2012年全国各地中考数学解析汇编20二次函数的应用.

1、 2012 年全国各地中考数学解析汇编 20 二次函数的应用 (2012 北海,7 , 3 分)7.已知二次函数 y= x2 4x+ 5 的顶点坐标为： () A. ( 2, 1) B. (2, 1) C. (2, 1) D. ( 2, 1) 【解析】二次函数的顶点坐标公式为( b 4ac_b2)，分别把a，b, c 的值代入即可。 2a 4a 【答案】B 【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横 坐标的值代入到函数中，求 y 值即可，属于简单题型。 (2012 山东省滨州，1, 3 分)抛物线 2 与坐标轴的交点个数是( ) y = 3X X 十 4 A

2、. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【解析】抛物线解析式_3X2 _x 4，令 x=0，解得：y=4，二抛物线与 y 轴的交点为(0, x2 =1， 抛物线与 x轴的交点分别为( 4，0), (1, 0), 3 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为 3. 【答案】选 A 【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数.此题也 可用一元二次方程根的判别式判定与 x 轴的交点个数，与 y 轴的交点就是抛物线中 C 的取值. (2012 年四川省巴中市，8,3)对于二次函数 y=2(x+1) (x-3 )下列说法正确的是( ) A.图象开口向下 B. 当 x 1 时,y 随

3、x 的增大而减小 C.x v 1 时，y 随 x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线 x= - 1 【解析】y=2(x+1) (x-3 )可化为 y=(x 1)2-8,此抛物线开口向上，可排除 A,对称轴是直线 x=1 可排除 D,根据图象对称轴右侧部分，y 随 x 的增大而减小，即 x v 1 时,故选 C. 4),令 y=0 ,得到 -3x2 - x 4 =0，即 3x2 x -4 ,分解因式得: 解得: 2 【答案】C 【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质 12. （2012 湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数 y=ax2+bx+c（0）的图象，则下列说法: a

4、0 2a+b=0 a+b+c0 当- K xv 3 时，y0 其中正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 解析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由 x=1 时的函数值判断 a+b+c0,然后根 据对称轴推出 2a+b 与 0 的关系，根据图象判断-1 v xv 3 时，y 的符号. 答案：解：图象开口向下，能得到 av 0; 对称轴在 y 轴右侧，x=_=1，则有- =1,即 2a+b=0; 2a 当 x=1 时，y 0，贝 U a+b+c 0; 由图可知，当-1v x v 3 时，y 0. 故选 C. 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范

5、围求 2a 与 b 的关 系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用. 2x N在直线y=x+3上，设点 M的坐标为（a,b）,则二次函数 y= - abx2+（a+b）x 9 9 A有最大值，最大值为 - B.有最大值，最大值为 2 2 9 9 C有最小值，最小值为一 D.有最小值，最小值为 -一 （2012 呼和浩特, 9, 3 分）已知：M N两点关于y轴对称，且点 M在双曲线 1上，点 2 2 2 【解析】Ma, b），贝 U N（ - a, b） , v M在双曲线上，二ab= 1 ； v N在直线上，二b=- a+3,即 a+b=3； 二次函数 y= - abx2+（a

6、+b）x= - x2+3x= - （x - 3）2+ 9，二有最大值，最大值为 9 2 2 2 2 【答案】B 【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得 ab和 a+b的值。 此题解题时没有必要解出 a、b的值，而是利用整体代入法求解。 平移了 m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则口的最小值为（） C. 3 （2012 陕西 10，3 分）在平面直角坐标系中, 将抛物线y2-X-6向上（下）或向左（右） D. 6 2 【解析】 因为是左或右平移， 所以由 _x_6 =(x_3)(x 2) 求出抛物线与 x轴有两 个交点分别为 3,0 , -2,0 将抛物

7、线向右平移 2 个单位，恰好使得抛物线经过原 点，且移动距离最小选 B. 【答案】B 【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和 x 轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍 大. 12. （2012 四川泸州, 12，3分）抛A. （2，3） B. （-2，3） 解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点 y=（x_2）23的顶点坐标为（2，3） 答案：C. 点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标， 弄错，需要注意 C. （2，3） D. （-2，-3） 坐标公式，也可以运用配方法 .由抛物线 .故选 C. 由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被 （2012，黔东南州，5）抛物线y = x2 _4X

8、 3的图象向右平移 2 个单位长度后所得新的抛 物线的顶点坐标为（ A、（ 4, -1 ） B 、（ 0, -3 ） C 、（-2 , -3 ） D 、（-2 , -1 ） 解析：y =x2 _4x*3=（x_2（ ，所以顶点坐标为（2 , -1 ），右平移 2 个单位长度后 所得新的抛物线的顶点坐标为（4, -1 ）. 答案：A 点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小 （2012 河南，5，3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线解析式为 解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减 ”故选 B. 解答：B. 点评：根据平移概念，

