第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析

1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统u变换域分析变换域分析就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号号 ，或者说，信号，或者说，信号 用完备的正交函数集来展用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。别就在于选取不同的正交完备集。u采用变换域分析的目的：采用变换域分析的目的：主要是简化分析。主要是简化分析。)(tf)(tf信号与系统信号与系统: : 以正弦函数或复指数函数作为基本信号以正弦函数或复指数函数作为基本信号; 系统零状态响应可表示为一组不同频

2、率的正弦函数或复系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分。指数函数信号响应的加权和或积分。 信号与系统信号与系统把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称的加权和，简称信号的信号的谱分析谱分析。用频谱分析的观点来分析系统，或称为用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统系统的的频域分析频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：(1) 频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2) 利

3、用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3) 连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。 (4) 简化了求解微分方程的过程简化了求解微分方程的过程信号与系统信号与系统 信号与系统信号与系统周期信号周期信号: 定义在区间定义在区间 ，每隔一定时间，每隔一定时间 T ，按，按相同规律重复变化的信号，如图所示相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为。它可表示为 f (t)=f

4、 ( t+mT )(,) 其中其中 m 为正整数，为正整数， T 称为信号的称为信号的周期周期，周期的倒数称为，周期的倒数称为频率频率。信号与系统信号与系统周期信号的周期信号的特点：特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为范围为 (,) 0( )()nf tf tnT0( )( )( )a Tb TTabf t dtf t dtf t dt0( )f t( )f t（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信号，则周期信号 可以写成可以写成（3）周期信号在

5、任意一个周期内的积分保持不变，即有）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有信号与系统信号与系统正交性正交性:（m 和和 n 都是整数）都是整数） 三角函数集三角函数集:在区间在区间 内是一完备正交函数集。内是一完备正交函数集。 ,sin , ,2sin ,sin , ,cos , ,2cos ,cos , 1000000tntttntt( ,)ttT00 T 200 0 2 0dcoscos0000nmTnmTnmttntmTttsinsinmtnt tmnTmnttT0000020d sincosmtnt tttT00000d信号与系统信号与系统正交性正交性:（m 和和 n 都是整数）

6、都是整数） 指数函数集指数函数集在区间在区间 内也是一完备正交函数集。内也是一完备正交函数集。( ,)ttT00 T 20 , 2 , 1 , 0(e0jntnnmTnmttTtttmnTtttmtn= 0dedee0000000)( jjj 信号与系统信号与系统式中各正、余弦函数的系数式中各正、余弦函数的系数 ，称为，称为傅立叶系数傅立叶系数。周期信号周期信号 ，周期为，周期为 ，角频率，角频率f t ( )T0022fT1000020102010sincos 2sinsin2coscos)(nnntnbtnaatbtbtataatfnnba ,1. 1. 该信号可以展开为下式该信号可以展开

7、为下式三角形式的傅立叶级数：三角形式的傅立叶级数： 信号与系统信号与系统根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取, 2 , 1dsin)(2, 2 , 1dcos)(2d)(1000000000nttntfTbnttntfTattfTaTttnTttnTtt( ,)0 T(,)TT22 或或 信号与系统信号与系统三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数两种形式之间系数有如下两种形式之间系数有如下关系关系:或或100cos)(nnntnAAtf0022n 1

8、, 2, arctgnnnnnAaAabnba aAaAnbAnnn001 2 cos,sinnnn 0001( )cossinnnnf taantbnt 还可以写成下面形式还可以写成下面形式信号与系统信号与系统其中其中直流分量：直流分量： 0A基波：基波：101cos()At二次谐波：二次谐波：202cos(2)At 依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。 周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量直流分量、基基 波分量波分量以及以及各次谐波分量各次谐波分量之和。之和。根据

9、前面的傅立叶系数公式知道：根据前面的傅立叶系数公式知道： 是是 n 的的偶偶函数，函数， 是是 n 的的奇奇函数。函数。 是是 n 的的偶偶函数，函数， 是是 n 的的奇奇函数。函数。nanbnAn 信号与系统信号与系统例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数叶级数解：直接代入公式有解：直接代入公式有0d)(100TttfTa 信号与系统信号与系统直接代入公式有直接代入公式有0)(sin12)sin(12 dcos) 1 (2dcos) 1(2dcos)(220000200200020220TTTTTTntnnTtnnTttnTttnTttntfT

