谐振腔中电场 E的分布为:Ex =A1coskxxsinkyysinkzzEy =A2sinkxxcoskyysinkzzEz =A3sinkxxsinkyycoskzz振幅满足：A,kx + A2ky + A3kz =0 ,波数满足：kx=mn：/a, ky=n/b, kz=pn/c ,k；十 k2 + k； = k2 =切2