9、图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的， 也可用抛物 线顶点移动即（0, 4） （ 2, 2）. （2012 山东日照，11, 3 分）二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图象如图所示，给出下列结 论： b2 4ac0； 2 a+b0; a-b+c=0,2a+b=0,所以 b=-2a,c=-3a, 所以 a - b - c= -1 : 2 ： 3. 解答：选 D. 点评：本题主要考查二次函数 y=ax2+bx+c（ a工0）的图象与 x轴的交点坐标、对称轴等， 解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案 1 （2012 贵州黔西南州，10, 4 分）如图 4,抛

10、物线 y=?x2+ bx 2 与 x 轴交于A B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1, 0），点 M（m 0）是 x轴上的一个动点，当 MO MD 的值最小时，m 的2 y = X -4先向右平移 2 个单 2 y =(x 2) 2 2 y=(x-2) -2 2 y=(x-2) 2 D. 2 y =(X 2) -2 a+b=3； 1 x+3x= - 1 (x - 3)2+ g ,有最大值，最大值为 9 值是() 25 A 40 B 24 41 C 23 25 40 D - 41 1 3 【解析】 解把 A( 1, 0)代入 y=2x2+ bx2,求得 b=2 1 3 1 3 25 所

11、以，y=2x22x 2=2(x 2)2 8，所以抛物线顶点 3 D(2, 要 x轴上的动点 M(m 0)使 MO MD 最小，作 C 点关于 x 轴的对称点 C/(0 , 2)，连接 C/D 与 x 轴的交点即为 M 点. 利用相似三角形的知识求得 24 OM41;或先求直线 CZD的解析式，再求这条直线与抛物线的交 24 点坐标为(41, 0).所以, 24 n=41. 【答案】B. 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要 利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算. (2012 呼和浩特, 9, 3 分)已知：M N两点关于y轴对称，且点 M在双

12、曲线 A 有最大值， 最大值为 - 9 B.有最大值，最大值为 9 9 最小值为 一 2 2 C 有最小值, D.有最小值，最小值为 9 2 2 【解析】 Ma, b), 则 N( - a, b), M在双曲线上， ab= 1 ； N在直线上, 2 b= - a+3,即 2 二次函数 y= - abx +(a+b)x= 2 2 2 2 【答案】B 【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得 a+b的值。 此题解题时没有必要解出 a、b的值，而是利用整体代入法求解。 （2012 甘肃兰州，14,4 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a丰0）的图象所示，若I ax

13、2+bx+c I =k（k丰0） 有两个 不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k-3 C. k3 解析：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图： 所以若|ax 2+bx+c|=k （kz0）有两个不相等的实数根，则 k3, 故选 D. 答案：D 点评：本题考查了二次函数的图象，先根据题意画出 y=|ax 2+bx+c|的图象，即可得出 |ax 2+bx+c|=k （kz 0）有两个不相等的实数根时， k 的取值范围.解决本题的关键 是根据题意画出 y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出 k 的取值范围. _ _ 2 2 2 （2012 南京市，12, 2）已知下

14、列函数： y=x ;y= -x ;y=（x-1） +2.其中，图 像通过平移可以得到函数 y= -x 2+2x-3 的图像有 . 解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到 答案：. 点评：二次项的系数 a 决定二次函数的形状、 开口大小等，所有 a 相等的二次函数都可以由 y=ax2经过平移得到. 的大小关系为（ ） 解析：二次函数y =a（x 1）2 _b（a = ）有最小值，则 a0;又因为此函数均有最小值是 1, 所以-b=1,b=-1,因此 ab,故选 A. 答案：A ab和 （2012 甘肃兰州, 11, 4 分）已知二次函数 y = a(x 1)2 -b（a

15、= 0）有最小值 A.ab B. aX2 1，则 y1 y2 (填 “”、“v” 或“=”) 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增 减性，进而可得出结论. 解：由二次函数 y= ( x - 1) 2+1 可，其对称轴为 x=1 , /X 1 X2 1 , 两点均在对称轴的右侧， 此函数图象开口向上， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大, 当 x=0 时, % 一丫2 y - X 1 X2 1 , y iy2. 故答案为：. 点评： 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点， 根据题意判断出 答此题的关键. A、B 两点的位置是解 (2012 广安中考试题

