2022届高三数学一轮复习（原卷版）第9讲　函数模型及其应用

1、 第 9 讲 函数模型及其应用 一、知识梳理 1几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1，b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 幂函数模型 f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n0) 2.三种函数模型性质比较 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

2、 图象的变化 随 x 值增大， 图象与 y轴接近平行 随 x 值增大， 图象与 x轴接近平行 随 n 值变化而不同 常用结论 “对勾”函数 f(x)xax(a0)的性质 (1)该函数在(， a和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0， a 上单调递减 (2)当 x0 时，x a时取最小值 2 a； 当 x0 时，x a时取最大值2 a. 二、教材衍化 1在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) ay2x byx21 cy2x2 dylog2x

3、解析：选 d根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 a；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 b，c；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) a收入最高值与收入最低值的比是 31 b结余最高的月份是 7 月 c1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 d前 6 个月的平均收入为 40 万元 解析： 选 d 由题图可知， 收入最高值为 90 万元， 收入最低值为 30 万元， 其比是 31，故 a 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)

4、，故 b 正确；由题图可知， 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同， 故 c 正确； 由题图可知，前 6 个月的平均收入为16(406030305060)45(万元)，故 d 错误 3用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_ 解析：设隔墙的长度为 x(0 x1)的增长速度会超过并远远大于 yx(0)的增长速度( ) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题( ) 答案：(1) (2) (3) 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模

5、型出错 1 某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过 100 km， 票价是 0.5 元/km，如果超过100 km， 超过100 km的部分按0.4元/km定价， 则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_ 解析：由题意可得 y0.5x，0100. 答案：y0.5x，0100 2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 c(x)12x22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件 解析：设利润为 l(x)，则利润 l(x)20 xc(x) 12(x18)2142，当

6、 x18 时，l(x)有最大值 答案：18 考点一 用函数图象刻画变化过程(基础型) 复习指导| 能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述 核心素养：数学建模 1(2020 广州市综合检测(一)如图，一高为 h 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 t. 若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf(t)的图象大致是( ) 解析：选 b水位由高变低，排除 c，d半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选 b 2汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速

7、度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( ) a消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 b以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 c甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 d某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选 d根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 a 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 b 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8

8、升汽油，故选项 c 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 d 对 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案 考点二 函数模型的选择(应用型) 复习指导| 会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 核心素养：数学建模、数学运算 某新型企业为获

9、得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于 10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润 y(百万元)与年投资成本 x(百万元)变化的一组数据： 年份 2008 2009 2010 2011 投资成本 x 3 5 9 17 年利润 y 1 2 3 4 给出以下 3 个函数模型： ykxb(k0)； yabx(a0， b0， 且 b1)； yloga(xb)(a0，且 a1) (1)选择一个恰当的函数模型来描述 x，y 之间的关系； (2)试判断该企业年利润超过 6 百万元时，该企业是否要考虑转型 【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入 ykxb(k0)， 得13kb，25

10、kb，解得k12，b12， 所以 y12x12. 当 x9 时，y4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入 yabx(a0，b0，且 b1)， 得1ab3，2ab5，解得a24，b 2，所以 y24 ( 2)x2x32. 当 x9 时，y29328，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入 yloga(xb)(a0，且 a1)， 得1loga（3b），2loga（5b），解得a2，b1，所以 ylog2(x1) 当 x9 时，ylog283； 当 x17 时，ylog2164.故可用来描述 x，y 之间的关系 (2)令 log2(x1)6，则 x65. 因为年利润66510%，所以该企

11、业要考虑转型 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择 (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时， 可以选用二次函数模型 yax2bxc(a，b，c 均为常数，a0) (3)对数函数(底数大于 1 时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于 1 时)增长越来越快 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本 q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 时间 t 60 100 180 种植成本 q 116 84 116 根据上表数据， 从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 q 与上市时间

12、t 的变化关系： qatb，qat2btc，qa bt，qa logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_； (2)最低种植成本是_元/100 kg. 解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t60 和 t180 时种植成本相等， 再结合题中给出的四种函数关系可知， 种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数 qat2btc，即 qa(t120)2m 描述，将表中数据代入可得 a（60120）2m116，a（100120）2m84，解得a0.01，m80， 所以 q0.01(t120)280， 故当上市天数为 120 时， 种植成本取到最低值

13、80 元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80 考点三 构建函数模型解决实际问题(应用型) 复习指导| 了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用 核心素养：数学建模、数学运算 角度一 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 w(x)万元，在年产量不足 8 万件时， w(x)13x2x(万元) 在年产量不小于 8 万件时， w(x)6x100 x38(万元)每件产品售价为 5 元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售

