高中数学常用公式及定理

1、高中数学常用公式及定理1熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。2所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。1.元素与集合的关系：x A xCu A, xCU Ax A.2.德摩根公式：Cu(AIB) CuAUCuB;Cu(AU B)Cu AI Cu B .3.包含关系Al B A AUBBA BCu BCu AAl CuBCuA U B R4. 容斥原理card(AUB) cardA cardB card (Al B)card(AUBUC) cardA cardB cardC card (Al

2、B)card (Al B) card (Bl C) card (C I A) card (Al Bl C).5. 集合佝旦丄，的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非 空的真子集有2n 2个.6. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f(x) ax2 bx c(a 0) ;(2) 顶点式 f(x) a(x h)2 k(a 0);(3)两根式 f (x) a(x x1)(x x2)(a0).7. 解连不等式N f(x) M常有以下转化形式：N f(x) M f (x) M f(x) N 0 ;8. 方程f(x) 0在(kk2)上有且只有一个实根,与f(kj

3、f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2 bx c 0(a0)有且只有一个实根在(?*2)内,等价于“ f(kjf(k2)0 或“ f(kj 0 且 K 卫 匕 邑或“ f(k2) 0 且k1 k2 P k2 2a 22 2a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x 处及区间的两2a端点处取得，具体如下：当a>0时，假设x假设x当a<0时，假设x假设xb2ab2ab2a匕2af(m) 0 f(n) 0 m p2(3)方程f(x)0在区间(，n)内有根的充要条件为f(n)2p0或卫24

4、qr,bp,q，那么 f(x)f(x) max max f(p), f(q);2ap，q，f(x) max max f(p), f(q) ，f (x) min min f (p), f(q).p,q，那么 f (x)min min f (p), f (q);P,q，那么 f(x)max max f (p), f (q)， f (x)minmin f (p), f (q)10. 一元二次方程的实根分布依据：假设f(m)f (n) 0，贝U方程f (x) 0在区间(m, n)内至少有一个实根.设 f(x) x px q，贝Up2 4q 0 (1)方程f (x) 0在区间(m,)内有根的充要条件为f

5、(m) 0或_p m .2 f(m) 0f (m)0(2 )方程f (x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f (m) f (n) 0或f(n) 0 或p2 4q 0m 卫n2f( n) 0f (m)0pmnf(n) 011. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:(1)在给定区间()的子区间L (形如不同)上含参数的二次不等式f (x,t)0 ( t为参数)恒成立的充要条件是f (X,t)min0(x L).(2)在给定区间()的子区间上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f (x,t )man0(x L).(3) f (x)ax4 bx2c 0 (a0)

6、恒成立的充要条件是_b_2ac 0上02a212. 真值表pq非pp或qp且q直/、直/、假直/、直/、直/、假假直/、假假直/、直/、直/、假假假直/、假假13. 常见结论的否认形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有n 1 个小于不小于至多有n个至少有n 1 个对所有x，成立存在某X ,不成立p或qp且q对任何X ,不成立存在某X,成立p且qp或q14.四种命题的相互关系假设非p那么非q互逆假设非q贝U非p1充分条件：假设p q ,那么p是q充分条件.(2) 必要条件：假设q p，那么p是q必要条件.(3) 充要条件：假

7、设p q，且q p，那么p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然16. 函数的单调性设 x2 ab,% x2那么(X1x2)f(xj f(X2)0f (X2)0f (x)在 a,b上是增函数；xX2(X1X2)f(xj fg)0f(X1)f (X2)0f (x)在a,b上是减函数.X1X2设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f (x)0 ,那么f (x)为增函数；如果f (x)0，那么f (x)为减函数.17. 如果函数f(x)和g(x)都是减函数,那么在公共定义域内,和函数f(x) g(x)也是减函数；如 果函数y f (u)和u g(x)在其对应的定义域