16、第 16 题，3 分)如图 7,把抛物线 y=X2平移得到抛物线 m 抛物线 m 2 经过点 A (-6 , 0)和原点 0(0, 0),它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线 y= i x2交于点 Q 2 思路导弓I：注意平移的性质的运用，观察得出的图象构造的图形，可以发现以点 AQOf 为顶 点的四边形是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合轴对称的性质进行分 析解答 解析：平移后的抛物线的解析式是 y= 1 x(x + 6)，所以顶点坐标是(一 3, 9 ), 2 2 x= 3 时，y= i = 9，所以点 Q 坐标是(一 3, 9), X2 2 2 2 0A=6 PQ=2 9=9，

17、所以四边形 APOQ积是X 6X 9=27,图中阴影部分的面积是 2 2 四边形 APOQM 积的1，所以面积是 27 点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用 另外 一般图形向特殊图形的转化也十分关键 （2012，湖北孝感，18, 3 分）二次函数y=ax2+bx+c （ a, b, c是常数，a*0）图象的对称 轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法： _ abc0;a- b+c0;3 a+c0; 当-1x0.其中正确的是 _ （把正 a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根 据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论

18、进行判断. 抛物线的开口向下， av 0， 与y轴的交点为在y轴的正半轴上， c0, 对称轴为 x= b =1，得 2a= b，. a、b 异号，即 b0, 2a 又/ c0,. abcv 0,故正确; 抛物线与x轴的交点可以看出， 当 x= 1 时，y v 0，二 a b+cv 0，故正确;4 当 x= 1 时，y v 0, 而此时a b+c =3a+c,即卩 3a+c0，它的图象 与 x轴有两个公共点，故本选项正确； 找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；当 xwi时 y 随 x 的增大而减小，函 数的对称轴 x =- _2口在直线 x = 1 的左侧（包括与直线 x= 1 重合）,则

19、_2口三 1,即 m 2 2 1,选项错误； 抛物线的对称轴为 x=- b =1，二 2a+b=0,选项正确； 2a 由抛物线与 x轴有两个交点，得到 b2-4ac 0，即 b2 4ac,选项错误； 令抛物线解析式中 y=0,得到 ax2+bx+c=0, v方程的两根为 X1, X2,且- =1，及-b =2 , 4 时的函数值与 x = 2008 时的函数值相等，.对称轴为 x= 4+2008 = 1006 则 2m c 大于 1，故选项错误；由抛物线的对称 2a 二 Xi+X2=- b =2，选项正确，综上，正确的结论有.故选 C a 点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y

20、=ax2+bx+c (a*0), a 的符号由 开口方向决定，c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置确定，b 的符号由 a 及对称轴的位置确 定，抛物线与 x轴交点的个数决定根的判别式的符号. (2012 哈尔滨，题号 24 分值 6 ) 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 边上的高之和为 40 cm,这个三角形的面积 S(单位：cm2)随 x(单位：cm)的变化而变化. (1) 请直接写出 S 与 x之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围); (2) 当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大？最大面积是多少？21 世纪教育网 的顶点坐标分别对应 x及 S 的

21、最大值. 【答案】解：(1) S=i X x(40-x)= i 2 +20 x; 2 (2) x= b =20，S= 4ac -b2 =200, 2a 所以当 x=20cm 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一， 本题是综合考查二次函数的最值问题, 考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题.要注意解题过程的完整性 (2012 哈尔滨，题号 8 分值 3 )将抛物线 y=3x2向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位, 所得抛物线为(). 2 2 2 2 (A)y=3(x+2) 1 (B)y=3(x-2) +1 (C)y=3(x-2 ) 1 (

22、D)y=3(x+2) +l 【解析】本题考查了函数图象的平移规律. 抛物线的平移规律是： 左右平移自变量左加右减, 上下x(单位：cm)的边与这条 参考公式：当 寻时，二次函数y y埠 bx + c (a 0有最小(大)值加一 4a4a 【解析】本题考查确定函数解析式，二次函数最值 .三角形的边 x和咼的和是 40,可表示该 边上的高位 40-x，根据三角形面积公式是底乘高除 2 可写出X x(40-x),这个二次函数 4a 200cm2 平移常数上加下减来进行.对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可.(第5抽) (第9题图 (第10题图) 【答案】A 【点评】(1)受点的平移规律影响，

23、误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选 B; (2) 将 3x2误认为是自变量，得出错误答案： y=3x2+2-仁3X2+1. (2012 哈尔滨，题号 10 分值 3 )李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的 墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为 24 米要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD 设 BC 边的长为 x米，AB 边的长为 y 米，贝 U y 与 x 之间的函数关系式是(). (A)y= 一 2x+24(0 x12) (B)y= x 十 12(0 x24) 2 (c)y=2x 一 24(0 x 12) (D)y= x 一 12(0 x 0)的图象与 x轴的两个交点 A

