高一衔接：十字相乘法

1、第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解 求根法及待定系数法.1十字相乘法十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：第一种叫分拆系数形式，由abx2 an bm x mn ax m bx n中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图1;第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成 二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积， 然后交叉相乘的和是一次项，如图2 图1图2【例1】把以下各式因式分解:x13X图 362On(1) x 3x+ 2; (3) x 7x 6(4) x解：解：(1)如图1. 1

2、 1,将二次项x2分解成图中的两个 :1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 项，所以，有x2 3x+ 2= (x: 1)( x:2).2(3) x 7x 6 x ( 1)x( 6) (x 1)(x 6).1 :;图 1. 1:2再将常数项2分解成:1:x的积，3x，就是x2: 3x + 2中的一次2(4) x 13x 36 (x 4)( x 9)说明：1此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数， 它们的符号与一次项系数的符号 相同.今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1 1中的两个x用1来表示(如图1. 1: 2所示).练习2x 10x9 = (x9)

3、( x1) (2)2x5x6 (x 2)(x3)(3) x211x 18(x2)(x'9)_。(4)x2 5x 6(x 2)( x 3)【例2】因式分解:(1) x25x242 x2x 15 (2)x2 + 4x 12;解：(1)x25x 24x(3)(x8)(x3)(x 8)(3)由图 1. 1: 3,得 x2+ 4x: 12= (x 2)( x + 6).说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与 一次项系数的符号相同.练习(1) x2 5x 6(2)b23b 10 (3)x23x 28 (4) x2 5x6【例3】把以下各式因式分解：(1)

4、 x2 xy 6y2(2)(x2 x)28(x2x)12 (3) x2 (a b)xyaby2; (4)xy 1 x y .分析：(1)把x2 xy 6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次项系数是y ,把6y2分解成3y与2y的积，而3y ( 2y) y，正好是一次项系数.(2)由换元思想，只要把x2 x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a2 8a 12 .22解：x xy 6y2 2x yx 6 (x 3y)(x2y)2 2 2(x x) 8(x x) 122 2(x x 6)(x x 2)ay(3)由图 1. 1 4，得 x2 (a2b)xy aby = (x

5、 ay)(x图 1. 1 yby) 4(4) xy 1 x y = xy + (x y) 1 = (x 1)( y+1)(如图 1. 1 5 所示)练习(1)x2a 1 x a o(2) a2b27ab10(3)32a b 45ab a b【例4】把以下各式因式分解：(1)12x25x 25x26xy8y232解：12x25x 2(3x2)(4 x 1)412212y(2)5x6xy 8y (x2y)(5x4y)54y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，假设原常数为负数，用减法凑，看是否符合一次项系数，否那

6、么用加法凑，先凑绝对值，然 后调整，添加正、负号.练习(1)2x2 7x 3; (2)2x2 x 6 ; (3)2x2 7xy 22y2(1)原式(2x 1)(x 3)；原式 (2x 3)(x 2);原式 (2x 11y)(x2y) (4)3x2 2xy y2.【例5】请连续二次运用十字相乘法分解以下各式:(1)x2 3xy 10y2 x 9y 2; (2)xyy2 x y 2 ; (3)6 x2 7xy3y2 xz 7yz 2z2 .解：(1)： -x2 3xy 10y2 (x 5y)(x2y)，而 2(x2y) (x 5y)x 9y，原式=(x 5y 2)(x 2y 1);22y x y，

7、二原式=(x y2)( y 1)； .xy y y(x y)，而 1 (x y)22."- T 6x 7xy 3y (2x 3y)(3x y)，而z(3x y) 2z(2x 3y) xz 7yz ,二原式=(2x 3y z)(3x y 2z).练习(1) 2xy y2 6x 5y 6 (2) x2 xy 2y2 3x 3y 2 (3) 6x2 7xy 3y2 4xz 5yz 2z2.(6) x2 5x 6;(7)22a2 7a 12 (8)6x2 7x 222(9)x 2x- 1 = (10) 4x 20x 251.将以下各式分解因式：22(1)6x2 x 1； (2) 3x219x

8、20；(3)15x224 xy 3 y .2.将以下各式分解因式：2(1) 2xy y2 6x 5y 6；(2)x2xy2y23x3y 2；22(3) 6x27 xy 3 y2 4xz5yz2z2.22(1)x 6x8= ; (2)3 x 2x8 (3)6x2 5x1；;(4)22x5 x 6 ;(5) y 6 y 811 4m2 12 m9 ( 12) 57 x 6 x2。(13)12x2xy 6 y2。14、6 2p q2 11 q2p 315、a3225a2b 6ab 2216 、 2 y 24 y617、42b4 2b 28(18) xy (x y)222(19) 3x22xy 2y;

9、(20)20 92y 20y ；1 、 x23x 22、x2 7x 623、 x4x 2124、 x2 2x 155、4x6x2826、(a b)24(ab)372、x3xy 2y24328、 x43x328x29、2x4x 310、 a27a1011、2 y27 y 1212、 q2 6q 813、2xx 2014、 m 27m 18 152、 p 25p3616 、t 2 2t 817、4xx22018、22ax7ax819、a 2 9ab14b220、 x2 11xy18y221、2xy2 5x2 y6x222、3 a4a212a23、3x211x10 24、2x2 7x325、6x27

10、x 5226、5x26xy8y227、2x215x 728、3a 2 8a429、5x27x 630、5a222b 2 23ab2210 31、 3a2b2 17abxy2210 x y32、4x4y2 5x2y 2 9 y 233、 4n2 4n 1534、 6l2l352 2 2 2 2 235、 10x 2 21xy 2y236、 8m2 22mn 15n2 37、 (x2 5x 3)(x2 5x 2) 638、 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 (39)15x2 4xy 3 y 2 (40) 12a2 17a 6(1)6x222x 1； (2) 3x2 19x 20； (

11、3)； (4)a 2 7a+6； (5)2x 2+3x+1；(6)2y 2+y6；(7)6x 213x+6； (8)3a 2 7a6；(9)6x 211x+3(10)4m2+8m+3； (11)10x 221x+2；(12)8m2 22m+15；(13)4n 2+4n15；(14)6a 2+a35； (15)5x 28x13；(16)4x 2+15x+9；(17)15x 2+x2；18)6y 2+19y+10；2 2 2(19)2(a+b) 2+(a+b)(a b) 6(a b) 2；(20)7(x 1) 2+4(x 1) 20；(21)8x 2+6x35；(22)18x 2 21x+5；答案

12、：1、(x 1)(x 2)2、(x 1)(x 6) 3、(x 3)(x 7)4、(x 3)(x 5)5、(x224)(x2 2) 6、(a b 1)(a b 3)7、 (x y)(x 2y)8、 x 2 (x 4)(x 7) 9、(x 1)(x 3) 10、 ( a 2)(a 5)11、(y 3)( y 4)12、(q2)(q 4)13、 (x 4)(x 5) 14、 (m 2)(m 9)15、(p 4)(p 9)16、 (t2)(t 4)17、(x2 4)(x2 5) 18、 (ax 1)(ax 8) 19、 ( a 2b)(a 7b)20、(x2y)(x 9y)21、x2(y 1)(y 6) 22、 a(a 2)(a 6)23、(x2)(3x 5)24、(x 3)(2x 1) 25、(2x 1)(3x 5)26、(x2y)(5x 4 y) 27、 (2x 1)(x 7)28、(a 2)(3a 2