10、a, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0)cos1 (2 )cos(12cos12dsin)(220000200220nnnnntnnTtnnTttntfTbTTTTn 信号与系统信号与系统所以有所以有f ttttnnt( )sinsinsinsin413315510000, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0nnnbn0na 信号与系统信号与系统式中式中 称为称为傅立叶系数傅立叶系数，是复数。，是复数。周期信号周期信号 ，周期为，周期为 ，角频率，角频率f t ( )T0022fTnFf tFnntn( ) ej0该信号可以展开为下式该信号可以展开为下

11、式复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数。 2,1, 0,= ,e )(122j -0ndttfTFTTtnn其中其中 信号与系统信号与系统 分量的频率是分量的频率是 ，而分量，而分量 的频率是的频率是 。除了直流分量除了直流分量 ，单独一个，单独一个 不能构成物理上一个谐波分量，不能构成物理上一个谐波分量，必须是对称的两个分量必须是对称的两个分量 和和 才构成物理上的一个谐波分才构成物理上的一个谐波分量。量。在三角形式的傅立叶级数中，系数在三角形式的傅立叶级数中，系数 中的中的下标变量取值下标变量取值范围范围为为 ，在复指数形式的傅立叶级数中，系数在复指数形式的傅立叶级数中，系数 中的

12、中的下标变量取值下标变量取值范围是范围是nFnnba ,0n(,) tnnF0je0ntnnF0-je0n0FtnnF0jetnnF0jetnnF0-je 信号与系统信号与系统两种形式傅立叶级数中两种形式傅立叶级数中系数的关系系数的关系:001(j)1,2,3,21(j)1,2,3,2nnnnnnFaFabnFabn 信号与系统信号与系统例：例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：解： 直接代入公式有直接代入公式有 2Sa=22sinde1de )(100022j -22j -00nTAnnTAtATttfTFtnTTtnn e )2S

13、a(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以所以 信号与系统信号与系统1.1.周期信号的频谱周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图频谱图的表示方法。的表示方法。在傅立叶分析中，把各个分量的幅度在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 或或 随频率或角频率随频率或角频率 的变化称为信号的的变化称为信号的幅度谱幅度谱。FnAn0n而把各个分量的相位而把各个分量的相位 或或 随频率或角频率随频率或角频率 的变化的变化称为信号的称为信号的相位谱

14、相位谱。0nnn幅度谱和相位谱通称为信号的幅度谱和相位谱通称为信号的频谱频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱双边谱。信号与系统信号与系统例例ttttFFFFFtAtAAtf0000j22j2-2j1j -102021010eeee= )cos()cos()(00AF FA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j -22e2AF 信号与系统信号与系统周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为周期矩形脉冲信号的傅立叶系数

15、为 频谱图：频谱图：20nTAFnSa若把相位为零的分量的幅度看作正值，若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为把相位为的分量的幅度看作负值，那的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱幅度谱相位谱相位谱 信号与系统信号与系统各条谱线顶点的联线称为各条谱线顶点的联线称为谱线包络线谱线包络线。如。如果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰称为称为主峰主峰。包含信号主要频谱分量包含信号主要频谱分量的的 这段频率范围称为这段频率范围称为矩形脉冲信号矩形

16、脉冲信号的的有效频带宽度有效频带宽度或或带宽带宽，即矩形脉冲的频带宽度为，即矩形脉冲的频带宽度为主峰高度主峰高度 包络主峰两侧第一个零点为包络主峰两侧第一个零点为FAT02202B或或1fB 信号与系统信号与系统(3) 收敛性收敛性谱线幅度随谱线幅度随 而衰减到零。各频谱的高度而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。线的高度也无限减小。n 周期信号频谱的周期信号频谱的特点特点：(1) 离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，因此称为谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱离散频谱；(2)

