2019-2020年高中数学2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4

1、2019-2020年高中数学233平面向量的坐标运算 234平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4一、教学分析1. 前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2. 本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律3. 引进向量的坐标表示后 ，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通

2、过坐标来研究呢 ？前面已经找出两个向量共线的条件（如果存在实数入，使得a=入b，那么a与b共线），本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来 ，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐

3、标表示的理解及运算的准确.四、教学设想（一）导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直 线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A、B不同时为零）何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量 a，过定点O作向量=a，则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定. 如果以定点O为原点建立平面直角坐标系 ，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标 来表示，这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上，向量的坐标表示，实际是向

4、量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题 我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=（x 1，y 1），b=（X2，y2），你能得出a+b，a-b，入a的坐标表示吗？ 如图1,已知A（X1，y 1），B（x 2，y 2），怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）的P点吗？标出点P后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表

5、示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：a+b=（xi i +yij ）+（x 2 i +y2j ）=（x 1+X2） i +（y i+y2）j ,即 a+b=（x i+X2,y i+y2）.同理 a- b=（x 1-x 2,y 1-y 2）.又 入 a =入（x 1 i +yij ）=入 xi i + 入 yij . 入 a=（入 xi,入 yi）.教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）;实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A

6、与坐标原点0重合，则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建立 了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式：11=11=、（兀-X2）2 （% -丫2）2 .教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获.讨论结果：能.=-=（x 2，y 2）-（x i，y i）=（x 2-x i，y 2-y 1）.结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标提出问题 如何用坐标表示两个共

7、线向量？ 若a=（x i，y 1），b=（x2，y 2），那么是向量a、b共线的什么条件？活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=（x i，y 1），b=（x 2，y 2），其中b* 0.我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数入，使a=入b.如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=入（x 2，y 2），即消去入后得X1y2-x 2y1=0.这就是说，当且仅当Xty2-X2y1=0时向量a、b（ b丰0）共线.又我们知道X1y2-x 2y1=0与X1y2=X2y1是等价的，但这与是不等价的.因为当X1=X2=0时，x 1y2-

8、x 2y1=0成立， 但均无意义.因此是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性 ，更简捷、实用， 让学生仔细体会这点.讨论结果：x 72-x 2y1=0时，向量a、b（ b丰0）共线.充分不必要条件.提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数入使得a=入b，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2），其中b* a，由 a= X b，（x 1，y 1）=入（x 2，y 2）消去 入，得 x”2-x 2y1=0.讨论结果:a / b（ b * 0）的充要条件是 X1y2-x2y1=0.教师应向学

9、生特别提醒感悟：1°消去入时不能两式相除，Ty 1、y2有可能为0，而b * 0，x 2> y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成（Tx 1、X2有可能为0）.3°从而向量共线的充要条件有两种形式：a/ b（b*0）(三) 应用示例思路1例 1 已知 a=(2,1), b=(-3,4), 求 a+b, a-b,3 a+4b 的坐标.活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的

10、坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1. (xx 海南高考,4) 已知平面向量 a=(1,1), b=(1,-1),则向量ab等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案：D2. (xx 全国高考,3) 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b()A.垂直

11、B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A0iX图2例2如图2,已知ABCD勺三个顶点 A、B C的坐标分别是(-2,1) 、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标.解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标 .解：方法一：如图2,设顶点D的坐标为(x,y). =( -1-(-2),3-1)=(

12、1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y). /顶点D的坐标为(2,2).方法二：如图2,由向量加法的平行四边形法则，可知BD 二 BA AD 二 BA BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点D的坐标为(2,2).点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4), 求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD寸，仿例二得：Di=(2,2);当平行四边形为ACDB寸

13、,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB寸,仿上得:D3=(-6,0).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5), 试判断A B、C三点之间的位置关系活动：教师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式解：在平面直角坐标系中作出A B、C三点，观察图形，我们猜想A B C三点共线下面给出证明- =(1 -(-1),3-(-1)=(2,4), =(2-(-1),5-(

14、-1)=(3,6),又2X6-3X 4=0, / ,且直线 AB 直线 AC有公共点 A, A B C三点共线点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的变式训练已知 a=(4,2), b=(6,y),且 a / b,求 L解： a / b, 4y- 2X 6=0. y=3.思路2例2设点P是线段PiP2上的一点，Pi、P2的坐标分别是(xi,yi)、(X2,y2)(1) 当点P是线段PiP2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.活动：教

15、师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当=入时，点P的坐标是什么？师生共同讨论,一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广 ，有学生可能提出如下推理方法：由=入,知(x-x i,y-y 1)=入(x2-x,y 2-y),L捲+扎x2*x =沖 x - Xi =(x2 x)1 +扎'即二彳、y=九W2 - y) L yiy = _-这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质时间允许的话，可以探索 入的取值符号对 p点位置的影响，也可鼓励学生课后探索F、解：(1)如图4,由向量的线性运算可知=(1+2)=().所以点P的坐标是()

