第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类

1、第第 三三 章章 剪切与圆轴的扭转剪切与圆轴的扭转13-13-1-1 -1 剪切的概念剪切的概念3.1.剪切与挤压剪切与挤压2螺栓螺栓连接连接铆钉连接铆钉连接销轴连接销轴连接3.1.剪切与挤压剪切与挤压3平键连接平键连接3.1.剪切与挤压剪切与挤压451 1、受力特征、受力特征:2 2、变形特征：、变形特征：3.1.1剪切剪切上刀刃上刀刃下刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切面1 1、剪切概念、剪切概念6剪切受力特点：剪切受力特点：作用在构件两侧作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。相反且作用线很近。变形特点：变形特点：位于两力之间的截面位于两力

2、之间的截面发生相对错动。发生相对错动。P PP P得剪应力计算公式：得剪应力计算公式：AFS剪应力强度条件：剪应力强度条件： AFS常由实验方法确定常由实验方法确定 假设剪应力在剪切面（假设剪应力在剪切面（m-mm-m截面）上是均匀分布的截面）上是均匀分布的PPmmPSFmmSFmmP2 2、剪力与剪应力的计算、剪力与剪应力的计算3.1.1剪切剪切7AFS剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的剪应力相等，于剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的剪应力相等，于是得剪切面上的名义剪应力为：是得剪切面上的名义剪应力为： AFS剪切强度条件剪切强度条件 剪切面为圆形时，其剪切面积为：剪切面为圆形时，其剪切

3、面积为： 42dA对于平键对于平键 ，其剪切面积为：，其剪切面积为： lbA3.1.1剪切剪切2 2、剪力与剪应力的计算、剪力与剪应力的计算8基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式 （1）在截面）在截面 mn, pq 处被剪断处被剪断 （2）受挤压部分的半圆被）受挤压部分的半圆被“挤扁挤扁” （近似半椭圆）（近似半椭圆） 照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)3.1剪切与挤压剪切与挤压9FF挤压面挤压面1 1、挤压概念、挤压概念3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压3.1.2 3.1.2 挤压

4、挤压1 1、挤压概念：接触表面相互压紧，使表面局部受压的、挤压概念：接触表面相互压紧，使表面局部受压的现象称为现象称为挤压挤压2 2、两构件相互压紧的表面称为、两构件相互压紧的表面称为挤压面挤压面，作用于挤压面，作用于挤压面上的压力为上的压力为挤压力挤压力，3 3、由于挤压作用在挤压面上引起的应力称为、由于挤压作用在挤压面上引起的应力称为挤压应力挤压应力，10FF压溃压溃(塑性变形塑性变形)1 1、挤压概念、挤压概念3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压3.1.2 3.1.2 挤压挤压11bsFbsF2 2、 挤压应力挤压应力bsbsbsAF 假设应力在挤压面上是均假设应力在挤压面上是均匀分布的

5、匀分布的得实用挤压应力公式得实用挤压应力公式bsbsbsbsAF挤压强度条件：挤压强度条件：bs常由实验方法确定常由实验方法确定dAbs* *注意挤压面面积的计算注意挤压面面积的计算P PP P3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压3.1.2 3.1.2 挤压挤压12挤压面为平面，计算挤压面就是该面挤压面为平面，计算挤压面就是该面挤压面为弧面，取受力面对半径的投挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面影面挤压面积的计算挤压面积的计算bsbsbsAFtdFbs挤压力挤压力计算挤压面计算挤压面Abs=td13bsbsbsbsAF挤压强度条件：挤压强度条件： 8 . 06 . 0剪应力强度条件：剪应力强度

6、条件： AFS脆性材料：脆性材料：塑性材塑性材料：料： 27 . 1bs 0 . 18 . 0 5 . 19 . 0bs3.1.3 剪切与挤压强度计算3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压14AB剪力剪力FS挤压力挤压力FbsA向向剪力作用剪力作用面面 积积B向向挤压力计算挤压力计算 面面 积积 Abs l剪应力剪应力 1 1、计算面积是剪力的计算面积是剪力的真实作用区真实作用区 2 2、名义剪应力是真实的名义剪应力是真实的平均剪应力平均剪应力 l挤压应力挤压应力 1、计算面积计算面积不一定是挤压力不一定是挤压力真实作用区真实作用区 2 2、名义挤压应力不一定是、名义挤压应力不一定是平均挤压应力

