因式分解知识点归纳

1、因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法:ma mb me 二 m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a2 -b2 = (a b)(a -b)；完全平方公式：a2 _ 2ab b2 = (a _ b)(3)十字相乘法：2x (a b)x ab = (x a)(x b)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4

2、）最后考虑用分组分解法5、 同底数幕的乘法法则：aJan二am n （ m, n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：（a b）2|_（a b）3 = （a b）56、 幕的乘方法则：（am）n =amn （ m,n都是正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：（-35）2 =31°幕的乘方法则可以逆用：即 amn = （am）n =（an）m如：46 = （42）3 = （43）27、 积的乘方法则：（ab）n =anbn（ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（-2x3y2z）5 = （-2）5 *（x3）5 *（y2）5 z5

3、 =32x15y10z58、 同底数幕的除法法则：am"an =am" （ a = O,m, n都是正整数，且 mn）同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：（ab）4 " （ab） = （ab）3 = a3b39、零指数和负指数；a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1a p ( a=0, p是正整数)，即一个不等于零的数的 -p次方等于这个数的 p次方的倒数。a书：131如：2=(2)=810、单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： 积的系数等于各因式

4、系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：-2x2 y3z *3xy =11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,即 m(a b c)二 ma mb mc( m, a,b, c都是单项式) 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如: 2x(2x - 3y)-

5、3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a2b)(a -3b)如：(x+5)(x6)三、知识点分析：1.同底数幕、幕的运算： aman=am+n(m, n都是正整数).(a) n=amn(m, n都是正整数).例题 1.若2a° =64，则 a=;若 27 3n = (-3)8，则 n=例题 2.若 52x 1 =125，求(x - 2)2009 x 的值。例题3.计算x -2y练习1. 若 a2n =3，则 a6n=.2. 设 4x=8y-1,且 9y=2f1 ,则 x-y 等于。2.积的乘

6、方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘例题1.计算:n 一 m 3 (m 一 n 卜(n _m3.乘法公式平方差公式：a b a -b = a2 -b2完全平方和公式：a b 2 =a2 2ab - b2完全平方差公式：a -b 2 =a2 -2ab b2例题1.利用平方差公式计算：2009X2007-20082例题2.利用平方差公式计算：2 2007.2007 -2008x20063. (a- 2b+ 3c- d) (a+ 2b-3c d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 因式分

7、解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -1= (x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 22、若4a - kab - 9b可以因式分解为(2a -3b)，则k的值为3、已知a为正整数，试判断2a a是奇数还是偶数?24、已知关于x的二次三项式x +mx + n有一个因式(x+5)，且m+n=17试求m, n的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mb me二m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的

8、方法：1、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b2 -12a2bc分解因式，应提取的公因式是(2 2A ab B 、4a b C、4ab D、4a be2、已知(19x _31)(13x _17) _(13x _17)(11x _23)可因式分解为(ax b)(8x c)，其中 a, b, e 均为整数，则a+b+c等于()A、-12 B 、-32 C 、38 D 、723、分解因式(1) 6a(a b) _4b(a b)(2) 3a(x - y) - 6b( y - x)n n 1 n 220112010(3) x -x -

9、x -(4) (-3)(-3)4、先分解因式，在计算求值(1)(2x -1)2(3x 2) -(2x -1)(3x 2)2 -x(1 -2x)(3x 2) 其中 x=1.52 2(2) (a-2)(a a 1)-(a -1)(2 -a) 其中 a=185、 已知多项式x4 2012x2 2011x 2012有一个因式为x2 ax 1，另一个因式为x2 bx 2012， 求a+b的值22536、 若ab *1=0，用因式分解法求 -ab(a b -ab -b)的值7、已知 a，b，c 满足 ab a b =bc b c = ca c a = 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a，b，c

10、都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 -b2 = (a b)(a -b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题1下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A 2.2 22 2.2A x 4y B 、x -2y 1 C、-x 4y D2、分解下列因式2 2-x2 -4y2 2(x y) -(x-y)322(4) x -xy(5) (a -b) -1(6)9(a-b)2-30(a2-b2) 25(a b)2(1)3x2 -12(2)(x 2)(x 4) x-42009 201120102 -13、若n为正整数，则2 2(2n1) -(2n

