31时间序列平稳性和单位根检验

1、第第3 3章章 现代时间序列计量经济学模型现代时间序列计量经济学模型 本章说明本章说明 关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模型（型（AR）、移动平均模型（）、移动平均模型（MA）、自回归移动）、自回归移动平均模型（平均模型（ARMA）等，在一般的中级计量经济）等，在一般的中级计量经济学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都有详细的介绍，本章将不予涉及。有详细的介绍，本章将不予涉及。 本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是单位根检验、协整检验和误差修正模型。单

2、位根检验、协整检验和误差修正模型。 向量自回归模型（向量自回归模型（VAR）已经成为一类广泛应用）已经成为一类广泛应用的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介绍。绍。 3.1 时间序列平稳性和单位根检验时间序列平稳性和单位根检验一、时间序列的平稳性一、时间序列的平稳性二、单整序列二、单整序列三、单位根检验三、单位根检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程四、趋势平稳与差分平稳随机过程五、结构变化时间序列的单位根检验五、结构变化时间序列的单位根检验 一、一、时间序列的平稳性时间序列的平稳性Stationary Time Series问题的提出问题的提出 经典

3、计量经济模型常用到的数据有：经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据时间序列数据（time-series data)； 截面数据截面数据(cross-sectional data) 平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data) 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 经典回归分析暗含着一个重要假设：经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据是平稳的。 数据非平稳，大样本下的统计推断基础数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一一致性致性”要求要求被破怀。被破怀。 数据非平稳

4、，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”（Spurious Regression）问题。）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。相关性。例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。2 2、平稳性的定义、平稳性的定义 假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间生成的，即假定时间序列序列Xt（t=1, 2, ）的每一个数值都是从一）的每一个数

5、值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：均值均值E(XE(Xt t)=)= 是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；方差方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；协方差协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，与有关，与时间时间t 无关的常数；无关的常数； 则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的（平稳的（stationary)，而该随机过程是一而该随机过程是一平稳随机过程（平稳随机过程（stationary stochas

6、tic process）。宽平稳、广义平稳宽平稳、广义平稳 白噪声（白噪声（white noise）过程是平稳的：过程是平稳的： Xt=t ， tN(0,2) 随机游走（随机游走（random walk）过程是非平稳的：过程是非平稳的： Xt=Xt-1+t ， tN(0,2) Var(Xt)=t2 随机游走的随机游走的一阶差分（一阶差分（first difference）是平是平稳的：稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，tN(0,2) 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。取差分的方法而形成平稳序列。二、单整序列二、单整序列

7、Integrated Series 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是就称原序列是一阶单整（一阶单整（integrated of 1）序）序列列，记为，记为I(1)。 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成平稳序列，则称原序列是成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列）序列，记为，记为I(d)。 I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等表现为平稳的

8、，如利率等; 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收入等常是当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的，阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的非单整的（non-integrated）。三、

9、平稳性的单位根检验三、平稳性的单位根检验 （unit root test）1 1、DFDF检验检验（Dicky-Fuller Test） 通过上式判断通过上式判断XtXt是否有单位根是否有单位根, ,就是时间序列平稳就是时间序列平稳性的性的单位根检验单位根检验。 tttXX1tttXX1tttttXXX11) 1(随机游走，非平稳随机游走，非平稳对该式回归，如果确实对该式回归，如果确实发现发现=1，则称随机变，则称随机变量量XtXt有一个有一个单位根单位根。 等价于通过该式判断等价于通过该式判断是否存在是否存在=0。 一般检验模型一般检验模型tttXX1tttXX1零假设零假设 H0： =0备

10、择假设备择假设 H1： 0 可通过可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。但是但是: 在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。检验无法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统计量服统计量服从的分布（这时的从的分布（这时的t统计量称为统计量称为 统计量统计量），即），即DF分布分布。 由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的偏态分布。偏态分布。 如果如果t临

11、界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。间序列不存在单位根，是平稳的。 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 单尾检验2 2、ADFADF检验（检验（Augment Dickey-Fuller test） 为什么将为什么将DFDF检验扩展为检验扩展为ADFAD

12、F检验？检验？ DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机误差项并非是白噪声，用误差项并非是白噪声，用OLS法进行估计均会表现法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。检验无效。 如果时间序列含有明显的随时间变化的某种趋势如果时间序列含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），也容易导致（如上升或下降），也容易导致DF检验中

13、的自相关检验中的自相关随机误差项问题。随机误差项问题。 ADFADF检验模型检验模型tmiitittXXX11tmiitittXXX11tmiitittXXtX11零假设零假设 H0： =0 备择假设备择假设 H1： 500 -2.58 -2.23 -1.95 -1.61 25 -3.75 -3.33 -3.00 -2.62 50 -3.58 -3.22 -2.93 -2.60 100 -3.51 -3.17 -2.89 -2.58 250 -3.46 -3.14 -2.88 -2.57 500 -3.44 -3.13 -2.87 -2.57 500 -3.43 -3.12 -2.86 -2.

