培优训练之直线与圆位置关系、切线-专题

1、太学教育：志存高远思于广博数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！求知热线：2816663直线与圆的位置关系、切线培优训练参考答案与试题解析一 选择题（共12小题）I的距离为d，那么d与R的大1.（ 2013?杨浦区二模）0 O的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线 小关系是（B ）A d眾B d眾C d>RD dvR考点：直线与圆的位置关系.专题：探究型.分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可.解答：解：直线I与O O有公共点，直线与圆相切或相交，即d眾.故选B.点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设OO的半径为r,圆心O到直线I的距离为d，当d

2、 v r时，直线1和O O相交；当d=r时，直线1和O O相切；当d> r 时，直线1和O O相离.2. （2014?嘉定区一模）已知O O的半径长为2cm,如果直线I上有一点P满足PO=2cm那么直线I与O O的位置关 系是（D ）A相切B相交C相离或相切Di相切或相交考点：直线与圆的位置关系.分析：情况讨O与圆的位置关系来直线 判断直线和离的位置关系分直线直于直线I I和OOO；相交直直线r 1;两直解答：解：当OP垂直于直线I时，即圆心 O到直线I的距离d=2=r ,O O与1相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心 O到直线I的距离d v 2=r ,O O与直线1相交. 故直线1与

3、OO的位置关系是相切或相交.故选D.点评：本题考查直线与圆的位置关系.解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.3. （2013?宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3,- 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D）A r > 4B 0v r v 6C 4W v 6D 4v r v 6考点：直线与圆的位置关系.专题：压轴题.分析：根据题意可知，本题其实是利用圆与直线 y=1和直线y= - 1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围.

4、解答：解：根据题意可知到 x轴所在直线的距离等于 1的点的集合分别是直线 y 1和直线y - 1,若以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到 x轴所在直线的距离等于 1,点评:那么该圆与直线y= - 1必须是相交的关系，与直线 y=1必须是相离的关系， 所以r的取值范围是| - 5| - | - 1| v r v| - 5|+1，即 4v r v 6.故选D.解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系.看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y= - 1之间的位置关系来求得半径r的取值范围.4.（2014?张家港市模拟）如图，OO与Rt ABC的斜边AB相切于

5、点D,与直角边 AC相交于点E,且DE/BC已知D BAE=2 二 AC=3 二 BC=6 则O O 的半径是（D ）A3B4C4V3D2佃考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；射影定理.专题：压轴题.分析：延长EC交圆于点F，连接DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径根据射影定理先求直径，再得半径.解答：解：延长EC交圆于点F，连接DF.则根据90。的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径. DE/ BC, ADE ABC.DE AE.则 de=4BC'AC在直角 ADF中，根据射影定理，得EF卫=4徒.AE根据勾股定理，得 DF+1G=3，则圆

6、的半径是2近. 故选D.ADR点评：此题要能够通过作辅助线，把直径构造到直角三角形中.熟练运用相似三角形的性质、圆周角定理的推论以及射影定理和勾股定理.5. （2013?青岛）直线I与半径为r的O O相交，且点O到直线I的距离为6，贝U r的取值范围是（C）Ar v 6Br=6Cr > 6Dr为考点：直线与圆的位置关系.专题：探究型.分析:解答:点评:直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可. 解：直线I与半径为r的O 0相交，且点0到直线I的距离d=6, r >6.故选C.本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.直线I和O 0

7、相交？ dvr6. （2013?徐汇区二模）在 ABC中，AB=AC=2 / A=150°,那么半径长为 1的O B和直线AC的位置关系是（ B） A相离B相切C相交D无法确定考点：直线与圆的位置关系.分析：过B作BD丄AC交CA的延长线于D,求出BD,和O B的半径比较，即可得出答案.第3页共12页解：过B作BD丄AC交CA的延长线于 D,/ BAC=150，/ DAB=30， BD= AB= X2=1，2 2即B到直线AC的距离等于O B的半径，半径长为1的O B和直线AC的位置关系是相切， 故选B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的推理能力.7. （201

8、4?天津）如图，AB是O O的弦，AC是O O的切线，A为切点，BC经过圆心.若/ B=25°则/ C的大小等于(C)考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系.专题：几何图形问题.分析：连接OA根据切线的性质，即可求得/C的度数.解答：解：如图，连接OA AC是O O的切线，/ OAC=90，太学教育：志存高远 思于广博锲而不舍，方能水滴石穿！数学专用资料求知热线：2816663/ OA=OB/ B=Z OAB=25,/ AOC=50,/ C=40°.故选：C.点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切占八、8 （2014?无锡）