11、 -1)定能被8整除完全平方式a2 士2ab b2 =(a±b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾 两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1在多项式x2 2xy -y2-x2 2xy -y2x2 xy+y24x2 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有()A、B 、 C 、 D 、2、下列因式分解中，正确的有(_a ab _ ac _ -a(a _ b _ c) 4a-a'b2 =a(4-a2b2) x2y-2xy xy =xy(x -2)2 2 2 2 2 29abc-6a b =3abc(3-2a)一 x

12、 y “xy xy(x y)3 33A 0个 B 、1个 C 、2个 D 、5个3、如果 x22(m _3)x 16是个完全平方式，那么m应为(、7 或-1-5 B 、34、分解因式2(1) mx -4mx 2m2a2-4a 2- x3 2x2 - x2 2(4)(2x 3) -(x-3)2(5) 8x y _8xy 2y2 2(7) 4x 12xy+9y 4x+6y-3(6) (x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 41 i5、已知 a +b = 2， ab = 2，求 一 a3b +a2b2 + ab32 22 26、证明代数式x y -10x 8y 45的值总是正数7、已知a，

13、b， c分别是 ABC的三边长，试比较(a2 b2c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三项式x px q中，如果能把常数项2并且a b等于一次项系数 p的值，那么它就可以把二次三项式 x -q分解成两个因式a、b的积,px q分解成22ree例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),22解：x 5x 6 = x (23)x2 3=(x 2)( x 3)1用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,例题讲解2、分解因式：x2 -7x

14、 6解：原式=x2(-1)(-6)x(-1)(-6)= (x-1)(x-6)5。从中可以发现只有1 _ 23X 2+1X 3=5且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2 X 3的分解适合，即2+3=51 -6 (-1 )+ (-6 ) = -7练习分解因式(1) x214x - 24a2-15a36x2 4x5 x2 x - 22y _2y _15x2 -10x -242、二次项系数不为1的二次三项式 条件：(1)(2)(3)分解结果：ax2bx ca 二 aa2c 二 C1C2b = ac a2Gb 二 a2 a2&2ax bx c = (a1X G)(a2X C2)CiC2例题讲

15、解1、分解因式：3x2 -11x 101 -23-5”(-6 ) + (-5 ) = -11-11x 10 = (x -2)(3x -5) 5x2 7x -6(2) 3x2 -7x 2分析:解：3x2分解因式：(1)x px q=x a bx ab 二 x ax b(3) 10x2 -17x 32(4) 一6y211y 103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1-16b8b+(-16b)= -8b8b(-16b)a 8b (-16b) = (a 8b)(a -16b)解：

16、a2 -8ab-128b2=a2分解因式(1) x2 - 3xy 2 y2m26mn 8n2(3) a2ab6b24、二次项系数不为1的多项式 例题讲解12x2 -7xy 6y2-2y-3y2(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x _2y)(2x _3y)x2y2 _3xy +2把xy看作一个整体1-2 _ -1)+(-2)= -3解：原式=(xy1)(xy-2)分解因式：(1) 15x2 7xy -4y22 2(2) a x - 6ax 8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式x3y2 -4x2(1)3x -3(3) x3 6x2 -27x(4)a2 _b2 _2b _12、计算下列

17、各题2 2 2 2(1) (4a -4a 1)(2a-1)(2) (a(3)分解因式 1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)n (n 为正整数) b2 - c2 - 2ab)“(a-b - c)3、解方程2 2 2(1) 16(x 1) =25(x-2)(2) (2x 3) =(2x 3)4、如果实数a工b，且必卫 =1，那么a+b的值等于10b+a b+12 2 2 2 2 2 2 2 21 -22 32 -42 52 -622009 -20102 2011 -201225、 +123 45 62009 20102011 201226、 若多项式x ax -12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写 出3个）7、先变形再求值（1）已知 2xy=l， xy=4，求 2x4