24、 (xi, 0) , B (X2, 0),抛物线的 顶点为 C,显然 ABC 为等腰三角形. (1 )当厶 ABC 为等腰直角三角形时，求 b2 _4ac的值; (2)当厶 ABC 为等边三角形时，求 _4ac的值. B b 4a 4a a 4a 4a a 2 4 y 0 4a 2 a 第 27 题 b2 4ac 解析：（1）当厶 ABC 为直角三角形时，由于 AC=BC 所以 ABC 为等腰直角三角形，过 C 作 式，得到 CD 二 4ac - b2 &2皿。，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值; （2）当厶 ABC 为等边三角形时，解直角厶 ACD 得 J3 ，据此列出方程,

25、 CD =V3AD =AB 2 抛物线与 x 轴有两个交点，二 =b2-4ac 0，贝 U |b 2-4ac|=b 2-4ac . b2 -4ac ， CDL AB 于 D,则 AB=2CD 根据本题定理和结论，得到 门 - ,根据顶点坐标公 AB卫一仕 -a 0，AB= : 2 = 2 Vb -4ac *b 4ac 又 CD = 4ac-b2 4a .2 . =4； 解方程即可求出b2 _4ac的值. 解：（1 ）当厶 ABC 为等腰直角三角形时，过 C 作 CDL AB 于 D,贝 U AB=2CD b2-4ac .b2 -4ac= b24ac , （2）如图，当 ABC 为等边三角形时，

26、由（1）可知 CE= 3 AB 2 、b24ac =2X b -4ac 2 2 (b -4ac) b24ac =3 X -b2 -4ac b? _4ac 0， 二 b4ac=12. 点评：本题考查了等腰直角三角形、 等边三角形的性质， 抛物线与 关系定理，综合性较强，难度中等. (2012 山东省滨州中考，24,10 分)如图，在平面直角坐标系中, (-2, 4), 0( 0, 0), B (2, 0)三点. (1 )求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； (2) 若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OI的最小值. 【解析】(1)将 A、O B 三点代入此抛物线求出抛物线的解析式

27、即可。 对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得 解：(1 )把 A (- 2,- 4), 0( 0, 0) , B (2, 0)三点的坐标代入 4a- 2b+c= - 4 4a+2b+c=0 E 解这个方程组，得 a=- - , b=1, c=0 2 所以解析式为 y= - - x2+x. 2 (2 )由 y=- - x2+x= - - (x - 1) 2+-，可得 2 2 2 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB OM+AM=BM+AM x 轴的交点及根与系数的 2 抛物线 y=ax +bx+c 经过 A (2 )求出此抛物线的 AM+OI的最小值.

28、 y=ax2+bx+c 中，得 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AMt 小 过点 A 作 ANLx轴于点 N, 在 RtABN 中，AB=八, 因此 OM+A 最小值为. 【点评】本题考查二次函数的性质：二次函数的求法、 二次函数对称轴的求法、二次函数对 称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题， 二 次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查. （2012 甘肃兰州，28,12 分）如图，Rt ABO 的两直角边 OAOB 分别在 x轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（-3 ,0）、（ 0,4）

29、,抛物线 2 2 y x bx c 3 经过点 B,且顶点在直线 5上. X = 2 （1 ）求抛物线对应的函数关系式； （2） 若把 ABO 沿 x轴向右平移得到厶 DCE 点 A、B、O 的对应点分别是 D C E,当四边 形 ABCD是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，连结 BD 已知在对称轴上存在一点 P 是的 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标； （4） 在（2 ）、（3）条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O B 不重合），过点 M 作 MN/ BD 交 x轴与点 N,连结 PM PN 设 OM 的

30、长为 t , PMN 勺面积为 S,求 S 与 t 的函 数关系式，并写出自变量 t 的取值范围。S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 解析：（1）根据抛物线 2 2 经过点 B （0, 4）,以及顶点在直线 5上，得出 y x bx c x 二 3 2 b, c 即可； （2）根据菱形的性质得出 C D 两点的坐标分别是（5，4）、（ 2，0），利用图象上点的性质 得出x=5 或 2 时，y 的值即可. （3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 5时，求出 y 即可; X = 2 （4）利用 MN/ BD 得出 OMNN OBD 进而得出 OM O

31、N，得到 1 ，进而表示出 - = - ON =t OB OD 2 PMN 勺面积，利用二次函数最值求出即可. 解：(1 )抛物线 22 经过 B( 0，4 )，- c=4 y x bx c 3 .顶点在直线 5上， b 5，. 10 x b 二一 a 2 3 四边形 ABCD 是菱形， BC=CD=DA=AB=5 C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 所求的函数关系式为: 2 2 10 y x 一x 4 (2 )在 Rt ABO中， 3 3 OA=3 OB=4 -AB=OA2 OB2 =5 点的坐标；若不存在，说明理由。 当 x=5 时， 2 2 10 y=_5-沢5+4=4 3