14、57 25 3.41 2.97 2.61 2.20 50 3.28 2.89 2.56 2.18 100 3.22 2.86 2.54 2.17 250 3.19 2.84 2.53 2.16 500 3.18 2.83 2.52 2.16 2 500 3.18 2.83 2.52 2.16 模型 统计量 样本容量 0.01 0.025 0.05 0.10 25 -4.38 -3.95 -3.60 -3.24 50 -4.15 -3.80 -3.50 -3.18 100 -4.04 -3.73 -3.45 -3.15 250 -3.99 -3.69 -3.43 -3.13 500 -3.98

15、-3.68 -3.42 -3.13 500 -3.96 -3.66 -3.41 -3.12 25 4.05 3.59 3.20 2.77 50 3.87 3.47 3.14 2.75 100 3.78 3.42 3.11 2.73 250 3.74 3.39 3.09 2.73 500 3.72 3.38 3.08 2.72 500 3.71 3.38 3.08 2.72 25 3.74 3.25 2.85 2.39 50 3.60 3.18 2.81 2.38 100 3.53 3.14 2.79 2.38 250 3.49 3.12 2.79 2.38 500 3.48 3.11 2.78

16、 2.38 3 500 3.46 3.11 2.78 2.38 一个简单的检验过程：一个简单的检验过程： 同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设临界值表检验零假设H0： =0。 只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；可以认为时间序列是平稳的； 当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。为时间序列是非平稳的。3 3、例题演示、例题演示 检验检验19782006年间中国实际支出法国内生产

17、总年间中国实际支出法国内生产总值值GDPC时间序列的平稳性。时间序列的平稳性。 ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现 ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现 检验检验GDPCGDPC，模型，模型3 3 检验检验GDPCGDPC，模型，模型3 3从从GDPC(-1)的参的参数值看，其数值看，其t统计统计量的值大于临界量的值大于临界值，不能拒绝存值，不能拒绝存在单位根的零假在单位根的零假设。同时，由于设。同时，由于时间项时间项T的的t统计量统计量也小于也小于ADF分布分布表中的临界值，表中的临界值，因此不能拒绝不因此不能拒绝不存在趋势项的零存在

18、趋势项的零假设。需进一步假设。需进一步检验模型检验模型2 。 检验检验GDPCGDPC，模型，模型2 2 检验检验GDPCGDPC，模型，模型2 2从从GDPC(-1)的参的参数值看，其数值看，其t统计统计量的值大于临界量的值大于临界值，不能拒绝存值，不能拒绝存在单位根的零假在单位根的零假设。同时，由于设。同时，由于常数项的常数项的t统计量统计量也小于也小于ADF分布分布表中的临界值，表中的临界值，因此不能拒绝不因此不能拒绝不存在趋势项的零存在趋势项的零假设。需进一步假设。需进一步检验模型检验模型1。 检验检验GDPCGDPC，模型，模型1 1 检验检验GDPCGDPC，模型，模型1 1从从G

19、DPC(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值大于临计量的值大于临界值，不能拒绝界值，不能拒绝存在单位根的零存在单位根的零假设。假设。 至此，可断定中国实际支出法至此，可断定中国实际支出法GDP时间序列是非时间序列是非平稳的。如果仅需要检验该时间序列是否是平稳平稳的。如果仅需要检验该时间序列是否是平稳的，检验到此结束。的，检验到此结束。 如果需要检验该时间序列的单整性，即它是多少如果需要检验该时间序列的单整性，即它是多少阶的单整序列，则需要对其一次差分序列、二次阶的单整序列，则需要对其一次差分序列、二次差分序列等进行单位根检验。差分序列等进行单位根检验。 检验检验GDPCGDPC，模

20、型，模型3 3 检验检验GDPCGDPC，模型，模型3 3从从GDPC(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值大于临计量的值大于临界值，不能拒绝界值，不能拒绝存在单位根的零存在单位根的零假设。同时，由假设。同时，由于时间项项于时间项项T的的t统计量也小于统计量也小于AFD分布表中的分布表中的临界值，因此不临界值，因此不能拒绝不存在趋能拒绝不存在趋势项的零假设。势项的零假设。需进一步检验模需进一步检验模型型2 。 检验检验GDPCGDPC，模型，模型2 2从从GDPC(-1)的参的参数值看，其统计量数值看，其统计量的值大于临界值，的值大于临界值，不能拒绝存在单位不能拒绝存在单位根的零假

