二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

1、二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程. 1.预备知识d2xdt2+a1tdxdt+a2tx=f(t) (1.1)其中ai(t)(i=1,2)以及f(t)都是连续函数并且

2、区间是atb.如果f(t)0,则方程（1）就变成了 d2xdt2+a1tdxdt+a2tx=0 （1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数C看作是t的待定函数C(t)，然后求出非齐次线性方程的通解.求解过程如下：设x1(t), x2(t)是方程（1.2）的基本解组，则x=x1t+ c2x2(t) （2.1.1）是方程（1.2）的通解.将常数Ci看作是t的待定函数Ci(t)(i=1,2),那么方程（2.1.1）就变成x=

3、c1tx1t+c2(t)x2(t) （2.1.2）求x关于t的一阶导数得 x'=c1'(t)x1(t)+c1(t)x1'(t)+c2'(t)x2(t)+c2(t)x2'(t)令c1'tx1t+c2'tx2t=0 （2.1.3）得到x'=c1(t)x1'(t)+ c2(t)x2'(t) （2.1.4）再求x关于t的二阶导数得x''=c1'(t)x1'(t)+ c1(t)x1''(t)+ c2(t)x2''(t)+ c2'(t)x2'(t)

4、 (2.1.5) 把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程（1.1）中a1、a2都是常数，即Lxd2xdt2+a1dxdt+a2x=0, （2.2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组.下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程dxdt+ax=0，的通解是x=ce-at,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解 x=et,Letd2etdt2+a1detdt+a2et =(2+a1+a2) et F() et,所以F()= 2+

5、a1+a2是的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是 F()= 2+a1+a2=0 （2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解.下面就的不同形式进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根1，2,所以该方程有如下两解：e1t , e2t. 我们指出这两个解在上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时W（t）=e1te2t1e1t2e2t =e(1+2) 1112 =e1+2(2-1), 0,所以e1t , e2t线性无关,上式得证.所以此方程的通解可表示为 x=c1e1t+c2 e2t（其中c1,c2为任意实数）. 假设

6、特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是1=+i,那么另一个特征根是2=-i,所以方程有两个复值解 e+it=et(cost+isint), e-it=et(cost-isint).所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是 etcost ,etsint . 2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根1=2，此时a12-4a220，即有=-a12，于是方程(2.2.2)有一个特解x=e1t，所以方程的另一个特解是x2=ux1=ue1t其中uu(t)为待定函数，对x2求一阶，二阶导数得dx2dt=dudte1t+2ue1t=(dudt+2u) e1t

7、，d2x2dt2=(d2udt2+21dudt+12u) e1t，将它们代入方程(2.2.2)得 (d2udt2+21dudt+12u) e1t a1(dudt+2u) e1ta2ue1t0，整理得d2udt2+(21+a1)dudt+(12+a11+a2)u e1t=0，因为e1t0并且1是特征方程的根，所以12+a11+a2=0，有因为1=-a12所以有21+a1=0，那么上式变成d2udt2=0，显然满足d2udt2=0的函数很多，我们取其中最简单的一个u(t)=t,则x2=tet是方程（2.2.1）的另一个解，并且x1、x2是两个线性无关的函数，所以方程(2.2.1)的通解是x=(c1

8、+c2x)e1t.2.2.3 解得表1、2的情形方程（2.2.1）的通解两个不相等的实根（12）x=c1e1t+ c2e2t两个相等实根（1=2）x=(c1+c2x)e1t一对共轭复根1=+i、2=-ix=et(c1cost+c2sint) 表12.3比较系数法比较系数法中函数f(t)可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解.2.3.1 f(t)=(b0t+b1)et函数f(t)=(b0t+b1)et，其中，b0, b1是确定的常数.当方程d2xdt2+a1dxdt+a2x=f(t)有形如x=tk(At+B) e

9、t的特解.其中A，B是未知的常数，k是由特征方程F（）=0来决定.若是特征根，则k=1；若不是特征根，则k=0.=0，f(t)=b0t+b1当=0不是特征根时，即F（0）不等于0，所以a2也不等于0，所以方程的特解为x=At+B.把特解带入非齐次线性方程中就可以得到 a1A+a2(At+B)= b0t+b1,由此可以得到 a1A+a2B=b1a2A=b0,可以求出A,B的值，求出特解.当=0是特征根时，即F（0）等于0，所以a2等于0，所以方程的特解为x=t(At+B).把特解带入非齐次线性方程中就可以得到 2A+a1(2At+B)= b0t+b1 ,由此可以得到2A+a1B=b12a1A=b

10、0,可以求出A,B的值，求出特解.0，引入x=yet那么方程d2xdt2+a1dxdt+a2x=（b0t+b1）et就可以变形为 d2ydt2+A1dydt+A2y=b0t+b1,其中A1，A2都是常数. 上式微分方程的形式则与（1）中f(t)的形式一样.当是特征方程的单根时，由（1）的求解方式可以得到该方程有特解 y=t(B0t+B1),所以方程的特解为 x=t(B0t+B1) et ,当不是特征方程的单根时，F（0）不等于0.则方程有特解 y=B0t+B1,从而得到 x=(B0t+B1) et. 2.3.2 f(t)=Atcost+B(t)sintet设f(t)=Atcost+B(t)si