9、如图，AB是O O的直径，CD是OO的切线，切点为 D, CD与AB的延长线交于点 C,Z A=30°.给出 下面3个结论：AD=CDBD=BCAB=2BC其中正确结论的个数是（ A ）A3B2C1D0第5页共12页考点：切线的性质.专题：几何图形问题.分析：连接OD CD是O O的切线，可得 CD丄OD由/ A=30° °可以得出/ ABD=60 , ODB是等边三角形，/ C=Z BDC=30 ,再结合在直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论 成立.解答:解：如图，连接ODCD是O O的切线， CDL OD/ ODC=90 ,又

10、A=30° °/ ABD=60 , OBD是等边三角形，/ DOB2 ABD=60 ° AB=2OB=2OD=2BD/ C=Z BDC=30 ° BD=BC成立； AB=2BC成立；/ A=Z C, DA=DC成立；综上所述，均成立，故答案选：A.点评：本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键.太学教育：志存高远思于广博数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！求知热线：28166639. （2014湄山）如图，AB AC是O O的两条弦，/ BAC=25,过点C的切线与OB的延长线交于点 D,则/ D的度数D第7

11、页共12页A25°B30°C35 °40°考点：切线的性质.专题：几何图形问题.分析：连接OC根据切线的性质求出/ OCD=90,再由圆周角定理求出/ COD勺度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.解答：解：连接OCCD是O O的切线，点 C是切点，/ OCD=90. / BAC=25，/ COD=50，/ D=180°- 90° - 50°=40°.点评：本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键.10. （2014?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A B均在函数 沪 （k>

12、; 0，x> 0）的图象上，O A与x轴相切,xO B与y轴相切.若点B的坐标为（1，6），O A的半径是O B的半径的2倍，则点A的坐标为（C ）toAOXA（2，2）B（2，3）C（3, 2）D（4冷考点：切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征.专题：数形结合.分析：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据O B与y轴相切，即可求得O B的半径，则OA的半径即可求得，即得到 B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标.解答：解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，则函数的解析式是：y更，X/ B的坐标为（1，6），O B与y轴相切，O B的半径是1，则O A

13、是2，把y=2代入y=§得：x=3，X则A的坐标是（3，2）.故选：C.点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径.11. （2014?海口一模）如图， AB是O O的直径，PA切O O于点A, P0交O O于点C,连结BC若/ P=36°则/ B等30°C 36D 54考点：切线的性质.分析：由AB是OO的直径，PA切O 0于点A,Z P=36°可求得/ POA的度数，又由圆周角定理，可求得 /B的度数，根据等边对等角的性质，即可求得答案.解答：解： AB是O 0的直径，PA切O 0于点A, OAL PA,即

14、/ PA0=9C°，/ P=36°/ P0A=9C° -Z P=54°/ B= Z P0A=27，2/ 0C=0B Z BC0Z B=27°故选A.点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质注意掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键.12. （2014?内江）如图，Rt ABC中，/ ACB=9C°, AC=4, BC=6以斜边 AB上的一点 0为圆心所作的半圆分别与 AC| A 2.5| B 1.6BC相切于点 D E，则AD%（ B）| C| 1.5太学教育：志存高远思于广博数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！求知

15、热线：2816663考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.专题：几何图形问题.分析：连接OD OE先设AD=x再证明四边形 ODCE是矩形，可得出OD=CE OE=CD从而得出CD=CE=4 -x, BE=6-（ 4 - x）,可证明 AO» OBE再由比例式得出 AD的长即可.解答：解：连接OD OE设 AD=x,半圆分别与 AC BC相切，/ CDOM CEO=90,/ C=90°,四边形ODCE1矩形， OD=CE OE=CD又 OD=OE CD=CE= x， BE=6-( 4 - x) =x+2， / AOD丄 A=90°，/ AOD# BOE=90，

16、 / A=Z BOE AO» OBE AD _0DOE BE ¥、 = 4 - i:4 _ x x+2 ' 解得x=1.6， 故选：B.CA 0B点评：本题考查了切线的性质相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通 过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关冋题.二填空题（共5小题）213、（2014?西宁）0 O的半径为R,点O到直线I的距离为d, R d是方程x - 4x+m=0的两根，当直线I与O O相 切时，m的值为 4考点：直线与圆的位置关系；根的判别式.专题：判别式法.分析：先根据切线的性质得出方程有且只有