8、上都是减函数，那么复合函数y fg(x)是增 函数.18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19. 假设函数yf (x)是偶函数，贝U f (x a) f ( x a)；假设函数y f(x a)是偶函数，贝U f (x a) f ( x a)，并且y f (x)关于x a对称.20. 对于函数y f (x) ( x R), f (x a) f (b x)恒成立,那么函数f (x)的对称轴是函数 x - b ;两个函数y f(x a)与y f (b

9、x)的图象关于直线x -对称.2 221. 假设f (x) f ( x a),那么函数y f (x)的图象关于点(a ,0)对称；假设f (x) f (x a),那么函2数yf(x)为周期为2a的周期函数.22. 多项式函数P(x) anXn an用1 La°的奇偶性23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称 f(ax) f (a x)f(2ax) f(x)函数yf(x)的图象关于直线xa b对称 f(a2mmx) f (b mx)f (ab mx) f (mx)24.两个函数图象的对称性(1) 函数y f (x)与函数y f( x)的图象关于直线x

10、 0(即y轴)对称. 函数y f(mx a)与函数y f(b mx)的图象关于直线x a b对称.2m(3)函数y f(x)和y f 1(x)的图象关于直线y=x对称.25. 假设将函数y f (x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f (x a) b的图象;假设将曲线f (x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f (x a, y b) 0的图象.26. 互为反函数的两个函数的关系：f(a) b f 1(b) a .27. 假设函数y f (kx b)存在反函数，那么其反函数为y 1 f 1(x) b,并不是y f 1(kx b),而kA函数y f 1(kx b)是y - f

11、(x) b的反函数.k28. 几个常见的函数方程f(x) f(y), f (1) c.(1)正比例函数f(x) cx,具有性质：f (x y)指数函数f(x)ax,具有性质：f(xy) f(x)f(y), f(1) a0.(3) 对数函数f(x)logax,具有性质：f(xy) f (x) f(y), f(a)1(a0,a 1).(4) 幕函数 f(x) x ,具有性质：f(xy) f(x)f (y), f'(1).(5) 余弦函数f(x)cosx ,正弦函数 g(x)si nx，具有性质：f(xy)f (x) f(y)g(x)g(y),f (0)1,1汁型 1.x 0 x29. 几个

12、函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) f(x a)，那么 f(x)的周期 T a ;1f(x)(f(x) 0),那么 f(x)的周、 1 、f (x)或 f (x a)(f (x)0)或 f (x a)期 T 2a ； f(x a),(f(x) 1)，那么 f(x)的周期 T 3a;1 f (x) f(x! X2)且 f(a) 1(f(xJ f(X2) 1,0 |X! X2I 2a),1 f(X1)f(X2)那么f(x)的周期T 4a ;(5) f (x a)f (X) f(x a)，那么 f (X)的周期 T6a.30.分数指数幕m(1) an nam(a 0, m, n N，

13、且 n1 )； am一1厂nm ( a 0,m, nN，且 n 1)an31.根式的性质(1)(;a)na. (2)当n为奇数时，n na a;当n为偶数时，孑|a| a,a 0a, a 032. 有理指数幕的运算性质(1) ar as ar s(a 0,r,s Q) ; (2) (ar)s ars(a 0, r, s Q) ; (3) (ab)r arbr(a 0,b 0,r Q)33. 指数式与对数式的互化式logaN bab N (a 0,a 1,N0).34. 对数的换底公式log a N logm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0). logma推论 log

14、ambn loga b( a 0,且 a 1, m, n 0,且 m 1, n 1, N 0). m35. 对数的四那么运算法那么假设 a>0, a 1, M0, N>0,贝U(1) loga(MN) loga M loga N ;(2) loga loga M loga N ；(3) loga M n nloga M (n R).N36. 设函数 f(x) logm(ax2bx c)(a 0)，记 b2 4ac.假设 f(x)的定义域为 R,那么 a 0,且 0 ;假设f(x)的值域为R,那么a 0,且 0.【对于a0的情形，需要单独检验.】3, n 1SnSi 1, n 237