32、 36 当 x=2 时， 2 10 y =?x22 12x2+4=0 3 3 点 C 和点 D 都在所求抛物线上； （3）设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点, 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，贝U 5k b=4，解得: 2k b=0 k 8 y x - 3 3 5时， 2 2 3 - 00 3 - 5 2 X 4 3 P(鶯) (4) MN/ OM =N，即 t=ON，设对称轴交 x 轴于点 F,贝U S梯形PFOM= 1 | 1 2 5 5 5 (PF OM LOF ( t) t 2 2 3 2 4 6 -SAMO= 1 11 1 一OM LON =-tL-t

33、=-t2 2 2 2 4 SP NF= 丄NF |_PF 盲54（十5）-41】（0心4） S存在最大值. 由-7 ：2-：（t 17)2 . 289 6 ) 144 17时, S 取得最大值为 289 144 6 此时点 M 的坐标为 17x 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用， 以及菱形性质和待定系数法求解析式， 求图形 面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键，难度较大 (2012 贵州遵义，27,分)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (0)的图象经过原点 O,交 x 轴于点 A,其顶点B 的坐标为(3,-二). (1) 求抛物线的函数解析式及点 A 的坐标； (2 )在抛物

34、线上求点 P,使 SAPOA=2&AOB； (3)在抛物线上是否存在点 Q 使厶 AQO 与厶 AOB 相似？如果存在，请求出 Q 点的坐标；女口 果不存在，请说明理由. 解析：(1)根据函数经过原点，可得 c=0,然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点 (3,-逅)可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点 A 的坐标. (2) 根据题意可得点 P 到 OA 的距离是点 B 到 OA 距离的 2倍，即点 P 的纵坐标为 2 近，代入函数解析式可得出点 P 的横坐标； (3) 先求出/ BOA 的度数，然后可确定/Q iOA 的度数，继而利用解直角三角形的 知识求出 x,得出

35、Q 的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出 Q 的坐标. 答案：解：(1)由函数图象经过原点得，函数解析式为 y=ax2+bx (a*0), 又函数的顶点坐标为(3,-需)， 9a+3b= - 解得: 故函数解析式为：y=Jx - 2 並x,r巫 戸I x 由二次函数图象的对称性可得点 A 的坐标为（6, 0）; （2） VS PO/=2SAAO, 点 P 到 OA 的距离是点 B 到 OA 距离的 2 倍，即点 P 的纵坐标为 2 代入函数解析式得：2 -x2 - _ -x, 解得：Xi=3+ 7，X2=3- 7， 即可得满足条件的有两个， Pi （3+J , 2、把）,P2 （3-J

36、, 2 冋）. （3） 存在. 过点 B 作 BP 丄 OA 贝 U tan / BAPp, 0P 故可得/ BOA=60 , 设 Q 坐标为（x，才号 x2-殳頁 x）,过点 Q 作 QF 丄x轴， / OABA OQiA, /QiOA=30 , _ _ 2 故可得 OF 疋 QF,即 xj （、挣-阴x）, 解得：x=9 或 x=0 （舍去）， 即可得 Q 坐标为（9, 3 胰）, 根据函数的对称性可得 Q 坐标为（-3, 3 屈）. 点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及 一元二次方程的解，综合性较强. （2012 呼和浩特，25, 12 分）（1

37、2 分）如图，抛物线 2 y 二 ax .bx c（a0 代入双曲线解析式得 m=1 抛物线 y nax bx * C过点 A (- 2，2)、B (1, - 4)、O (0, 0) 4a-2b c = 2 解得= -1 *a+b+c=4 *b = 3 c = 0 c = 0 抛物线的解析式为 y= - x2- 3x (2) T抛物线的解析式为 y= - x2- 3xE O X * B (1,- 4) - x2 - 3x= - 4 -C (- 4， 4) SAAB（=5X 6 X 1 =15 2 由A B 两点坐标为（-2, 2）, （1，- 4）可求得直线 AB 的解析式为： y - 2x

38、- 2 设抛物线对称轴与 AB 交于点 F,则 F 点坐标为（- 3 , 1) 2 EF=9 5 1 =- 4 4 - SAABE=SA AEF+S BEF=1 X 5 X 3= 15 2 4 8 （3）T SAABE= 15 8 8 S AABE=15 当点 D 与点 C 重合时，显然满足条件。 当点 D 与点 C 不重合时，过点 C 作 AB 的平行线 CD,其对应的一次函数解析式为 y= -2x - 12 令-2x - 12=- x2- 3x 解得 X1=3, X2= - 4（舍） 当 x=3 时，y= - 18 存在另一点 D （3,- 18）满足条件。 【点评】（1）利用反比例函数求

