《中考课件初中数学总复习资料》课时5 因式分解

1、第5课时因 式 分 解考点一因式分解的概念考点一因式分解的概念【主干必备【主干必备】1.1.因式分解的形式因式分解的形式: :2.2.因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法的关系: : 【微点警示【微点警示】 (1)(1)因式分解的结果必须是积的形式因式分解的结果必须是积的形式. .(2)(2)因式分解的结果中因式分解的结果中, ,每个因式必须是整式每个因式必须是整式. .(3)(3)因式分解是恒等变形因式分解是恒等变形, ,因此可以用整式乘法来检验因此可以用整式乘法来检验. .(4)(4)在因式分解的过程中分解到每一个因式均不能再分在因式分解的过程中分解到每一个因式均不能再分解为止解为止

2、, ,注意防止分解不彻底或走回头路注意防止分解不彻底或走回头路. .【核心突破【核心突破】【例【例1 1】下列各式从左到右的变形中下列各式从左到右的变形中, ,属于因式分解的属于因式分解的是是( ( ) )a. a(m+n)=am+ana. a(m+n)=am+anb.ab.a2 2-b-b2 2-c-c2 2=(a-b)(a+b)-c=(a-b)(a+b)-c2 2 c cc.10 xc.10 x2 2-5x=5x(2x-1)-5x=5x(2x-1)d.xd.x2 2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x-16+6x=(x+4)(x-4)+6x【明【明技法技法】因式分解与整式乘法的区别与联

3、系因式分解与整式乘法的区别与联系1.1.区别区别: :(1)(1)因式分解因式分解: :多项式由和差的形式多项式由和差的形式乘积的形式乘积的形式. .(2)(2)乘法公式乘法公式: :多项式由乘积形式多项式由乘积形式和差的形式和差的形式. .2.2.联系联系: :因式分解与整式乘法是两个互逆变形过程因式分解与整式乘法是两个互逆变形过程, ,如如图所示图所示:x:x2 2-1 (x+1)(x-1).-1 (x+1)(x-1).提醒提醒: :要正确理解整式乘法和因式分解的互逆关系要正确理解整式乘法和因式分解的互逆关系, ,避避免将二者混淆免将二者混淆. .【题组过关【题组过关】1.(20191.(

4、2019柳州模拟柳州模拟) )下列式子是因式分解的是下列式子是因式分解的是 ( ( ) )a.x(x-1)=xa.x(x-1)=x2 2-1-1b.xb.x2 2-x=x(x+1)-x=x(x+1)c.xc.x2 2+x=x(x+1)+x=x(x+1)d.xd.x2 2-x=(x+1)(x-1)-x=(x+1)(x-1)c c2.(20192.(2019重庆沙坪坝区月考重庆沙坪坝区月考) )下列等式中下列等式中, ,从左往右的从左往右的变形是因式分解的是变形是因式分解的是世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )a.-(x-4)(x+4)=16-xa.-(x-4)(x+4)=16-x2 2b.

5、xb.x2 2-9y-9y2 2=(x+3y)(x-3y)=(x+3y)(x-3y)c.xc.x2 2y+2xy+y=xy(x+2)+yy+2xy+y=xy(x+2)+yd.xd.x2 2-x+1=(x-1)-x+1=(x-1)2 2b b考点二提公因式法因式分解考点二提公因式法因式分解【主干必备【主干必备】提公因式提公因式法法:ma+mb+mc:ma+mb+mc=_.=_.【微点警示【微点警示】 (1)(1)若多项式的各项有公因式若多项式的各项有公因式, ,则应先提则应先提取公因式取公因式, ,首项是负的首项是负的, ,可将负号一并提取可将负号一并提取. .m(a+b+cm(a+b+c) )

6、(2)(2)分解因式要彻底分解因式要彻底. . (3)(3)要检验因式分解的结果是否正确要检验因式分解的结果是否正确, ,可以用整式的乘可以用整式的乘法进行验证法进行验证. .【核心突破【核心突破】【例【例2 2】(1)(2019(1)(2019宁波中考宁波中考) )分解因式分解因式:x:x2 2+xy=+xy=_._.(2)(2018(2)(2018潍坊中考潍坊中考) )因式分解因式分解:(x+2)x-x-2=:(x+2)x-x-2=_. _. x(x+yx(x+y) )(x+2)(x-1)(x+2)(x-1) 【明【明技法技法】提公因式法的依据、步骤提公因式法的依据、步骤1.1.提公因式法