11、ntet，其中，是常实数，A(t),B(t)是t的常实数多项式.且maxAt,Bt=m.f(t)=Atcost+B(t)sintet= Atcost et+ B(t)sint et= Ate+it2+ Ate-it2+ Bte+it2i - Bte-it2i=(At2 + Bt2i) e+it + (At2 - Bt2i) e-it=At-iB(t)2e+it + At+iB(t)2e-it=f1(t)+ f2(t),由上式可以看出f1(t) = f2(t)，如果x1是f1(t)的解，那么x1必然就是f2(t)的解.所以该类方程的解为x=tkD(t) e-it + tkD(t)e+it =tk

12、Ptcost+Q(t)sintet,其中D(t)是t的m次多项式，而P(t)=2ReD(t),Q(t)=2ImD(t).3.常微分方程的简单应用3.1常数变易法例1.求方程x''+x=1cost的通解.解：该方程所对应的特征方程是2+1=0，特征根为1=i, 2=-i.是两个复根.所以齐次微分方程的通解为x=c1cost+c2sint,应用常数变易法，则设x=c1(t)cost+c2(t)sint, (1.a)x=c1(t)cost+c2(t)sint-c1(t)sint+c2(t)cost令c1(t)cost+c2(t)sint=0 (1.b)则x=c2(t)cost-c1(

13、t)sint x=c2(t)cost-c2(t)sint-c1(t)cost-c1(t)sint (1.c)把（1.a）（1.c）带入原方程得-c1(t)sint+c2(t)cost=1cost . (1.d)联立（1.b）（1.d）就可以求得 c1(t)=-sintcost c2(t)=1所以，c1(t)=lncost+1, c2(t)=t+2.因此原方程得通解可以表示为 X=1cost+2sint+ tsint+costlncost, 其中1，2为任意常数.例2. 求方程tx'' -x=t2在t0上所有的解.解：该方程所对应的齐次微分方程为tx-x=0将方程变形为xx

14、9;=1t令 dxdt=y 则y'y=1t那么很容易得到y=ct继而dxdt=ct解得x=c1t2+c2，由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为t2，1.我们把原方程进行变形得到x-1t x=t (2.a)利用常数变易法设x=c1(t)t2+c2(t) (2.b) x=2tc1(t)+ c1'(t)t2+c2(t)令c1'(t)t2+c2(t)=0 (2.c)则x=2tc1(t) (2.d) x=2c1(t)+ 2tc1'(t) (2.e)将（2.d）(2.e)带入（2.a）得到2tc1'(t)=t 所以c1(t)=12t+1 c2(t)=-1

15、6t3+2.所以原方程的通解为X=1t2+2+13t3，其中1，2为任意常数.3.2特征根法例5.求解方程d2xdt2 x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是2-1=0，特征根为1=2=1.是两个相等的实根.所以方程的通解为x=(c1+c2t)et,这里c1，c2是任意常数.例6.求解方程d2xdt2 - 2dxdt3x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是2-2-3=0，特征根是1=-1，2=3.是两个不相等的实根.所以该方程的通解为x=c1e-t + c2e3t,这里c1，c2是任意常数.例7.求解方程d2xdt2 + x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是2+1=0，特征根为1

16、=i, 2=-i.是两个复根.所以方程的通解为x=c1cost+c2sint,这里c1，c2是任意常数.3.3比较系数法例8.求方程d2xdt2 + 4dxdt + 4x=cos2t的通解.解：该方程所对应的特征方程是2+4+4=0，特征根为1=2=-2.是两个相等的 实根.所以齐次方程的通解为x=(c1+c2t)e-2t，设方程的一个特解为x=Acos2t+Bsin2t,dxdt=-2Asin2t+2Bcos2td2xdt2=-4Acos2t-4Bsin2t,将上式带入原方程，整理得8Bcos2t-8Asin2t=cos2t,所以A=0，B=18所以原方程的通解为x=(c1+c2t)e-2t

17、 + 18sin2t.4.结束语对于二阶常微分方程的初等解法及求解技巧，除了文中提及的三个方法之外还存在其他的求解技巧，针对不同的问题需要不同的解决方法.对多数问题而言,解决方法不止一种，同一问题的求解方法也有很多种，同时还需要根据自身对不同解法的熟悉程度选择合适的解题技巧.如果大家对解题方法还有独特的想法欢迎保持求知欲继续探索新未知.参考文献1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版） 北京：高等教育出版社，2006.72黄赞，罗佩芳.一类二阶微分方程的几种解法J.广东：中国科技信息，2009.3陈新一.一类二阶常微分方程的特解J.兰州：高等教学研究，2010.4熊灿，谢建新.二阶

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