39、点的坐标，并求出抛物线的解析式。 （2）中利用解析式求出 各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线， 找出另一点并求 坐标。 （2012 湖北武汉，23, 10 分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线顶点 E 3 9 ，对称轴为 （24） x= 解得 xi=1, X2= - 4 的一部分 ACB 和矩形的三边 AE, ED DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED= 16 米，AE= 8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x轴，抛物线的对称轴 y 轴建 立平面直角坐标系， （1） 求抛物线的解析式； （2）

40、已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离h （单位：米）随时间t （单 位：时）的变化满足函数关系 h 古(t19)2+8 128 需多少小时禁止船只通行？ 解析：1、根据题意可得 A, B, C,三点坐标分别为（-8 , 8）（0, 11） （8, 8）,禾 U 用 待定系数法，设抛物线解析式为 y=ax2+c,有。 。2丄，解方程组即可 8=8 a + c J1 = c 2、水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，即函数值不小大于 11 5 =6,解方程 2、令1 = 11 5,解得 t i = 35 , t2=3 云心9)2 8 由图像变化趋势可知，当 3t0 个单位得到

41、抛物线 G 且抛物线 G 的顶点为点 P 物线得到方程组，求解方程组即可; 2、根据题意，DE 的长度可求 3 又 FG DE= 4: 3,故可求 FG=2 即I yF-y G I =2,把 x = a 2 代人两个函数解析式，用 a 表示 F、G 纵坐标，得到关于 a 的方程即可； 3、解决本题关键在于抓住 M P 之间的联系，可设点 M 坐标为( t , 0),根据待定 系数法得抛物线 C2解析式为 y =4 q ，即 P 点坐标为(0, 1 ),又直线 AB 1212 1 丄2 x t - t 2 2 2 与抛物线 C2的交点 N 坐标为(2-t , 2-2t ),从而有/ NMO=40

42、5 进而 MN 与 y 轴交点为 T ( 0 , -t ),由特殊角三角函数和线段和差有 NT=, 2 (2-t ) ,PT=-t+ 1 t2 ,又 PN 平分 2 / MNQ,NQ/ TP 故/ MNPM PNQ2 TPN , PT=NT,即-t+ 1=、？ (2-t),从而求得 t 值， 求 m 的值。 立直线与抛 进而求得 m. 解：（1）当 x=0 时，y= -2 , A（0,2 ） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,有 1 2 1 +2 y x t 2 2 y =2x _2 解得(_9 + (舍去)点 N 坐标为(2-t , 2-2t ) X = 2 t X? = 2 t =

43、2 2t y? =2 +2t NQ=2-2t , MQ=NQ,. _2,，解得 十_2 .二直线 AB 的 解析式为 y=2x-2. b =-2 由 C 点为直线与抛物线 y = 1 2 x 2 的交点, 则点C的横、纵坐标满足 宀宀2 y =2x - 2 X2 二 0 (舍) y? =-2 点 C 的坐标为（4, 6） （2）直线 x= 3 分别交直线 AB 和交抛物线 C 于 D E 两点。 yc=4, y E= DE=3 / FG: DE= 4: 3. FG=2 直线分别交直AB 和抛物线 C 于 F、G 两点。 -y F=2a-2, y G= a -2, - - FG=|2a- a |

44、=2 解得 a1=2,a 2=2+2 J? ,a 3=2-2 ? (3) 解法一：设直线 MN 交 y 轴于 T,过点 N 作 NHL y 轴于点Ho 设点 M 坐标为（t , 0）,抛物线 G 的解析式为 y = 1 x 2 0= 1丄2 c t 2 -m 2 -2 -m - - 耳2 2 -y = 1 2 x 2 点 P 坐标为（0, 1 ), 1t2 2 点 N 是直线 AB 与抛物线 y= 2 1 X- 的交点，则点 N 的横，纵坐标满足 rr MOT, NHT 匀为等腰直角三角形， MO=NO,HT=HN, 2 OT=t, NT= 2 NH= 2 (2-t ) ,PT=-t+ 1 t

45、 2 / PN 平分/ MNQ, NQ/ TP MNPM PNQ2 TPN PT=NT, -t+ 1 12= 2(2-t)， -11=-2 2 ,t 2=2(舍去) 2 2 2 -2-m=- 1 t =- 1 (-2 2), m=2 2 2 解法二，设 N 坐标为(t,2t-2 ),抛物线 C的解析式为 y= 1 x2-2-m, 2t-2= 12-2-m 2 2 点 P 坐标为(0, 1 +2t-2 ) It2 2 同解法一可得/ MNQ=45 PNQ=1 / MNQ=22.5, 2 过点 P 作 PF 丄 NQ 于点 F,在 FN 上截取 FJ=FP,连线 JP,. NJ= JP= 2 PF