7、平均挤压应力 注意：实际挤压面注意：实际挤压面是半圆柱是半圆柱3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压3 3.1.3.1.3 剪切与挤压强度计算剪切与挤压强度计算15dhFAFbsbsbs24dFAFS 为充分利用材为充分利用材料，剪应力和挤压料，剪应力和挤压应力应满足应力应满足242dFdhFhd82bs3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压16 图示接头，受轴向力图示接头，受轴向力F F 作作用。已知用。已知F F=50kN=50kN，b b=150mm=150mm，=10mm=10mm，d d=17mm=17mm，a=80mm=80mm， =160MPa=160MPa， =120MPa=120

8、MPa， bsbs=320MPa=320MPa，铆钉和板的材料，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。相同，试校核其强度。 MPa1 .43101 .4301. 0)017. 0215. 0(1050)2(63dbFAFN解：解：1.1.板的拉伸强度板的拉伸强度dba例题3-1QQ3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压172.2.铆钉的剪切强度铆钉的剪切强度 MPa11010110017. 01050222462322dFdFAFS3.3.板和铆钉的挤压强度板和铆钉的挤压强度MPa1471014701. 0017. 021050263bsbsbsbsdFAF 结论：强度足够。结论：强度足够。dbaF

9、SFS3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压18h/2bldOFSnnFsFbsFMennOMeblAdMFSekN1 .57/2S MPa6 .28SSblFAFS校核键的剪切强度：校核键的剪切强度：kN157S.FFbs bsbsbsbsbshlFAFMPa2 .952/ )(/2bshlA校核键的挤压强度：校核键的挤压强度：例例 图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径d=70mm，键的，键的尺寸为尺寸为bhl=2012100mm，传递的力偶矩，传递的力偶矩Me=2kNm，键的许用应力键的许用应力 =60MPa， bs=100MPa。试校核键的强度。试校核键的强

10、度。强度满足要求强度满足要求19其中，比例常数其中，比例常数G 称为剪切弹性模量。常用单位称为剪切弹性模量。常用单位GPaG3.1.4剪应变和胡克定律3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压20)1 (2EG 对各向同性材料可以证明，弹性常数对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、存在关系存在关系表明表明3 3个常数只有个常数只有2 2个是独立的个是独立的3-1 3-1 剪切与挤压剪切与挤压3 3.1.4.1.4剪应变和胡克定律剪应变和胡克定律21小小 结结1. 1. 剪切变形的特点剪切变形的特点2. 2. 剪切实用计算剪切实用计算3. 3. 挤压实用计算挤压实用计算4. 4. 剪切胡克定理剪切胡

11、克定理22一、概述汽车传动轴3-3-2 2 扭转扭转23汽车方向盘3-3-2 2 扭转扭转24TT253-3-2 2 扭转扭转26 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, ,使杆件的横使杆件的横截面绕轴线产生转动。截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。3.2.1 3.2.1 扭转的概念扭转的概念3-3-2 2 扭转扭转受力特点：受力特点：作用在杆两

12、端的一对力偶大小相等、方向相反，且力偶所在的平面与杆件的横截面平行变形特点：变形特点：在这些外力偶的作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，其纵向直线变成螺旋线271 1、直接求外力偶矩、直接求外力偶矩二、外力偶矩 扭矩和扭矩图3.2.2 扭转时外力的计算282 2、利用轴输入功率和转速求外力偶矩、利用轴输入功率和转速求外力偶矩已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩Me Me . .3.2.2 扭转时外力的计算nPMe61055. 9其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴

13、的转动方向相同，而对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。293.2.3 扭转时内力的计算截面法截面法30T = Me3.2.3 扭转时内力的计算31T = Me3.2.3 扭转时内力的计算32扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)3.2.3 扭转时内力的计算33 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规

14、律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT3.2.3 扭转时内力的计算34扭矩图 3.2.3 扭转时内力的计算35例例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m36nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭

15、矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT37绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37383.2.3 扭转时内力的计算393-3 圆轴扭转时的应力一、利用几何关系求剪应变分布规律一、利用几何关系求剪应变分布规律1 1、实验观察和假设推论、实验观察和假设推论分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一