17、 谐波性谐波性谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； 信号与系统信号与系统典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱T：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度12T：三角函数公共周期第一步：首先展开为三角形式的傅立第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数叶级数f(t)是偶函数是偶函数bn=02222022)(2TAAdtTdttfTaTT 信号与系统信号与系统212sin2222( )cossin()TTnnAnAAnTf tn tdtSanTnTTTTTa第二步：展成指数形式傅立叶级数第二步：展成指数形式傅立叶级数112( )() cos()nAAnftSant

18、TTT)cos()2(2111tnnSaTATAn11221()2jntnnAAdtSaTTeF 11( )()2jntnnAf tSaTe 12:T公公共共周周期期sin()()tf tS tt信号与系统信号与系统当当 时时第三步：频谱分析第三步：频谱分析22122()()2nAAnSaSannnnTTTAaba nA与与之比值有关，取之比值有关，取 T1()()2nnAAnSaSaTTTF51TnF与与包络线均为包络线均为)2(1 nSa1 n为离散频率为离散频率n,.2,20)2(Sa即即n2,.4,20)2(SanA信号与系统信号与系统计算第一个振幅为零的谐波次数计算第一个振幅为零的谐

19、波次数n1 TA22412 13 14 15 An幅度频谱图幅度频谱图2431tttSasin)(抽样函数抽样函数234112222155nnTTTnT 令令 将将 代入得代入得即即 （取（取 ） 信号与系统信号与系统1nnnbtga0 an 0n0a122()2NjnnASannTAAeFn1()02nSa1()02nSa0Fn0Fn1）等效于在频域中扩展）等效于在频域中扩展 信号在时域中扩展（信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩。）等效于在频域中压缩。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。物理意义物理意义: :信号的波形压缩信号的波形

20、压缩 a 倍，则信号随时间变化加快倍，则信号随时间变化加快 a 倍，则倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱倍，即信号的频谱扩展扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。倍。信号与系统信号与系统信号与系统 )(2tf01t)(1tf12t20)(1jF2424)(2jF222四、尺度变换四、尺度变换性质信号与系统信号与系统信号与系统 信号与系统信号与系统信号与系统 ataFatatf0j -0e )(1)(如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：如果是尺度变换和时

21、移同时发生，则有下面性质：即即四、尺度变换四、尺度变换性质0000-j-ja( )()()1( )( )e()ettf tf ttf attFFFaa延时延时t0 尺度变换尺度变换a延时延时t0 尺度变换尺度变换a00-j( )()()11( )()()etaf tf atf attFFFaaaa尺度变换尺度变换a 延时延时t0/a尺度变换尺度变换a 延时延时t0/a或或信号与系统信号与系统信号与系统 若若 f (t) 是实函数是实函数五、共轭对称性五、共轭对称性 说明说明：对实时间信号，信号的傅立叶变换的：对实时间信号，信号的傅立叶变换的幅频幅频为为偶偶对称，对称，相频相频为为奇奇对称；对称

22、；实部实部为为偶偶对称，对称，虚部虚部为为奇奇对称。对称。( )()( )()( )()( )()HHRRXX -j()( )( )ed( )cosd( )sind( )( )( )tjFf ttf tt tjf tt tRjXHe ( )( )cosdRf tt t( )( )sindXf tt t 其中其中则则22( )( )( )( )( )arctan( )HRXXR 信号与系统信号与系统信号与系统 若若 f (t)为实偶函数，为实偶函数，即即 f (t) = f ( t) ，此时，此时 则则 F() R()必为必为 的实偶函数。的实偶函数。五、共轭对称性五、共轭对称性 其中其中 是是

23、 的复共轭。的复共轭。 ( )( )cosd0Rf tt t( )( )sind0Xf tt t )()(Ftf)()( Ftf)()(Ftf)(tf( )f t若若 f (t)为实奇函数为实奇函数，即即f (t) = f ( t) ，此时，此时则则 F() jX() 必为必为 的虚奇函数。的虚奇函数。对任意信号对任意信号 f (t) ，若，若f tF( )( )则有则有信号与系统信号与系统信号与系统 若若 ，则，则六、正反变换的对称性六、正反变换的对称性根据傅立叶反变换根据傅立叶反变换f tF( )( )F tf( )()2deFtftj)(21)(deFtftj)()(2即有即有-j2()