46、= 2 FJ 2 NF=( 2 + 1) PF,.即(2 t-2 ) -(- 1 t +2t-2)=( 2 +1)t 2 11=2 ；2 +2,t 2=0(舍去),- m=1 t -2t=2 - m=2 2 点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所 截线段长度的计算， 特殊角的三角函数， 平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数 形结合的数学思想，1、2 问难度不大，2 问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度 加绝对值达到分类讨论的效果； 3 问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可 以先进行必要的计算，边算边找，只要找到/ NMQ=405 问题就较为

47、明晰了。 (2012 湖南衡阳市，27, 10)如图，A B 两点的坐标分别是(8, 0)、(0, 6),点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO(O 为坐标原点)方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ 若设运动 时间为 t (0V t vJ 秒答案如下问题： (1 )当 t 为何值时，PQ/ BO (2)设厶 AQP 的面积为 S, 求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； 若我们规定：点 P、Q 的坐标分别为(xi, yi) , ( X2, y2),则新坐标(X2-

48、xi, y2- yi)称 为“向量 PC”的坐标.当 S 取最大值时，求“向量 PQ 的坐标. A 解析：(1)如图所示，当 PQ/ BO 时，利用平分线分线段成比例定理， 列线段比例式L AB_A0 求出 t 的值； (2)求 S 关系式的要点是求得 AQP 的高，如图所示，过点 P 作过点 P 作 PDLx轴于 点 D,构造平行线 PD/ BO 由线段比例关系牡印求得 PD,从而 S 可求出.S 与 t 之间的 AB 0B 函数关系式是一个关于 t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 S 的最大值； 本问关键是求出点 P、Q 的坐标.当 S 取最大值时，可推出此时 PDOAB 的中位

49、线，从 而可求出点 P的纵横坐标，又易求 Q 点坐标，从而求得点 P、Q 的坐标；求得 P、Q 的坐标之 后，代入“向量 PQ”坐标的定义(X2 - X1, y2 - yj,即可求解. 答案：解：(1)v A B 两点的坐标分别是(8, 0)、(0, 6),则 OB=6 OA=8 如图，当 PQ/ BO 时，AQ=2t, BP=3t，则 PQ/ BQ j . i,即 -.ii ： i 二.，解得 t= ii, AEA0 10 3 11 当 t= .-.i 秒时，PQ/ BO II (2 )由(1)知：OA=8 OB=6 AB=10. AP=10- 3t . 如图所示，过点 P 作 PDLx轴于

50、点 D,贝 U PD/ BQ I二-；i，即 5 ：；i _-，解得 PD=6 . AB_OB 10V 5 S=_AQ?PD=?2t? ( 6 - ,t) =6t .=.(t - ) 2+5, 2 2 5 *5 *5 3 S 与 t 之间的函数关系式为：S=- ! (t -厂)2+5 (Ov t v - |), 5 3 亏 当 t=，秒时，S 取得最大值，最大值为 5 (平方单位). 3 如图所示，当 S 取最大值时，t=-, 3 PD=6- gt=3 , PD=BQ 又 PD/ BQ 5 2 此时 PD OAB 的中位线，贝 U QD= QA=4 2 - P ( 4, 3). 又 AQ=2t

51、= - | , QG=QA_ AQ= , ， Q ( - , 0). 3 3 依题意，“向量 PQ 的坐标为(IQ - 4, 0- 3),即(2，- 3). T 3 当 S 取最大值时，“向量 PQ 的坐标为(.,-3). 3 匿 点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相 似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点. 第（2） 问中，给出了 “向量 PQ 的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷 惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识. （2012 湖南省张家界市 25 题 12 分）如同，抛物线 2 与

52、x轴交于 y = -x2 +J3x + 2 3 C A两点，与 y 轴交于点 B, OB=4 点 O 关于直线 AB 的对称点为 D, E 为线段 AB 的中点. （1） 分别求出点 A、点 B 的坐标 （2） 求直线 AB 的解析式 （3） 若反比例函数 k的图像过点 D,求k值 y = x （4） 两动点 P、Q 同时从点 A 出发，分别沿 AB AO 方向向 B、O 移动，点 P 每秒移动 1 个单位，点 Q 每秒移动1个单位，设 POQ 的面积为 S,移动时间为 t,问：S 是否存在最大 2 【分析】（1）求抛物线与 x轴的交点的横坐标，即求函数值为 0 时，x的值；（2）利用 待定系