7、的依据是乘法分配律的逆用提公因式法的依据是乘法分配律的逆用. .公因式可以公因式可以是单项式是单项式, ,也可以是多项式也可以是多项式. .2.2.提公因式法的步骤提公因式法的步骤: :“一定一定”: :确定公因式确定公因式, ,可按可按“系数大系数大( (最大公约数最大公约数) )、字母同字母同( (各项相同的字母各项相同的字母) )、指数低、指数低( (相同字母的指数取相同字母的指数取次数最低的次数最低的)”)”的规则来确定的规则来确定. .“二提二提”: :将各项的公因式提出来将各项的公因式提出来, ,并确定另一个因式并确定另一个因式. .【题组过关【题组过关】1.(20191.(201

8、9无锡模拟无锡模拟) )分解因式分解因式: :2x2x2 2-4x=_.-4x=_.2.2.多项式多项式axax2 2-a-a与多项式与多项式x x2 2-2x+1-2x+1的公因式是的公因式是_._.3.(3.(易错警示题易错警示题) )分解因式分解因式:3x(a-b)+2y(b-a)=:3x(a-b)+2y(b-a)=_._.2x(x-2)2x(x-2)x-1x-1(a-b)(3x-2y)(a-b)(3x-2y)4.4.用提公因式法将下列各式分解因式用提公因式法将下列各式分解因式. .世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)2x(1)2x2 2+3x+3x3 3+x.+x.(2)-2n(2)-2

9、n3 3-8n-8n2 2+6n.+6n.(3)a(x-3)+2b(x-3).(3)a(x-3)+2b(x-3).(4)(1+x)(1-x)-(x-1).(4)(1+x)(1-x)-(x-1).略略考点三用公式法因式分解及其应用考点三用公式法因式分解及其应用【主干必备【主干必备】1.1.用公式法因式分解用公式法因式分解: :(1)(1)平方差公式平方差公式: :a a2 2-b-b2 2=_.=_.(2)(2)完全平方公式完全平方公式:a:a2 22ab+b2ab+b2 2=_.=_.(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a(ab)b)2 22.2.因式分解的因式分解的“一提二套三彻底一提

10、二套三彻底”一提一提: :即提公因式即提公因式, ,看到因式分解的题目看到因式分解的题目, ,首先看有没有首先看有没有公因式公因式, ,若有若有, ,则则先提先提_._.二套二套: :即套用公式即套用公式, ,在没有在没有_的前提下的前提下, ,套套用用公式公式.公因式公因式公因式公因式三彻底三彻底: :因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止再分解为止, ,即要分解彻底即要分解彻底. .3.3.因式分解的其他方法因式分解的其他方法(1)(1)分组分解法分组分解法: :有些因式分解需要先分组有些因式分解需要先分组, ,再用提公因再用提公因式法或

11、公式法分解式法或公式法分解. .(2)(2)十字相乘法十字相乘法: :分解因式分解因式:x:x2 2+bx+c(b+bx+c(b2 2-4c0).-4c0). 若若 其中其中pq=c,p+qpq=c,p+q=b,=b,则则x x2 2+bx+c=(x+p)(x+q+bx+c=(x+p)(x+q).).【微点警示【微点警示】 1.1.应用平方差公式进行因式分解应用平方差公式进行因式分解: :(1)(1)将多项式化成二项式将多项式化成二项式, ,每项都能写成一个数每项都能写成一个数( (或一个或一个式子式子) )的平方的平方, ,且符号相反且符号相反, ,(2)(2)根据平方差公式将多项式化成两个

12、数根据平方差公式将多项式化成两个数( (或两个式子或两个式子) )的和与这两个数的和与这两个数( (或两个式子或两个式子) )的差的积的差的积. .(3)(3)如果有公因式时如果有公因式时, ,要先提取公因式要先提取公因式, ,再利用平方差公再利用平方差公式因式分解式因式分解. .2.2.应用完全平方公式进行因式分解应用完全平方公式进行因式分解:(1):(1)将多项式化成将多项式化成三项式三项式, ,首尾两项分别是两项的平方首尾两项分别是两项的平方, ,中间项是上面两中间项是上面两项积的项积的2 2倍倍, ,再看符号再看符号, ,中间项的符号为正时中间项的符号为正时, ,则为两数则为两数和的平