24、( )tftFed-j2()( )tfF t edt所以所以F tf( )()2得得亦即亦即证明证明:若若 为为实偶函数实偶函数，则，则)(tfF tf( )( ) 2信号与系统信号与系统信号与系统 六、正反变换的对称性六、正反变换的对称性说明说明: 若若 f (t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为 F() ，则形状为，则形状为 F()的波形对的波形对应傅立叶变换就是应傅立叶变换就是 2 f (t) 。若。若 f (t) 是实偶函数，则时域与频是实偶函数，则时域与频域完全对称。域完全对称。信号与系统信号与系统信号与系统 六、正反变换的对称性六、正反变换的对称性例例: : 求取样信号求取样信号 的频

25、谱。的频谱。)(Sa)(ttfcc解：解： 此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为由前面知道，高度为 E ，宽度为，宽度为 的对称矩形脉冲的频谱为的对称矩形脉冲的频谱为 根据傅立叶变换的对称性，有根据傅立叶变换的对称性，有( )()2FE Sa( )()2()2()2( )2tF tE SafE GE G上式中，令上式中，令 ，E=1，则有，则有c22()( )cccSatG信号与系统信号与系统低通滤波器低通滤波器2c信号与系统信号与系统, 1)(t )(

26、21)( tF例例t1即即t j2则则 ,j2)sgn( tF已知已知例例)sgn(2 )sgn(j 相移全通相移全通网络网络信号与系统信号与系统信号与系统 若若 七、时域卷积性质七、时域卷积性质)()(),()(2211FtfFtf由时移性质得由时移性质得f tftFF1212( )( )( )( )-j1212-j-j1212( )( )( )()( )()( )()d tttf tf tff tdedtff tdedtff tet d j -2j -2)()(eFdtetft所以所以-j-j122112( )( )( )( )( )( )fFedFfedFF证明：证明：则则即即ftftF

27、F1212( )( )( )( )信号与系统信号与系统信号与系统 八、频域卷积性质八、频域卷积性质)()(),()(2211FtfFtf令令 得得ft ftFF121212( )( )( )( )dduuFuFeFFt)()()21()()(2121j221)()()()()21( )()()21( )()()21()()(2121j1j2221jj221)+j(221tftfdueuFdxexFdxduxFuFeedxduxFuFeFFutxtutxttux若若 所以所以证明：证明：则则频域卷积也称频域卷积也称调制定理调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。，表示用信号去调制另一信号振幅。信

28、号与系统信号与系统求系统的响应。求系统的响应。 tf d j0j1dFFFft 将时域求响应，转化为频域求响应。将时域求响应，转化为频域求响应。 thtftg GFtgHFG1 应用用时域卷积定理求频谱密度函数。用时域卷积定理求频谱密度函数。 dtuf tutf 的傅里叶变换。的傅里叶变换。求求 tf d信号与系统信号与系统 2Sa22211 EFFtfF 。频谱密度函数频谱密度函数的的，求，求已知已知 FtftftfEtf 2Sa)(111 信号与系统信号与系统利用频域卷积定理求傅立叶变换利用频域卷积定理求傅立叶变换)(2cos)(2ttGtf的傅立叶变换的傅立叶变换)Sa(2*)2()2(

29、2121F ( )Fcos F( )22f ttG t)2Sa()2Sa(信号与系统信号与系统信号与系统 若若 , , 则则九、时域微分九、时域微分性质f tF( )( )证明：证明：由傅立叶反变换由傅立叶反变换两边对时间变量两边对时间变量 t 求导得求导得)()(FjdttdfdeFtftj)(21)(deFjdttdftj)(21)(推广：推广：对高阶导数情况，有对高阶导数情况，有)()()(Fjdttfdnn说明：说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。系统。信号与系统信号与系统信号与系统 若若 ， 则则十、时域积分十

