2019-2020年高中数学2.30《二次函数与一元二次方程》教案苏教版必修1

1、2019-2020年高中数学2.30二次函数与一元二次方程教案苏教版必修1【学习导航】知识网络 学习要求二次函数与一元二次方程二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系函数的零点函数的零点与对应方程的关系1 能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3 体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.自学评价1. 二次函数的零点的概念一元二次方程的根也称为二次函数（工0 ）的零点.2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程（工0 ）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次

2、函数（工0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（工0）有两个不同的零点，；（2） 一元二次方程（工0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（工 0）的图象与轴 有唯一的交点为（，0 ）对应的二次函数（工0 ）有两个相同零点=；（3） 一元二次方程（工 0）没有实数根判别式对应的二次函数（工0）的图象与轴没有交点 对应的二次函数（工0）没有零点.3. 推广函数的零点的概念一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.函数的零点与对应方程的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.【精典范例】例1 :求证：一元二次方程有两个不相等的实数根【解】证法1=一元二次方程有两个不相等的实数

3、根.证法2设，函数的图象是一条开口向上的抛物线，且f（0） =2 02 3 0 -7 - -7 ： 0 函数的图象与轴有两个不同的交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根.点评：例1还可用配方法将方程化为再证明.也可仿照证法2，由抛物线开口向上及来推证.例2:右图是一个二次函数的图象.(1) 写出这个二次函数的零点；(2) 写出这个二次函数的解析式；(3) 试比较，与的大小关系.【解】(1)由图象可知此函数的零点是:(2) 由(1)可设=.即这个二次函数的解析式为.(3) v,点评：例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想.例3:当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围:(1)

4、方程的两个根一个大于 2，另一个小于2;(2) 方程的两根都小于；(3) 方程x2 -(a 4)x -2a2 5a *3=0的两根都在区间上；(4) 方程7x2 -(a 13)x a2 - a - 2 =0的一个根在区间上，另一根在区间上；(5) 方程至少有一个实根小于.分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式(组)【解】(1)设f (x) =x2 -ax a2 -7 =0，其图象为开口向上的抛物线若要其与轴的两个交 点在点的两侧，只需，即,.当时，满足题意.方程两根都小于1，只要.: =9-16a2 _0耆1af(1) 043< 23< -5综上，方程的根都小

5、于12-(a 4)x -2a 5a - 3则方程两个根都在时,设f(x)?1p0f (3p0a +42a 3a -4-02a -a 0上等价于:2a亠4f(=)E026兰a兰2J3a-2)2 色0当时，设若要22(4)设f(x)=7x -(a 13)x a -a-2 ,则方程一个根在上，另一根在上等价于f 2ff(0)A0 a -a-2>0f(1) ：0 二 a2 _2a_8 ：0f(2) >0a2-3a>0：a £ 1或 a >2=-2 :. a : 4a : 0 或 a 3或.(5)设，若方程的两个实根都小于，则有a m -2 2或a _2 2-1 = a

6、 2a : 3I 2f(-1) 0I若方程的两个根一个大于，另一个小于1,则有,若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为,? 综上，方程至少有一实根小于时，点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考 查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查 形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在 此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解 决问题的能力.追踪训练一1.函数的最大值是，则(DA.B.C.D.2.设，则(B )A.B.C.D.3

7、.若关于的方程有一根在内，则4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是 【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系例4:已知，是方程()的两个实根，求的最大值和最小值.分析：一元二次方程与二次函数有很多内在联系要求的最值，首先要考虑根与系数的关系， 并由此得到以为自变量的的函数解析式.【解】因为方程x2 (k)x k2 3k 0()有两个实根，所以:=(2 -k)2 -4(k2 3k 5)，解得又,所以2 2=(k -2)-2(k2 3k 5)2 2-k -10k -6 - -(k 5)19 .而f k - -k，52,19! 4_k_-彳 是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值

8、.点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数 的单调性.追踪训练二1. 若方程在内恰有 一解，则的取值范围是(B )A.B.C.D.2已知，并且、是方程的两个根，则实数、的大小关系可能是( A )A.B.C. D.3. 不等式对一切实数都立，则的取值范围是.4. 已知二次函数和一次函数，其中，且，(1) 求证：两函数、的图象交于不同两点、；(2) 求线段在轴上投影长度的取值范围.答案：(1)T, ,.由得，因为.所以两函数、的图象必交于不同的两点；(2)设，则.，.(,).第30课二次函数与一元二次方程分层训练：1 函数的零点是( )A. , B.， C.