21、设。同时，根的零假设。同时，由于常数项的由于常数项的t统计统计量也小于量也小于AFD分布分布表中的临界值，因表中的临界值，因此不能拒绝不存在此不能拒绝不存在趋势项的零假设。趋势项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型1。 检验检验GDPCGDPC，模型，模型1 1从从GDPC(-1)的的参数值看，其统计参数值看，其统计量的值大于临界值量的值大于临界值（单尾），不能拒（单尾），不能拒绝存在单位根的零绝存在单位根的零假设。至此，可断假设。至此，可断定定GDPC时间序时间序列是非平稳的。列是非平稳的。 检验检验（GDPCGDPC），模型），模型3 3 检验检验（GDPCGDPC），模型），模型3

22、 3 检验检验（GDPCGDPC），模型），模型2 2 检验检验（GDPCGDPC），模型），模型1 1从从2GDPC(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值小于临计量的值小于临界值，拒绝存在界值，拒绝存在单位根的零假设。单位根的零假设。至此，可断定至此，可断定2GDPC时间序时间序列是平稳的。列是平稳的。GDPC是是I(2)过程。过程。 4 4、关于、关于ADFADF检验的几点讨论检验的几点讨论 关于检验模型中滞后项的确定关于检验模型中滞后项的确定 模型（模型（1）、（）、（2）、（）、（3）中都含有滞后项，其目的是）中都含有滞后项，其目的是为了消除模型随机项的序列相关，保证随机项

23、是白噪为了消除模型随机项的序列相关，保证随机项是白噪声。声。 一般采用一般采用LM检验确定滞后阶数，以及其它数检验确定滞后阶数，以及其它数据依赖方法。据依赖方法。 关于检验模型中滞后项的确定关于检验模型中滞后项的确定 当采用一些应用软件（例如当采用一些应用软件（例如Eviews）进行）进行ADF检验时，检验时，可以自动得到滞后阶数，使得估计过程更加简单。可以自动得到滞后阶数，使得估计过程更加简单。 但是，在软件中一般采用信息准则（例如但是，在软件中一般采用信息准则（例如AIC、BIC等）等）确定滞后阶数，其明显的缺点是无法判断滞后阶数不确定滞后阶数，其明显的缺点是无法判断滞后阶数不连续的情况，

24、例如只存在连续的情况，例如只存在1阶和阶和3阶而不存在阶而不存在2阶相关的阶相关的情况。情况。 另外，从理论上讲，信息准则主要是基于预测的均方另外，从理论上讲，信息准则主要是基于预测的均方误差最小，但对于单位根检验而言重要的是消除序列误差最小，但对于单位根检验而言重要的是消除序列之间的相关性。之间的相关性。 关于检验模型中滞后项的确定关于检验模型中滞后项的确定 过高定阶和过低定阶对单位根检验有着不对称的影响。过高定阶和过低定阶对单位根检验有着不对称的影响。 过高定阶意味着自相关已经消除，但含有冗余回归元，过高定阶意味着自相关已经消除，但含有冗余回归元，因此不会影响检验的尺度因此不会影响检验的尺

25、度(size)，但会影响检验的势，但会影响检验的势，Monte-Carlo试验证实这种势的降低并不强烈。试验证实这种势的降低并不强烈。 过低定阶意味着自相关还没有消除，因此过低定阶意味着自相关还没有消除，因此t统计量的分统计量的分布形态将会发生改变，检验的尺度和势（布形态将会发生改变，检验的尺度和势（power）都）都会发生扭曲。会发生扭曲。 由于信息准则相对于检验序列相关的数据依赖方法一由于信息准则相对于检验序列相关的数据依赖方法一般倾向于过低定阶，因此其在单位根检验中的表现差般倾向于过低定阶，因此其在单位根检验中的表现差于数据依赖方法。于数据依赖方法。 如何处理检验过程中的矛盾现象？如何处

26、理检验过程中的矛盾现象？ 对于模型（对于模型（3），如果检验显示既不拒绝零假设：），如果检验显示既不拒绝零假设：=0，也不拒绝零假设：也不拒绝零假设：=0，既然就要检验模型（，既然就要检验模型（2）。）。 如果检验显示不拒绝零假设：如果检验显示不拒绝零假设：=0，但是拒绝零假设：，但是拒绝零假设： =0 ，那么回到模型（，那么回到模型（2）是不合理的。这就出现了矛）是不合理的。这就出现了矛盾。盾。 一种经验的处理方法是采用正态分布临界值检验是否一种经验的处理方法是采用正态分布临界值检验是否存在单位根，即将临界值适当放松，如果仍然存在单存在单位根，即将临界值适当放松，如果仍然存在单位根，即停止检