16、 如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即=或 =2. 如果=,那么=+=+=+(-)=+=().即点P的坐标是().同理，如果=2,那么点P的坐标是点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式变式训练在AA BC中，已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标.解： 若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式，得 x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标

17、为(-3,-5)或(2,-7).例2已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限，求实数t的取值范围.活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是，将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解：由已知=(4,5)- (1,2)=(3,

18、3). =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t +1 v 021若点P在第二象限，则丿-戲+2>033故t的取值范围是(,).点评：此题通过向量的坐标运算，将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练已知=(cos 0 ,sin 0 ),=(1+sin0 ,1+cos 0 ),其中 0w B w n ,求| 的取值范围.解:v = -=(1+sin0 ,1+cos 0 )-(cos 0 ,sin 0 )=(1+sin 0 -cos 0 ,1+cos 0 -sin 0 ).2 2 2Il =(1+sin 0

19、 -cos 0 ) +(1+cos 0 -sin 0 )0 -cos 0 )2=1+(sin 0 -cos 0 门 + 1-(sin2=2+2(sin 0 -cos 0 )=2+2(1-2sin0 cos 0 )=4-4sin 0 cos 0 =4-2sin2 0 .TOW 0 < n，二 0W2 0W2 n .从而-1 w sin2 0W 1.4-2sin2 0 2,6 :.故|的取值范围是,（四）课堂小结1. 先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示.2. 教师与学生一起总结本节学习的数学方法 ，定义法、归纳、整理、概括的思想，强

20、调在今后的学习中要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础.（五）作业2019-2020年高中数学2.3.3直线与圆的位置关系教案新人教B版必修2学习目标：1、知识与技能目标：掌握直线与圆的位置关系的判断和应用。2、过程与方法目标：（1 ）通过直线与圆的位置关系的探究与应用过程，体验数形结合、转化、函数、方程等数学思想来解决数学问题的方法，学会用代数方法解决几何问题的能力，感受坐标法在研究几何问题中的作用 。（2 ）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造历程，提高抽象概括，分析总结，数学表达等基本数学思维能力。3、情感、态度与价

21、值观目标：通过师生互动、生生互动的教学过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。重点和难点：重点：直线与圆的位置关系的判断和应用。难点：通过方程组来研究直线与圆的位置关系，以及求圆的的切线方程时关于直线斜率的讨论。教学过程1情境引入以生活中常见的具体实例 (月亮升起的过程) 演示直线与圆的位置关系， 并提出新的问 题。设计意图：让学生感受这个生活实例中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案. 通过实例的引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要 意义.2引出课题一一直线与圆的位置关

22、系问题：通过动画的演示并提出问题，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何定义？师生活动：引导学生回忆初中阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程.展示出直线与圆的位置关系的图形和定义，使问题更直观形象.(1) 直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切(2) 直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交(3) 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离设计意图：从已有的知识经验出发， 建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解，以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培 养学生养成良好的学习习惯.3. 构建新知在已有知识的基础上，通过

23、一组题目，让学生展开活动：如何判断直线与圆的位置关 系？能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？分组活动：1. 请判断直线x+ y-2=0与圆的位置关系2. 请判断直线x+ y 1=0与圆的位置关系3. 请判断直线x+ y 2=0与圆的位置关系师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表回答。设计意图：由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识， 探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间.问题：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“几何法”）请问用“几何法”的一般步骤如何？师生活动：

24、比较与的大小，确定直线与圆的位置关系. 当时，直线与圆相离； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相交.设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想.问题：前面我们已经学习了直线方程和圆的方程，还有没有其他方法研究直线与圆的位置关系吗？设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用.并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论.抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.师生活动：教师提出问题，引导学生得出：联立方程组，得到方程组的解的个数n我们有如下一些结论：直线与圆相离

25、; 直线与圆相切； 直线与圆相交.问题：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想.师生活动：教师引导学生分析、归纳：(1) 将直线方程与圆方程联立成方程组；(2) 通过消元，得到一个一元二次方程；(3) 求出其判别式的值；(4) 判断的符号：若厶> 0，则直线与圆相交；若厶=0，则直线与圆相切；若< 0，则直线与圆相离.4 典例剖析例1已知直线L： 3x+y-6=0和圆心为C的圆，判断直线 L与圆的位置关系；如果相交，求 它们交点的坐标。师生活动：学生思考、讨论，教师巡视指导，让学生完成用联立方程组的方法确定直线与圆的位置关系，并完成利用坐标法的三步曲总结这种方法。教师示范代数法，用展台展示学生的“几何法”做法。分析：方法一，判断直线与圆的位置关系， 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距