13、方和的平方, ,为负时则为两数差的平方为负时则为两数差的平方. .(2)(2)如果有公因式时如果有公因式时, ,要先提取公因式要先提取公因式, ,再利用完全平方再利用完全平方公式因式分解公式因式分解. .(3)(3)有时平方差公式、完全平方公式和提公因式法综合有时平方差公式、完全平方公式和提公因式法综合使用使用. .【核心突破【核心突破】命题角度命题角度1:1:用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解【例【例3 3】(1)(2019(1)(2019北部湾中考北部湾中考) )因式分解因式分解:3ax:3ax2 2- -3ay3ay2 2=_.=_.3a(x+y)(x-y)3a(x+y)(x-y)

14、(2)(2018(2)(2018株洲中考株洲中考) )因式分解因式分解:a:a2 2(a-b)-4(a-b)=(a-b)-4(a-b)=_._.(a-b)(a+2)(a-2)(a-b)(a+2)(a-2)命题角度命题角度2:2:用完全平方公式因式分解用完全平方公式因式分解【例【例4 4】(1)(2019(1)(2019绵阳中考绵阳中考) )因式分解因式分解: :m m2 2n+2mnn+2mn2 2+n+n3 3=_.=_.(2)(2018(2)(2018威海中考威海中考) )分解因式分解因式:- a:- a2 2+2a-2=+2a-2=_._.n(m+n)n(m+n)2 21212- (a-

15、2)- (a-2)2 2命题角度命题角度3:3:因式分解的应用因式分解的应用【例【例5 5】( (原型题原型题) )已知已知a+ba+b=10,a-b=8,=10,a-b=8,则则a a2 2-b-b2 2= =_._.【变形题【变形题1 1】已知已知a+ba+b=4,a=4,a2 2+b+b2 2=10,=10,则则(a-b)(a-b)2 2的值为的值为_._.80804 4【变形题【变形题2 2】已知已知a+ba+b=10,ab=24.=10,ab=24.求求: :(1)a(1)a2 2+b+b2 2. .(2)(a-b)(2)(a-b)2 2的值的值. .【解析【解析】(1)(1)将将a

16、+ba+b=10=10两边平方得两边平方得: :(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab=100,+2ab=100,把把ab=24ab=24代入得代入得:a:a2 2+b+b2 2=52.=52.(2)(a-b)(2)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=100-96=4.-4ab=100-96=4.【明【明技法技法】因式分解的步骤因式分解的步骤1.1.看有无公因式看有无公因式, ,如果有要先提取公因式如果有要先提取公因式. .2.2.看能否套用公式看能否套用公式. .若能若能, ,要看有几项要看有几项: :(1)(1)若多项式为两项若多项式为两项, ,

17、则考虑用平方差公式分解因式则考虑用平方差公式分解因式. .(2)(2)若多项式为三项若多项式为三项, ,则考虑用完全平方公式分解因式则考虑用完全平方公式分解因式. .(3)(3)若多项式有四项或四项以上若多项式有四项或四项以上, ,就考虑综合运用上面就考虑综合运用上面的方法的方法. .3.3.若上述方法都不能分解若上述方法都不能分解, ,则考虑把多项式重新整理、则考虑把多项式重新整理、变形变形, ,再按上面步骤进行再按上面步骤进行. .【题组过关【题组过关】1.(20191.(2019贵阳模拟贵阳模拟) )下列多项式中下列多项式中, ,能用公式法分解因能用公式法分解因式的是式的是( ( ) )

18、a.xa.x2 2-xy-xyb.xb.x2 2+xy+xyc.xc.x2 2+y+y2 2d.xd.x2 2-y-y2 2d d2.(20192.(2019临沂中考临沂中考) )将将a a3 3b-abb-ab进行因式分解进行因式分解, ,正确的是正确的是( ( ) )a.a(aa.a(a2 2b-b)b-b)b.ab(a-1)b.ab(a-1)2 2c.ab(a+1)(a-1)c.ab(a+1)(a-1)d.ab(ad.ab(a2 2-1)-1)c c3.(20193.(2019威海模拟威海模拟) )已知已知a-b=1,a-b=1,则则a a2 2-b-b2 2-2b-2b的值为的值为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )a.4a.4b.3b.3c.1c.1d.0d.04.4.分解因式分解因式:(1)(2019:(1)(2019威海中考威海中考)2x)2x2 2-2x+ =-2x+ =_._.(2)-x(2)-x3 3+2x+2x2 2-x=_ _.-x=_ _.c c12