27、验，得到该时间序列非平稳的结论。位根，即停止检验，得到该时间序列非平稳的结论。 关于关于ADFADF检验模型的进一步说明检验模型的进一步说明 如果时间序列具有明显的趋势，则应该用模型如果时间序列具有明显的趋势，则应该用模型3检验；检验； 如果时间序列没有时间趋势，但绕着一个非如果时间序列没有时间趋势，但绕着一个非0值来回游值来回游摆，则应该用摆，则应该用2模型；模型； 如果时间序列绕着如果时间序列绕着0来回游摆，则应该用来回游摆，则应该用1模型。模型。 如果时间序列没有很明显的上述特征，则应该是遵循如果时间序列没有很明显的上述特征，则应该是遵循从从3到到1的检验顺序。的检验顺序。5 5、其它单

28、位根检验方法简介、其它单位根检验方法简介 PP检验（检验（Phillips-Perron） 检验模型中不引入滞后项，以避免自由度损失降低检检验模型中不引入滞后项，以避免自由度损失降低检验效力。验效力。 直接采用直接采用Newey-West一致估计式作为调整因子，修一致估计式作为调整因子，修正一阶自回归模型得出的统计量。正一阶自回归模型得出的统计量。 一种非参数检验方法一种非参数检验方法tttxtx1 霍尔工具变量方法霍尔工具变量方法 用工具变量法估计用工具变量法估计ADF检验模型。检验模型。 用用Xt-k和和Xt-i-k作为作为yt-1和和Xt-i的工具变量。的工具变量。 检验统计量仍然服从检

29、验统计量仍然服从ADF分布。分布。tmiitittXXtX11 DF-GLS 方法方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS） 去势（趋势、均值）。去势（趋势、均值）。 对去势后的序列进行对去势后的序列进行ADF型检验。型检验。 采用采用GLS估计检验模型。估计检验模型。 证明具有更良好的性质。证明具有更良好的性质。 KPSS方法方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin） 检验趋势平稳检验趋势平稳 非参数检验方法非参数检验方法 其它方法其它方法 LMC(Leybourne,McCabe) Ng-Perron EviewsEviews 中提供的检

30、验方法中提供的检验方法四、趋势平稳与差分平稳随机过程四、趋势平稳与差分平稳随机过程 考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：考虑如下的含有一阶自回归的随机过程： tttXtX1tttXX1tttX=1=0=00判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可通过判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的模型（检验中所用的模型（3）进行。）进行。如果检验结果表明所给时间序列如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势；如果没有单位根，且时间变量前的参数显著

31、地异于零，则该序列势；如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显示出确定性趋势。 确定性趋势确定性趋势 随机性趋势随机性趋势 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除 ，该时间序列，该时间序列Xt称为称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）； 确定性趋势无法通过差分的方法消除，只能通过确定性趋势无法通过差分的方法消除，只能通过除去趋势项消除，该时间序列除去趋势项消除，该时间序列Xt称为称为趋势平稳过趋势平稳过程（程（trend stationary process）。 五、结构变化时间序列

32、的单位根检验五、结构变化时间序列的单位根检验 说明说明 现代时间序列分析的一个前沿研究领域。现代时间序列分析的一个前沿研究领域。 文献庞杂。文献庞杂。 只介绍几种实用的检验方法。只介绍几种实用的检验方法。1 1、随机时间序列的结构变化、随机时间序列的结构变化 3 3种基本突变类型种基本突变类型存在水平存在水平(level)(level)突变；突变；存在倾斜存在倾斜(slope)(slope)突变；突变；存在水平和倾斜突变。存在水平和倾斜突变。 扩展突变类型扩展突变类型2 2个及多个断点。个及多个断点。2 2、ZAZA检验检验 概述概述 Zivot and Andrews(1992)提出。提出。 以原序列是一个单位根过程为零假设。以原序列是一个单位根过程为零假设。 备择假设有三种：备择假设有三种： 原序列是一个存在水平原序列是一个存在水平(level)突变的趋势平稳过程；突变的趋势平稳过程； 原序列是一个存在倾斜原序列是一个存在倾斜(slope)突变的趋势平稳过程；突变的趋势平稳过程； 原序列是一个存在水平和倾斜突变的趋势平稳过程。原序列是一个存在水平和倾斜突变的趋势平稳过程。 检验模型：检验模型： 对应于三个不同的备择假设，对应于三个不同的备择假设，ZA检验有三个不同的检验有三个不同的模型（依次为模型模型（依次为模型A、B、C）：