30、、时域积分性质f tF( )( )证明：证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时域卷积性质有域卷积性质有如果如果 f (t) 的积分为零的积分为零，即，即)(1)()0()(FjFdfttFjFjFtutfdf)(1)()0(1)()()()()( 0)(df(0)0F)(1)(Fjdft则则所以有所以有信号与系统信号与系统信号与系统 解：解： f (t) 可表示为可表示为 十、时域积分十、时域积分性质例例：已知三角脉冲信号如图所示，已知三角脉冲信号如图所示， 求它的频谱求它的频谱 F()( )(1)()( )(1)(

31、)()ttf tu tu tu tu t( )11()( )( )()df tu tu tu tu tdt)(2)()(1)(22tttdttfd对其求一阶、二阶导数得对其求一阶、二阶导数得信号与系统信号与系统信号与系统 十、时域积分十、时域积分性质)2(Sa)()(22122 Fdttfd)2(Sa)2(sin421)()(222j -j122eeFdttfd图图(a)可以看作是可以看作是(c)积分两次得到，所以利用积分性质可得：积分两次得到，所以利用积分性质可得：2( )Sa ()2F信号与系统信号与系统信号与系统 解：解： f (t) 可表示为可表示为 十、时域积分十、时域积分性质例：例

32、：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱 F()( )( )()()tf tu tu tu t( )1( )()df tu tu tdtdttdf)(21)2(Sa)(jeF对其求导数得对其求导数得根据矩形脉冲频谱及时移性质知道根据矩形脉冲频谱及时移性质知道 的频谱为的频谱为信号与系统信号与系统信号与系统 因为因为 所以所以十、时域积分十、时域积分性质21)2(Sa)(jeF(0)10F 12( )1( )(0) ( )Sa()( )()2jFFFejj 信号与系统信号与系统信号与系统 若若 ，则，则十一、频域微分十一、频域微分性质f tF( )( )证明：证

33、明：对右边求导得对右边求导得推广：推广：ddFtfjt)()()(dtetfjtdtjtetfdtetfddddFtttj -j -j -)()()()()()(nndFdtfjt)()()(n信号与系统信号与系统信号与系统 频域微分性质的频域微分性质的应用应用：十一、频域微分十一、频域微分性质12 ( )( 2 jt)(2)()(nnjtjtu1)()(21)( )( jttujt2)(Sgn)(Sgn ttt t 22信号与系统信号与系统 F2tf t解：解： ( )( )F2f tFtf t已知，求？ FF2ddj tfttfF2 信号与系统信号与系统1 nntt F 21 ddj1Ft

34、 解：解： 22ddjj1 Ftt nnnnnnnFt d2djddj1 ntF求求信号与系统信号与系统信号与系统 若若十二、频域积分十二、频域积分性质f tF( )( )dFttfjtf)()()()0(因为因为 利用对称性利用对称性 则则信号与系统信号与系统信号与系统 信号与系统信号与系统信号与系统 信号信号抽样抽样也称为也称为取样取样或或采样采样，是利用抽样脉冲序列，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为称为抽样信号抽样信号，用，用 fs (t) 表

35、示。表示。一、信号抽样一、信号抽样 信号与系统信号与系统信号与系统 抽样的原理方框图抽样的原理方框图:一、信号抽样一、信号抽样 连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。连续信号。周期周期信号信号需要解决两个问题：需要解决两个问题：1.抽样信号抽样信号 fs (t)的频谱的频谱Fs()与原连续信号与原连续信号 f (t)的频谱的频谱F()的的关系关系

36、；2. 在什么条件下可从抽样信号在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中中无失真地恢复原连无失真地恢复原连续信号续信号 f (t) 。信号与系统信号与系统信号与系统 假设原连续信号假设原连续信号 f (t)的频谱为的频谱为 F()，即，即抽样脉冲抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为是一个周期信号，它的频谱为一、信号抽样一、信号抽样 ( )( )f tF( )( )2()sjntnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2 ( ( )()(snsnssnnf tf tp tFPFFPnPnF 所以抽样信号的频谱为所以抽样信号的频谱为其中，其中，