14、完 (1)写出年利润 l(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元， 依题意得，当 0 x8 时， l(x)5x13x2x 313x24x3； 当 x8 时，l(x)5x6x100 x38 335x100 x. 所以 l(x)13x24x3，0 x8，35x100 x，x8. (2)当 0 x8 时，l(x)13(x6)29. 此时，当 x6 时，l(x)取得最大值 l(6)9 万元 当

15、 x8 时，l(x)35x100 x352 x100 x352015，当且仅当 x100 x时等号成立， 即 x10 时，l(x)取得最大值 15 万元 因为 915，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为 15 万元 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型 (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解 (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 即： 提醒 (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 (2)利用模型 f(x)axb

16、x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件 角度二 构建指数、对数函数模型 (1)(2020 广西桂林一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变若该物质余下质量不超过原有的 1%，则至少需要的年数是( ) a6 b5 c4 d3 (2)里氏震级 m 的计算公式为：mlg alg a0，其中 a 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，a0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的_倍 【解析】 (1)设这种放射性物质最初的质量为 1，经过

17、 x(xn)年后，剩余量是 y.则有y14x，依题意得14x1100，整理得 22x100，解得 x4，所以至少需要的年数是 4，故选 c (2)mlg 1 000lg 0.0013(3)6. 设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 a1， a2， 则 9lg a1lg a0lg a1a0，则a1a0109， 5lg a2lg a0lg a2a0，则a2a0105，所以a1a2104. 即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍 【答案】 (1)c (2)6 10 000 指数型、对数型函数模型 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长

18、率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为 yn(1p)x(其中 n 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解 (2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义 1某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为1.8 元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元，求该养殖场_天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 解析：设该养殖场 x(x

19、n*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为 y 元 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 2000.036(元)，所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x1)6(x2)63x23x(元)从而有 y1x(3x23x300)2001.8300 x3x357417，当且仅当300 x3x，即 x10 时，y 有最小值故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 答案：10 2某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13， 至少应过滤_次才能达到市场要求 (已知 lg 20.301

20、0，lg 30.477 1) 解析：设至少过滤 n 次才能达到市场需求， 则 2%113n0.1%，即23n120， 所以 nlg 231lg 2，所以 n7.39， 所以 n8. 答案：8 3据气象中心观察和预测：发生于沿海 m 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 oc 上一点 t(t，0)作横轴的垂线 l，梯形oabc 在直线 l 左侧部分的面积即为时间 t(h)内台风所经过的路程 s(km) (1)当 t4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 n 城位于 m 地正南方向，且距 m

21、 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 n 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 n 城？如果不会，请说明理由 解：(1)由题图可知，直线 oa 的方程是 v3t，直线 bc 的方程是 v2t70. 当 t4 时，v12，所以 s1241224. (2)当 0t10 时，s12t3t32t2； 当 10t20 时，s121030(t10)3030t150； 当 20t35 时，s15030012(t20)(2t7030)t270t550. 综上可知，s 随 t 变化的规律是 s32t2，t0，10，30t150，t（10，20，t270t550，t（20，35. (3)当 t0，

22、10时，smax32102150650， 当 t(10，20时，smax3020150450650， 当 t(20，35时，令t270t550650，解得 t30 或 t40(舍去)，即在台风发生30 小时后将侵袭到 n 城 基础题组练 1某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销 售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) ay100 x by50 x250 x100 cy502x dy100log2x100 解析：选 c根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函

23、数模型，代入数据验证即可得故选 c 2已知正方形 abcd 的边长为 4，动点 p 从 b 点开始沿折线 bcda 向 a 点运动设点p 运动的路程为 x，abp 的面积为 s，则函数 sf(x)的图象是( ) 解析：选 d依题意知当 0 x4 时，f(x)2x；当 4x8 时，f(x)8；当 80)，则 y1mx.当 x10 时，y1m102，所以 m20.因为每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为 n(n0)，则y2nx.当 x10 时，y210n8，所以 n45.所以两项费用之和为 yy1y220 x4x5220 x4x58，当且仅当20 x4x5，即 x5

24、 时取等号所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 千米处故选 a 4某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入若该高校 2017 年全年投入科研经费 1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2 000 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( ) a2020 年 b2021 年 c2022 年 d2023 年 解析：选 b若 2018 年是第一年，则第 n(nn)年科研费为 1 3001.12n，由 1 3001.12n2 000，可得 lg 1.3n lg 1.1

