高三数列知识点与题型总结文科

1、数列考占八、第一局部求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)二、求数列的通项公式四种根本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的 最根本方法。求数列通项的方法的根本思路是： 把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数 列。求数列通项的根本方法是：累加法和累乘法。一、累加法1 .适用于：an 1anf (n) 这是广义的等差数列累加法是最根本的二个方法之一。an 1anf(n) (n2)a2af(1)a3a2f(2)LL那么 an 1anf( n)an 1na1f(n)两边分别相

2、加得k 1例1数列an满足an 1 an 2n 1 a11,求数列an的通项公式。例2数列an满足an 1 an 2 3 1, ai 3，求数列an的通项公式。*练习1.数列an的首项为1,且an 1 an 2n(n N )写出数列an的通项公式.2答案：n n 1an an 1练习2.数列an满足a13，1n(n1)(n2)，求此数列的通项公式.答案:裂项求和an评注：a1a, an 1 an f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an. 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和

3、； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。n_)； ian ,求数列an的通项公式.，求数列an的通项公式。Sn(an例3.数列an中,an 0且 2an 1练习3数列an满足2an二、累乘法1、适用于：an 1 f (n)an累乘法是最根本的二个方法之二。ia?8314f(n)-f(1),f(2)丄 L ,4f(n)假设 an，那么 aia2anan 1一 a1 f (k)两边分别相乘得，a1k1例4数列an满足an 1 2(n 1)5 an，a1 3，求数列an的通项公式。2 2例5.设an是首项为1的正项数列，且n

4、 1 an 1 nan気舄 0 ( n =1，2, 3,)，那么它的通项公式是an = 三、待定系数法适用于an 1 qan f(n)根本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的 一个函数。1 .形如an 1cand, (c 0 其中 a1a)型(1)假设 c=1 时,数列an为等差数列；(2)假设 d=0 时,数列an为等比数列；(3)假设c 1且d 来求.0时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列待定系数法：设an 1c(an )得 an 1 can (c 1),与题设an 1 cand,比拟系数得(c 1) d,所以&

5、c 0)所以有:因此数列d anc 1构成以a1-cd为首项，以c为公比的等比数列,an所以cn 1即:an (a1c规律：将递推关系an 1cand化为c(andc 1 ,构造成公比为c的等比数列dan 厂从而求得通项公式da n 1""1 cn 1 /c(a1逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an1can d中把n换成n-1有ancan 1 dc的等比数列an 1 an,进而求得通项公例6、数列an 中,a1 1,an2an 1 1(n2)，求数列an的通项公式。2.形如：兀1 Pannq (其中q是常数，且n 0,1)假设p=1时，即:anqn,累加即可.假设p

6、 1时，即:an求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以p.目的是把所求数列构造成等差数列an 1 an 1 P nn 1n()即：p q p qbn,令芈bmP ，那么bn丄(卫)nP q ,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以q.目的是把所求数列构造成等差数列。两式相减有an 1 an c(an an1)从而化为公比为式. 1% J(a24 ),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比拟复杂.an 1 p ann 1n即：q q q卫b丄unqq.然后转化为类型5来解,bn 1b 亚bn n 令 q ,那么可化为iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an 1qn

7、1 p(anpn).通过比拟系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求 p q,否那么待定系数法会失效。例7、数列an满足an 1 2an 4 3 1，a1 1，求数列an的通项公式。练习3. (2021陕西卷文)a a数列和满足，"仏缜严宁“ N令6 an 1 an，证明：bn是等比数列;n求an的通项公式。答案：115是以1为首项，2为公比的等比数列。2 an 321 n 1*-(-)(nN)总结：四种根本数列1 .形如an 1anfn型等差数列的广义形式，见累加法。a n 1f( n)2.形如an型等比数列的广义形式，见累乘法。3.形如an 1anf (n)

8、型(1) 假设 an 1and d为常数，那么数列an为“等和数列，它是-个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；2假设fn为n的函数非常数时，可通过构造转化为 an 1 an fn型，通过累加来 求出通项；或用逐差法两式相减得an1 an1f n fn 1,，分奇偶项来分求通项.4.形如 an 1 an f n型1假设an 1 an PP为常数，那么数列 an为“等积数列，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；2 假设fn为n的函数非常数时，可通过逐差法得an an 1 fn 1，两式相除后， 分奇偶项来分求通项例8.数列an满足a1 °, an 1

9、 an 2n,求数列an的通项公式.1 n*例9.数列an满足a1 3，an an 1 9厲N ,求此数列的通项公式.第二局部数列求和一、公式法1 如果一个数列是等差数列或等比数列，那么求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q= 1或q工1.2 .一些常见数列的前 n项和公式:(1) 1 + 2 + 3+ 4+-+ n=;2(2) 1 + 3 + 5+ 7+-+ 2n 1 = n;2(3) 2 + 4 + 6+ 8+-+ 2n= n + n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1 倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离的两项的和相等或等于同一常数，那么

10、求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的.2 分组转化求和法假设一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.3. 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的.4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.小题能否全取1. (2021 沈阳六校联考)设数列( 1)n的前n项和为S,那么对任意正整数n, S=()2. 等差数列an的通项公式为an=

11、2n+1,其前n项的和为S,那么数列的前10项的和为()A. 120B. 70C. 75D. 1003. 数列a + 2,，ak+ 2k,，ao+ 20共有十项，且其和为 240,那么a + ak + -+ a。的值 为()A. 31B. 120C. 130D. 1854. 假设数列an的通项公式为an= 2n+ 2n 1，那么数列an的前n项和为.5. 数列，的前n项和为.分组转化法求和例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a a?，空中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818 求数列an的通项公式；假设

12、数列bn满足：bn= an + ( 1广In / ,求数列bn的前2门项和S2n错位相减法求和例2 数列an的前n项和Sn= kcn k(其中c, k为常数)，且a2= 4, a6= 8a3. 求an；(2)求数列nan的前n项和T2等比数列an的前n项和为S,且满足S= 3n+ k.求k的值及数列an的通项公式；(2)假设数列bn满足=(4 + k)anbn，求数列bn的前n项和Tn.Tn=.裂项相消法求和例 3数列an的前 n项和为 S, ai= 1, Sn= nan n(n 1)( n N*) (1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn=，求数列bn的前n项和Tn.3.在等比数列an中

13、，a>0, n N,且a3 = 8,又a1、a§的等比中项为16.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn = log 4an，数列bn的前n项和为S,是否存在正整数 k,使得+ + + + <k对任意nN恒成立.假设存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由.【课后练习题】1.数列an的前n项和Sn=n26n,那么|an|的前n项和T；=()2 2A. 6n nB. n 6n +182 .假设数列an满足 a1 = 2 且 an + an1 = 2 + 2, S 为数列an的前 n 项和，那么 log 2( S012 + 2)=3. 递增的等比数列an满足：a2 + a3 + = 28,且a3 + 2是a2, 的等差中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 假设 bn= anlog an, S = b1 + b2+ + bn,求 S.4. an是公差不为零的等差数列，a1= 1,且a, as, a9成等比数列.(1)求数列an的通项；求数列2 an的前n项和S.S= 2n+1-2.32. 设函数f(x) = x ,在等差数列an中