37、 为为抽样角频率抽样角频率， 为为抽样间隔抽样间隔 ， 为为抽样频率抽样频率， 在时域抽样（离散化）相当于频域周期化在时域抽样（离散化）相当于频域周期化频谱是原连续信号的频频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。叶系数加权。信号与系统信号与系统信号与系统 (1) 冲激抽样冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样冲激抽样或或理想抽样理想抽样。一、信号抽样一、信号抽样 sss( )()()np ttnTn ( )( )( )() ()sss

38、nf tf tp tf nTtnT冲激序列的傅立叶系数为冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为所以冲激抽样信号的频谱为 sTTtnsnTttTPsss1de )(122j -T11( )( )( ) ()2ssnsFFFnT抽样信号的频谱抽样信号的频谱 是以是以 s 为周期等为周期等幅地重复幅地重复信号与系统信号与系统信号与系统 频谱图：频谱图：一、信号抽样一、信号抽样 信号与系统信号与系统信号与系统 (2) 周期矩形脉冲抽样周期矩形脉冲抽样若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样周期矩形脉冲抽样。也称。也称为为自然抽样自然抽样一

39、、信号抽样一、信号抽样 ( )()snp tG tnT( )( )( )( )()ssnf tf tp tf t G tnT在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过程中，程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数数 的加权。的加权。)2(SassnnTEP ( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 周期矩形脉冲的傅立叶系数为周期矩形脉冲的傅立叶系数为则抽样信号的频谱为则抽样信号的频谱为 信号与系统信号与系统信号与系统 幅度不再是等幅，幅度不再是等

40、幅，受到周期矩形脉冲受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数信号的傅立叶系数 的加权的加权一、信号抽样一、信号抽样 信号与系统信号与系统信号与系统 信号与系统信号与系统信号与系统 如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。辟的回答。 抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号

41、与系统、分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。二、时域抽样定理二、时域抽样定理 信号与系统信号与系统信号与系统 二、时域抽样定理二、时域抽样定理 时域抽样定理：时域抽样定理：一个频谱受限的信号一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据，如果频谱只占据 的范围，则信号的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值可以用等间隔的抽样值 唯一地表示，只要

42、抽唯一地表示，只要抽样间隔样间隔 不大于不大于 ，其中，其中 为信号的最高频率，为信号的最高频率，或者说，抽样频率或者说，抽样频率 满足条件满足条件通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 称为称为奈奎斯特频率奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔把最大允许的抽样间隔 称为称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 。mm,()sf nTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211信号与系统信号与系统信号与系统 时域抽样定理的图解时域抽样定理的图解：假定信号：假定信号 f (t)的频谱只占据的频谱只占据 的范围，的范围，若以间隔若以间隔 对对 f (t)进行抽样，抽

43、样信号进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱的频谱 FS() 是以是以 S 为为周期重复，在此情况下，只有满足条件周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号保留了原连续信号f (t)的全部信息，完的全部信息，完全可以用全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者说，或者说， f (t)完全可以由恢复出完全可以由恢复出 fs (t) 。二、时域抽样定理二、时域抽样定理 (,)mmsTms2如果如果 ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频，那么原连续信号频谱在

44、周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为现象称为频率混叠现象频率混叠现象。ms2信号与系统信号与系统信号与系统 二、时域抽样定理二、时域抽样定理 ( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 连续信号的频谱(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000tttsss信号与系统信号与系统信号与系统 在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通

45、滤的理想低通滤波器，即可从抽样信号波器，即可从抽样信号 fs(t) 中中无失真无失真恢复原连续信号恢复原连续信号 f (t) 。三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建 mc信号与系统信号与系统信号与系统 因为因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定若选定 ，则有，则有理想低通滤波器的冲激响应为理想低通滤波器的冲激响应为若选若选 ，则，则而冲激抽样信号为而冲激抽样信号为三、连续时间信号的重建三、连续时间信号的重建 1( )()ssnsFFnT 0 )(sCCTHsmcm( )( )( )sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2( )( )( )( ) ()() ()ssssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT信号与系统信号与系统信号与系统 则连续低通滤波器的输出信号为则连续低通滤波器的输出信号为说明：说明： （1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值；）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值； （2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为 的的Sa函数波函数波形，那么其合成信号就是原连续信号