16、是变形几何关系变形几何关系；二是；二是应力应变关系应力应变关系；三是；三是静力学关系静力学关系。4041实验现象：实验现象：（1 1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无变化，只是绕轴线转了不同的角度；变化，只是绕轴线转了不同的角度；（2 2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。平面假设：平面假设： 圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小与形状不变，半径仍保持

17、为直线。与形状不变，半径仍保持为直线。42推论：推论：（1 1）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；（2 2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，线应变等于零，所以正应力为零。线应变等于零，所以正应力为零。变形几何关系：变形几何关系：dxRddxAAdxddxEEdxd单位长度扭转角，用单位长度扭转角，用 表示。对于表示。对于同一截面各点，同一截面各点， 是常量。是常量。E EEEoB433.3.

18、23.3.2圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律： 二、利用物理关系求剪应力分布规律二、利用物理关系求剪应力分布规律 GdxdGG 剪切虎克定律剪切虎克定律圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一的同一圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。443.3.3 3.3.3 利用静

19、力学关系求剪应力的大小利用静力学关系求剪应力的大小( ( 剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩) )dAdTTAAdAdxdGdATAA2dAdxdGTA2dAA 2 式中的积分式中的积分 是一个只决是一个只决定于横截面的形状和大小的几何定于横截面的形状和大小的几何量，称为量，称为横截面对形心的横截面对形心的，用，用IpIp表示。表示。T TT TT T45dAAp 2 PGITdxdppITGITGdxdG应力计算式应力计算式：lGIP 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的称为圆轴的。pITRmax令令抗扭截面模量抗扭截面模量

20、WpTmaxpIT461、圆截面的、圆截面的I p 与与 W p 的计算的计算实心轴实心轴3.3.4 3.3.4 截面的几何性质、强度条件截面的几何性质、强度条件47空心轴空心轴令令则则48实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比49 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 502 2、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 PWTmax1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：五、圆轴扭转时的强 刚度设计 PWTmaxmax maxmax)(PWT3.3.4 3.3.4 截面的几何性质、强

21、度条件截面的几何性质、强度条件513.4圆轴扭转时的变形及刚度条件PGITdxddxGITdPdxGITlP0*若为等扭矩、等截面若为等扭矩、等截面PGITl*若为阶梯扭矩、阶梯截面若为阶梯扭矩、阶梯截面PiiiiIGlTGIpGIp：抗扭刚度单位长度扭转角：单位长度扭转角：PGITl3.4.1 3.4.1 圆轴扭转时的变形分析圆轴扭转时的变形分析52 米单位为弧度最大单位长度扭转角/, - rad/m maxmaxPGIT180pGIT若若 的单位用的单位用 /m/m，则刚度条件式为：，则刚度条件式为：许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素决

22、定，具体数值可从机械设计手册查得。决定，具体数值可从机械设计手册查得。应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决校核、设计和确定许用载荷三大类问题校核、设计和确定许用载荷三大类问题/m/m3.4.2 3.4.2 圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件3.4圆轴扭转时的变形及刚度条件53扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T 、D 和和，校核强度校核强度已知已知T 和和， 设计截面设计截面已知已知D 和和，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T 、D 和和 ，校核刚度校核刚度已知已知T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D 和和 ， 确定许可载荷确定

23、许可载荷 PWTmax180pGIT 圆轴扭转时的强度和刚度计算54已知：已知：P7.5kW， n=100r/min，最大，最大剪应力剪应力不得超过不得超过40MPa，空心圆轴的内，空心圆轴的内外直径之比外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.d圆轴扭转时的强度和刚度计算mNnPT2 .7161005 . 795

24、499549MPadTWTp40163111max55已知：已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切，最大切应力应力不得超过不得超过40MPa，空心圆轴的内外，空心圆轴的内外直径之比直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直和空心轴的外直径径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTTTT圆轴扭转时的强度和刚度计算56确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之

25、比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算57P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速T1= m1=1114 N.mT2= m2=557 N.mT3=

26、 m3=185.7 N.m2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩3圆轴扭转时的强度和刚度计算已知：已知：P114kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求求:各各轴轴横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力。nPm954958 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWT .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWT .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWT3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大剪应力最大剪应力3圆轴扭转时的强度和刚度计算59圆轴扭转时的强度和刚度计算57. 0180maxmGITP92.15163111maxMPadTWTp60例： 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M P