25、2lg 2，得 n0.050.19，n3.8，n4，即 4 年后，到 2021 年科研经费超过 2 000 万元故选 b 5(2019 高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lge1e2，其中星等为 mk的星的亮度为 ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) a 1010.1 b 10.1 c lg 10.1 d 1010.1 解析：选 a根据题意，设太阳的星等与亮度分别为 m1与 e1，天狼星的星等与亮度分别为 m2与 e2，则由已知条件可知 m126.7，m21.45，根据

26、两颗星的星等与亮度满足m2m152lg e1e2， 把 m1与 m2的值分别代入上式得， 1.45(26.7)52lge1e2， 得 lg e1e210.1，所以e1e21010.1，故选 a 6某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2019 年 5 月 1 日 12 35 000 2019 年 5 月 15 日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为_升 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，

27、而行驶的路程为 35 60035 000600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48 68(升) 答案：8 7李冶(11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池的直径和方田的边长分别是_步和_步(注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算) 解析：设圆池的半径为 r 步，则方田的边长为(2r40)步，由

28、题意，得(2r40)23r213.75240，解得 r10 或 r170(舍)，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步 答案：20 60 8一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xn*)件当 x20 时，年销售总收入为(33xx2)万元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资) 解析：当 0 x20 时，y(33xx2)x100 x232

29、x100；当 x20 时，y260100 x160 x. 故 yx232x100，0 x20，160 x，x20(xn*) 当 0 x20 时，yx232x100(x16)2156，x16 时，ymax156.而当 x20时，160 x140，故当 x16 时取得最大年利润 答案：yx232x100，0 x20，160 x，x20(xn*) 16 9.如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 ae4 米，cd6米为了合理利用这块钢板，在五边形 abcde 内截取一个矩形 bnpm，使点 p 在边 de 上 (1)设 mpx 米，pny 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函

30、数的解析式及定义域； (2)求矩形 bnpm 面积的最大值 解：(1)作 pqaf 于点 q，所以 pq8y，eqx4， 在edf 中，eqpqeffd，所以x48y42，所以 y12x10，定义域为x|4x8 (2)设矩形 bnpm 的面积为 s，则 s(x)xyx10 x2 12(x10)250，所以 s(x)是关于 x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为 x10，所以当 x4，8时，s(x)单调递增，所以当 x8 时，矩形 bnpm 面积取得最大值 48 平方米 10某公司对营销人员有如下规定：年销售额 x(单位：万元)在 8 万元以下，没有奖金； 年销售额 x(单位：万元)，x8，64

31、时，奖金为 y 万元，且 ylogax，y3，6，且 年销售额越大，奖金越多； 年销售额超过 64 万元，按年销售额的 10%发奖金 (1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式； (2)若某营销人员争取奖金 y4，10(单位：万元)，则年销售额 x(单位：万元)在什么范围内？ 解：(1)依题意，ylogax 在 x8，64上为增函数，所以loga83，loga646，解得 a2，所以y0，0 x64. (2)易知 x8，当 8x64 时，要使 y4，10，则 4log2x10，解得 16x1 024，所以 16x64；当 x64 时，要使 y4，10，则 40 x100，所以 64x100.综上

32、所述，当年销售额 x16，100时，奖金 y4，10 综合题组练 1(创新型)我们定义函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 yx(x表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4.35，55.某停车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元，以此类推若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) a2x1 b2(x1) c2x d2x 解析：选 c如 x1 时，应付费 2 元， 此时 2x14，2(x1)4，排除 a，b；当 x0.5 时，付

33、费为 2 元，此时2x1，排除 d，故选 c 2素数也叫质数，法国数学家马林 梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数 已知第 20 个梅森素数为 p24 4231，第19个梅森素数为q24 2531， 则下列各数中与pq最接近的数为(参考数据： lg 20.3)( ) a1045 b1051 c1056 d1059 解析： 选 b 由题知pq24 423124 25312170.令 2170k， 则 lg 2170lg k， 所以 170lg 2lg k 又lg 20.3，所以 51lg k，即 k1051，所以与pq最接近的数为 1051.故选 b 3某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(恒温单位：)满足函数关系 t(x) 64，x0，2kx6，x0，且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时 该食品在 8 的保鲜时间是_小时； 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日 13 时，甲所购买的食品_保鲜时间(填“过了”或“没过”) 解析：因为食品在 4 的保鲜时间是 16 小时，所以 24k616，解得 k12. 所以 t(8)2464. 由图象可知在 11 时之前，温度已