四公理三推论讲义

1、个人收集整理资料,仅供交流学习,勿作商业用途2.1四公理三推论讲义、基本概念：知识点一：常用空间几何体棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。b5E2RGbCAP棱柱的性质：<1）侧棱都相等，侧面是平行四边形<2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形<3）过不相邻的两条侧棱的截面 <对角面）是平行四边形棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 。棱锥的性质：<1）侧棱交于一点。侧面都是三角形<2）平行于底面的截面与底面是相似的多边

2、形。且其面积比等于截 得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内 的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三 角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。知识点二：四公理三推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有的点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过 这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线，有且只有一个

3、平面。推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向 相同，那么这两个角相等。知识点三：空间两直线的位置关系空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也 不相交。异面直线判定定理：过平面内一点与面外一点的直线，与面内不经 过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为（0 °，90°两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条知识点四：直线和平面的位置关系直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平

4、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的锐角。规定：直线与平面垂直时，所成的角为直角；直线与平面平行或在 平面内，所成角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为 0 °，90。知识点五：两个平面的位置关系两个平面的位置关系：平行、相交。二面角<1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每 一个部分叫做半平面。<2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角。二面角的取值范围为<0°，180° <3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。<4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

5、<5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。p1Ea nqFDPw<6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角求法：直接法 <作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射 影定理、空间向量之法向量法 <注意求出的角与所需要求的角之间的 等补关系）DXDiTa9E3d二、典型例题：例1.下列四个结论：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。两条直线没有公共点，则这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线

6、和这个平面平行。其中正确的个数为)A. B. C. D.2. 垂直于同一条直线的两条直线一定 )A. 平行B .相交 C .异面 D .以上都有可能3. 互不重合的三个平面最多可以把空间分成 )个部分A. B. C. D.4. 三个平面把空间分成 部分时，它们的交线有)A. 条 E. 条 C. 条 D. 条或条5. 下列说法不正确的是)A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 .6. 设是两条不同的直线，LI是三个不同

7、的平面，给出下列四个命题：若d，E，则12若，亠，则_1若 亠，亠，贝S若 1 ，1，则日其中正确命题的序号是(>A.和B.和C.和D.和答案：A D D C D A7. 已知是两条异面直线，二,那么 与 的位置关系8下列命题中：<1）、平行于同一直线的两个平面平行；<2）、平行于同一平面的两个平面平行；<3）、垂直于同一直线的两直线平行；<4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有。9. 点至U平面 的距离分别为|和| ,则线段的中点 到 平面的距离为:答案：7. 异面或相交；8. <2） <4）;9. 5cm 或1cm。10. 已知直线上，

8、且直线 与回都相交，求证：直线一 共面。证明：亠，不妨设 共面于平面，设 1I ，即 二，所以三线共面。异面直线所成的角：11. 在空间四边形PABC中, F、G分别是AB PC的中点，若PB=8AC=6 FG=5 求 AC与 PB所成的角。RTCrpUDGiT12. 在正方体.-Q 中，E、F、G H分别为 、AB 、的中点，求异面直线EF与GH所成的角。13. 在正方体H 中，求AC与日所成的角的大小。答案：11、回；12、；13、回平面与平面所成的角：14. 在空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=a对角线 AC二a,BD=，求二面角 A BD- C 的大小。5PCzVD7Hx

9、A15. 在距形 ABCD中, AB=3 AD=4 PA 平面 ABCD PA=E ,则求二面角A-BD-P的大小。16. 在正方体H中，求二面角_J 的大小。答案：14、； 15、; 16、。高考真题：1.【2018高考四川6】下列命题正确的是)A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解读】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.jLBHrn

10、AlLg2.【2018高考浙江5】设是直线，a，3是两个不同的平面A.若 / a，/ 3，贝卩a / 3B.若/ a，丄3，则a丄3C.若a丄3，丄a，贝壮丄3D.若a丄3 ,/ a，贝卩丄3【解读】利用排除法可得选项B是正确的，T/ a，丄 3，则a丄B .如选项A： / a, /B时，a丄B或a/p ;选项C：若 a丄B， 丄a， / B或 丨；选项D：若若a丄3 , 丄a， / B或丄 3 . XHAQX74J0X3. <2018浙江理数）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是<A）若亠，二，则亠<B）若亠，匡，则亠<C）若，贝S I <D）若

11、 丨，ei，贝SI解读：选B。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理。4. <2018山东文数）在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平答案：D5. V2018湖北文数）用、匸、 表示三条不同的直线，表示平面,给出下列命题：若 /,/,贝S /；若丄，丄，贝S丄；若旦/,/,则冃/;若冃丄，丄，则冃/.A.B.C.D. 【答案】C【解析】根据平行直线的传還性可知正确=在长方体模型中容易观S5出中6 c05可以平行或异面;中乩纟还可以相交，是其命题故C正踰6. V2018山东理数）在空间，下列命题正确的是<A）平行直线的平行投影重合<B ）平行于同一直线的两个平面平行<C）垂直于同一平面的两个