53、数法可求；（3）求出 D 点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求 值；（4）利用二t 值，若不存在，请说明理由 次函数的最值求解 二 C( - y/3，0)，A( 2 屈，0) 3 (2)令 AB 为直线为 y=kix+2,T点 A (2 3，0)在直线上, AB 的解析式为 y=- 3 x+2. 3 (3)T D 点与 O 点关于 AB 对称， OD=OA=23. D 点的横坐标为 3，纵坐标为 3，即 D( 3，3). 因为 y= k 过点 D,. 3= k , k=3 , 3 x 3 (3)T AP=t, AQ=i t , OQ=2 3 - 1 t. 2 2 点 P 到 OQ 的距离为i

54、 t. 2 2 SP=1 (2 . 3-t) t=- 1 (t-2 3 ) +3 . 2 2 2 8 2 依题意，t 4 ，得 Ov t w 4, 2 t 0 当 t=2、3时，S 有最大值为3 . 2 【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点， 求出相关点的坐标， 然后用待定系数法， 求出抛物线的解析式； 再根据二次函数的最值求解 问题.【解答】(1)令 y=0,即-x2+ x+2=0, 3 解答 xi=- 3， 3 x2=2 .一 3 (2012 年四川省巴中市，29,9)某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可 卖出 200 件；如

55、果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品的售价上涨 x 元(x 为整数)，每个月的销售利润为 y 元 (1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； (2) 每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润 ？最大利润是多少？ 【解析】 根据题意，y= (60-50+x ) (200-10X),整理得，y=10 x2+100 x+2000(0 xw 12); 2 2 由 得 y=-10 x +100 x+2000= 10 (x-5 ) + 2250，当 x=5 时，最大月利润 y 为 2250 元。 【答案】 y=-10

56、 x 2+100 x+2000(0 x 12)当 x=5 时，最大月利润 y=2250 元 【点评】本题是二次函数的应用问题， “最大利润问题”，根据题意准确的确定函数关系式 是解决问题的关键 (2012 山东 日照，22, 9 分)如图，矩形 ABC啲两边长 AB=18cm, AD=4cm 点P、Q分别从 A B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒 2cm 的速度匀速运动, 每秒 1cm 的速度匀速运动设运动时间为 x秒， PBQ勺面积为y (cmf) (1 )求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围; 把函数化成顶点式，再根据 x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题 解：(1)

57、 . SAPB= 1 PB BQ PB=AAP=18 2x, BQ=x 2 2 / y= 1 (18 2x) x, 即卩 y= x +9x (0 x4); 2 (2)由(1)知：y= x+9xy= (x 9 ) +81 , 2 4Q在边BC上沿BC方向以 (2)求厶PBQ勺面积的最大值 解析：先运用三角形的面积公式求出 y关于x的函数关系式，然后运用公式法或配方法 2 当 0 xW 9时，y随x的增大而增大， 而 OX4, 2 当x=4 时，y最大值=20,即厶PBQ的最大面积是 20cmi. 点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法， 解题 的关键是用x表示相关

58、线段的长，然后关键三角形的面积公式求出 y关于x的函数关系式， 难点是求函数的最大值. (2012 广东肇庆，25, 10) 已知二次函数y = mx2 nx p图象的顶点横坐标是 2,与 x轴交于A ( x , 0 )、B( x , 0), x 0 x，与v轴交于点C, O为坐标原点， x x? x x? tan. CAO -tan. CBO =1 - x( i x 4x 4= 2 m 8 = 2 ( 2) 2+ & . 2 3 3 3 3 (3) 假设在第三象限的抛物线上存在点 Q(x, y),使得点 Q 到BB 的距离是 -，过点 Q 作 QDL BB 于点。，由(2)可知，这时

59、 PBB1的面积可以表示为 2 2 2 (x+ 2) + 8 . 3 3 在 Rt O BB1 中， BB=JOB2 +0B, _4血, PBB1= 1 x BB x QD=1 2 (x + 2) 2+ 8 =2，解得：x 的值是一 1 或者是一 3，当 x= 1 时，y= 4,当 x= 3 3 3 时，y= 2,因此在第三象限内，抛物线上存在点 样的点 Q 的坐标是(一 1, 4) ( 3， 2); Q,使得 Q 点到线段 BB 的距离是 点评：与二次函数有关的动点构造的面积问题，结合几何图形的信息，建立方程或者是函 数模型，通过解方程或者是对函数的性质的讨论，确定问题的所有情况，转化、数形

60、结合、 待定系数法、分类等多种数学思想方法综合运用，有助于解决问题 （2012 深圳市 22 ， 9 分）如图 8，已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A( -4, 0), B (1, 0), C ( -2, 6) （1）求经过 A B C三点抛物线的解析式 （2）设直线 BC交y轴于点E,连接AE求证：AE=CE （3）设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F为顶点的三角形与 ABC 相似吗？请说明理由。 【解析】：（1）已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出 待定系数a, b, c的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴作 垂线，通过计算 AE