17、一个根，再根据 =0即可求出m的值.解答：解： d、R是方程x2- 4x+m=0的两个根，且直线 L与O O相切， d=R,方程有两个相等的实根， =16 - 4m=Q解得，m=4, 故答案为：4.点评：本题考查的是切线的性质及一兀二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键.第9页共12页太学教育：志存高远思于广博数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！求知热线：281666314、.（2014?雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线 y=x+ :与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切 .考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质.专题： 分析：几何图形问题.首先求得直线与坐标

18、轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系求解.解答：解：令y=x+7=0，解得：x=-讥，令x=0,解得：y2,所以直线y=x+近与x轴交于点（- 迈，0）,与y轴交于点（0，近）, 设圆心到直线y=x+#W的距离为d,则 d<V2=1,2圆的半径r=1 , d=r,直线y=x+伍与以0点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切.点评：本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简单.考点： 分析:解答:15、. （2014?松江区三模）已知在 ABC中，AB=AC=13 BC=10,点D、E分别是 AB AC的中点

19、，那么以点 D为圆心, DE为半径的圆与直线 BC的位置关系是相离.直线与圆的位置关系.过点A作AF丄BC于点F,根据勾股定理求出 AF的长，再由点 D E分别是AB AC的中点得出 。丘是厶ABC的中位线，故可得出 DE即GF的长，由此可得出结论.解：过点 A作AF丄BC于点F,/ AB=AC=13 BC=10, BF= BC=52 AF= .!'.：'"12.点D、E分别是AB AC的中点，。丘是厶ABC的中位线， DE= BC=5 GF= AF=6,2 2/ 5 v 6, O D与直线BC的位置关系是相离. 故答案为：相离.第15页共12页点评:考查了等腰三角形

20、的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点 D到直线AC的距离.16、（2012?路北区一模）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为 4cm,若大圆的弦 AB与小圆有两个公共点，贝U AB的取值范围是6v ABW0 .考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理.分析：此题可以首先计算出当 AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得 AB=2 一 =6 .则若大圆的弦 AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB> 6;又大圆最长的弦是直径 10，则6v ABIO.解答：解：当AB与小圆相切，大圆半径为5cm,小圆的半径为4c

21、m, AB=2 =6cm大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交， 6 v AB<10.点评：此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长.综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理.17. （2014?自贡）一个边长为 4cm的等边三角形 ABC与O O等高，如图放置，O O与BC相切于点0,0 0与AC相交考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理.专题：几何图形问题.分析：连接0C并过点0作OF! CE于F，根据等边三角形的性质， 等边三角形的高等于底边的 並倍.已2知边长为4cm的等边三角形 ABC与O 0等高，说明O 0的半径为 诟，即OC，又/ ACB=

22、6C°， 故有/ 0CF=30,在Rt 0FC中，可得出FC的长，禾U用垂径定理即可得出CE的长.解答：解：连接0C并过点0作0F丄CE于F， 且厶ABC为等边三角形，边长为 4， 故高为2忑，即0C丽，又/ ACB=60,故有/ 0CF=30，在 Rt 0FC中，可得 FC=0Qcos30 °=-，2OF过圆心，且 OF丄CE根据垂径定理易知 CE=2FC=3 故答案为：3.三解答题(共2小题)18、(2014?犍为县一模)如图在 Rt ABC中，/ C=90°,点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与 AG AB,分 别交于点D E，且/ CBD=/ A;

23、(1) 判断直线BD与O O的位置关系，并证明你的结论；(2) 若 AD AO=6 5，BC=2 求 BD的长.考点：直线与圆的位置关系；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质.分析：(1) 结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D,连接圆心 O和点D (即为半径)，再证垂直 即可；(2) 通过作辅助线，根据已知条件求出/CBD的度数，在Rt BCD中求解即可.解答：解：（1）直线BD与O O相切.（1分） 证明：如图，连接 OD/ OA=OD/ A=Z ADO/ C=90°，/ CBD+Z CDB=90又/ CBD=/ A/ ADO+/ CDB=90/ ODB=90直线BD与O O相切.（2分）（2）解法一：如图，连接 DE./ AE是O O的直径，/ ADE=90/ AD AO=6 5 cosA=AD: AE=3: 5 （3 分）/ C=90°，Z CBD2 Acos / CBD=BC BD=3: 5 （4 分）BC=2, BD卫；3解法二：如图，过点 O作OHL AD于点H. AH=DH=A