均值不等式含答案

1、课时作业15均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练531.已知X+ y= 1(x>0, y>0),则xy的最小值是()x yA . 15B. 6C. 60D. 1【答案】C【解析】53,门 + = 1> 215x y.xy，二 xy> 60,当且仅当3x= 5y时取等号.42 .函数 f(x) = x+ x + 3 在( =2上 ()zvA .无最大值，有最小值7B .无最大值，有最小值1C.有最大值7,有最小值1D .有最大值1,无最小值3取等号,=1,当且仅当一x【答案】D【解析】v x< 2,二 f(x) = x+4+ 3-A x)+紡+二f(x)

2、有最大值1,无最小值.143.已知两个正实数x, y满足x+ y= 4,则使不等式- + m恒x y成立的实数m的取值范围是【答案】OO【解析】x + y, 4 5 y x一 一 +尸 4 + 4 y4.求函数14+x yx2 + 7x + 10厶厶口 +y=x+1(x> 1)的最小值.+才+y> 4 5+2O 4.4x y 4； 4 4【分析】对于本题中的函数，可把x+ 1看成一个整体，然后将函数用X+ 1来表示，这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的所以y=x+ 1x+ 1形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】因为x> - 1,所以X+ 1>0.X2+ 7x+

3、10x+ 1 2+5 x+ 1 + 4=(x+1)+1+ 5> 2x + 1X+ 1 x：1+5=9即x= 1时，等号成立.x2 + 7x + 10当x= 1时，函数尸x + 1(x>- 1),取得最小值为9.2ax + bx+,【规律方法】 形如f(x) = mx+n(mz0, az0)或者g(x) =(mz 0,0)的函数，可以把 mx+n看成一个整体，设ax + bx+ mx+n=t，那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数.课后作业、选择题(每小题5分，共40分)11.设x>0,则y= 3 3x-的最大值是（）XA . 3C. 3-2 3A . 3B. 3 3

4、2C. 3 2 3D. 1【答案】 C1 1 / 1 【解析】 y= 3 3x x= 3 （3x + 】）< 3 2 3x x=3 2 3.当且仅当3x=三，即x罟时取“ = ”.2.下列结论正确的是（）1A .当 x>0 且 xm 1 时，Igx+jgx2B.1C.当x>2时，x+-的最小值为2x1D .当0<xW 2时，x x无最大值【答案】 B【解析】 A中，当x>0且xm 1时，Igx的正负不确定，二Igx1115+ jgx2 或 lgx + |gx< 2； C 中，当 X2 时，（x+ x）min = 2； D 中当1130<x< 2

5、时，y= x x在（0,2上递增，（X x）max = 2.13.如果 a, b 满足 0<a<b, a+ b= 1,则2，a,2ab, a2+ b2 中值最大的是（）D. a2+ b2C. 2ab【答案】D【解析】方法一：t 0<avb,. 1 = a + b>2a,.a<2,又 a 12_ a b+ b c<a c + b2> 2ab,最大数一定不是a和2ab,又 a2 + b2= (a+ b)2 2ab= 1 2ab,1t 1 = a+ b>2 ab,. ab<4，11 1 1 2ab>1 2= £ 即 a2+ b2&

6、gt;*方法二：特值检验法：取a= 1, b = |,则2ab=4, a2 + b2=9,5 14 121 2 曰 i *t 9>2>9>3，A a2 + b2 最大.4.已知a>b>c>0，则下列不等式成立的是（A.1 1 2ab + bc>acC.1a b1b c2a cD.a b +2a c【答案】A【解析】t a>b>c>0,b c-a b>0, b c>0, a c>0,- (a c)1 1 1 bb c j(1 1 ” b) +(b c)齢 + 玉小 b c a b2+ ab + bCb c a b ,=

7、 4a b b c1142+>>ab b c a c a c5.F列函数中，最小值为4的是（f(x) = x+ 4x2 + 5 f(x)= 2x2 +4f(x)=孑 + 4X 3 xf(x)= lgx+ logx10【答案】【解析】能取等号，A、D选项中，X2+ 5 f(x) = 2X , x2 + 4 =不能保证两数为正，排除；B选项不2x + 4 + 1/22X M+T = 2X（E +d d肩+4）4,要取等号，必须寸x2+ 4=脅+4，即X2+ 4= 1,这是不可能的，排除.故选C.6.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托

8、盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量 分别为a, b（azb）,则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？（）B号;小A.*;大C. ab;大D.,ab;小【答案】 D【解析】设物体真实重量为m,天平左、右两臂长分别为li,I2,则ml i= al 2ml2= bh x得 m2lil2= ablil2二 m= aba + b jz, . . 口 f.a + b又> .ab且b,.等号不能取得，故 mv7.已知 x>0, y>0, x+2y+ 2xy= 8,贝S x+ 2y 的最小值是()A . 3B.

9、 4C.9D.112A.134B. 4【答案】 B【解析】-x+2y+ 2xy= 8,. y= 2x + 2>°,-1vxv8,8 x9/9二 x+ 2y= x+ 2k= (x+ 1) + x+1 2>2x+ 在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间 吩2上的最大值是 百2 =94,当且仅当x+ 1=-时“=”成立，此时x= 2, y= 1,故选B. x+ 11x + x+ 18 .在区间【2,2上，函数 f(x) = X2 + bx+ c(b、c R)与 g(x) = x【答案】B【解析】x2 + x+ 11Tg(x)=x = x+x+ 1>3,当 x= 1

10、时取等号,即当x= 1时取最小值3,二f(x)的对称轴是x= 1,二b=- 2,将(1,3)1代入即得c= 4,二f(x) = x2 2x + 4,易得在【2，2上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)【答案】【解析】x2 + 22 a1.x2+ 1= x+ 1+ . x2 + 1> 2.9.比较大小:X2+ 2x2 + 12填“>”或 “W” ).110.当x>1时，不等式x+>a恒成立，则实数a的取值范x 1围是.【答案】(=,3【解析】, 1 x>1 , x+>0,x 1，1 一 1要使 x+> a 恒成立，设 f(x) = x+(x

11、>1)，则 a< f(x)min 对x 1x 1x>1恒成立.又 f(x) = x+丄=x 1+亠+ 1>2 x 1 x 且仅当x 1=-即x= 2时取“=”.x 1-aW 3.三、解答题(每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设 x, y R+ ,且 x+y+ xy=2, 彳+ 1= 3,当x 1x 1x 1(1) 求x + y的取值范围;(2) 求xy的取值范围.【解析】(1)2 = x+ y+ xy< x+ y+ (X-+y)2,当且仅当x= y时取“ = ”. (x + y)2+ 4(x+y) 8> 0.(x +

12、 y)+ 22> 12. x + y>0, x + y + 2 A；J12. x+ yA2 3 2,当且仅当 x= y= 3 1 时取“ = ”.故x+y的取值范围是2 3 2,+乂 ).(2)2 = x+y+ xy> 2 , xy+ xy,当且仅当 x= y= 3 1 时取“=” ( ,xy)2 + 2 xy< 2.二(xy+ 1)2< 3.又 x、y>0,. xy + 1>0.二 xy + 1W 3. 0< xy< 3 1. 0<xy<4 2 3，即 xy 的取值范围是(0,4 2 3.12 .某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一 年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用 比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1) 问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2) 问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则n(n 1)y= 50n 98 12 Xn+2 x 4=2n2+ 40n 98=2( n 10)2 + 102捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.年平均利润为n=- 2 n +半一20(/ 49、<-