9、， D.不存在2关于的不等式的解集是，则等于()A.B.C.D.23.不等式(a -2)x2(a -2)x -4 ： 0对恒成立，则的取值范围是()A.B.C.D.4 .已知函数f (x) = x2 2(1 -m)x m2的图象在轴的上方，则实数的取值范围是.5. 已知函数.(1) 求函数的图象与轴的交点坐标，并结合图象指出当取何值时，函数值大于；(2) 设函数图象的顶点为，它与轴的交点为、，求的面积.26. 若函数f(x) =3x ，2(a-1)x在区间上是减函数，那么的取值范围是()A.B.C.D.7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.&已知实数、满

10、足，则的最大值是9. 已知函数，.(1) 若，求的最大值与最小值，并指出相应的的值；(2) 若恒成立，求的取值范围.拓展延伸10. 已知函数f (x)二 ax2 a2x 2b - a3(1) 当时，其值为正；时，其值为负，求的值及的表达式.k设 F(x) f(x) 4(k 1)x 2(6k -1)4当为何值时，函数的值恒为负值.11 已知二次函数（为常数，且）满足条件：且方程有等根（1）求的解析式；（2）是否存在实数、，使的定义域和值域分别为和，如果存在,求出、的值；如果不存在，说明理由2019-2020年高中数学2.32函数与方程小结与复习教案苏教版必修 1【学习导航】 学习要求1了解函数的

11、零点与方程根的关系；2. 根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3 体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式.自学评价1一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学 函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点我们要弄清楚它们之间的对应关系：一 元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解 也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标.2函数与方程两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图 象交点的横坐标.3. 二分法求方程的

12、近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点， 再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根按照以上方法 重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值.【精典范例】例1 :已知二次函数的图象经过点三点，（1）求的解析式；（2）求的零点；（3）比较，与的大小关系.分析：可设函数解析式为，将已知点的坐标代入方程解方程组求、.【解】（1）设函数解析式为，1 c = 一81 a = 1II由丿a +b + c = -5解得 b = 29a + 3b + c = 7c = -8(2) 令得或，零点是.(3)

13、 ,f (1)f (3) -9 7 二63 ：0,.点评：当二次函数的两个零点都在(或都不在)区间中时， ；有且只有一个零点在区间中时, 例2:利用计算器，求方程的近似解(精确到) .分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解.解法一：设，通过观察函数的草图得：方程有一根在内，设为，1 5 + 2又f( ) =f (1.75) = 0.4375 ：0,二，如此继续下去，得f (1) 0,f (2)%(1,2),f (1.5)0, f (2) ：0=(1.5,2),f (1.5)0, f(1.75) -0=(1.5,1.75)f (1.5)0, f (1.625) ：0= x(1.5

14、,1.625) f (1.5625) ： 0, f (1.625)0精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个 近似值为.点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号. 分析二：还可以用方程近似解的另一种方法一一“迭代法”来求解.解法二：将原方程写成取代入等式右边得，再将代入方程右边，得，如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在，.该方程的近似解为，精确到后为.用同样 的方法可以求出方程的另一个近似解为.点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法.例3:已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围. 分析：【解】(1)当时，与轴

15、的交点为，符合题意；(2)时，,时，的图象是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点的两侧；时，的图象是开口向上的抛物线，必须.：=(k- 3)k-3-4k _0，解得2k综上可得的取值范围为.追踪训练一1. 函数的图象与轴交点横坐标为（D ）A.B. C.或D.2. 已知则方程的解的个数是（A ）A.B.C. D.不确定3. 直线与曲线只有一个公共点，贝Uk的值为（A ）A. 0,B. 0,C.D. 0,4. 函数与轴交点坐标是,方程的根为或 5已知方程在区间中有且只有一解，则实数的取值范围为6已知函数过点，则方程的解为 .7求方程的近似解（精确到）. 答案：和2&判断方程x -（

16、2a2）x 2a 0 （其中）在区间内是否有解.答案：有解.第 32 课 函数与方程小结与复习分层训练1已知二次函数（）的对称轴是，则， ，的大小关系是（ ） ABCD 2在区间上有零点的函数是（）A B C D 3函数在区间上的最大值为，则的值为（）A 或B 或C .或D .或4已知不等式的解集为，则不等式的解集为 5. 已知一个二次函数，当时有最大值，它的图象截轴所得的线段为. （1）求该函数的解析式；（2）试证明方程有两个不等的实数根，且两根分别在区间和内； （ 3）求出该函数的零点.【解】6. 方程的实数根的个数为（ ）A.个 B.个 C.个 D.无穷多个7. 二次函数满足，且在上递增，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.CD8函数