15、. 平均增长率的问题38. 数列的通项公式a与前n项的和S的关系a39.40.41.42.43.44.45.46.47.等差数列的通项公式：an印(n 1)d dn a! d(n N*)；其前n项和Sn公式为：Snn(ai a.)2n(n 1)d即2 (ai如.等比数列的通项公式：n 1a1n .an ag q (n N );q其前n项的和公式为：n、§i(1 q) q 1a1 anq q 1Sn1 q ，或 Sn1 q 'n a1,q 1nai,q 1等比差数列an : an 1qan d, a1b(q 0)的通项公式为anb (n 1)d,q 1bqn (d b)qn 1

16、 d用待定系数法来求】,q 1q 1常见三角不等式假设x (0,i)，那么sinxx tan x ； (2)假设 x%)，那么 1 sinx cosx 2.(3) |sinx| |cosx| 1.同角三角函数的根本关系式:2 sincos21 ，tan=sin ， tan cot 1. cos正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变,符号看象限。sin© )(n1)2 sin , n为偶数n 11)2 cos , n为奇数ncos(-2n1)2cos , n为偶数n 11) 2 sin , n为奇数和角与差角公式sin()sincos cos sin;cos(coscos msi n sin

17、tan()tan1 mta ntantanasinbcos、a2b2 sin()(辅助角所在象限由点(a, b)的象限决§ ). a二倍角公式sin 2 2sin cos2 2 2 2sin 2cos 11 2sin ;2ta ntan221 tan2三倍角公式sin 33si ncos34costan33ta n14si n3tan33tan23cos4sin sin( )sin( );334cos cos( )cos( );33tan tan(3叫48.三角函数的周期公式函数y sin( x函数y tan( x)及函数y cos( x )的周期T 2I I的周期T |49.正弦定

18、理：-sin Ab csin B sin C2R R为 ABC的外接圆半径50. 余弦定理2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2bccos A ； b c a 2ca cos B ； cab 2abcosC .51. 面积定理111 亠(1) Sah-bhbch=(ha、入、hc分别表示a、b、c 边上的高).2 2 21111 Iuuuuuu_2mu uuu 2(2) S -absi nCbcs in Acas in B ； (3) S oab 2 J|OA| |OB|) (OA OB).52. 三角形内角和定理在厶 ABC中，有 ABCC (AB) C -2C 22( A B).

19、2 2 253. 简单的三角方程的通解sin xakx k ( 1) arcsina(kZ,|a| 1)cosxax 2k arccosa(k Z,|a| 1).tan xax karcta na(k Z,aR).特别地,有sinsink ( 1)k (k Z).coscos2k(k Z).tantank(k Z).54. 实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么1结合律：入卩a=入卩a;2第一分配律：入+卩a=入a+卩a； 3第二分配律：入a+b=入a+入b.55. 向量的数量积的运算律：(三个向量的数量积不满足结合律)a b= b a (交换律)；(2) ( a) b= (a b) =

20、 a b= a ( b); (3) (a+b) c= a c +b c.56. 平面向量根本定理如果ei、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只 有一对实数入1、入2,使得a=X e+入2e2.不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.57. 向量平行的坐标表示设 a=(xi, yi), b=(x2, y2)，那么 a/ b xy x?% 0.53. a与b的数量积(或内积)a b=| a| b|cos 0.58. a b的几何意义：数量积a b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘 积.59. 平面向量的坐标运算

21、(1)设a=(x1,yj ,b=(X2,y2)，那么 a+b=(xX2y?). 设a=(xi,yi),b=(x2,y2)，那么 a-b= (xX2, yiy?).ujur uju mu 设 A(xi,yj，B(X2,y2),那么 AB OB OA (X2 心2 yi).设 a=(x, y), R，贝U a=( x, y).(5)设 a=(xi,yi) , b=(X2,y2)，那么 a bfx? yy).60. 两向量的夹角公式cos=弘2 yy(a=(Xi,yi),b=(X2,y2).i2 2 f2 2.Xi Yi .、X2 Y261. 平面两点间的距离公式uuu /uurn uuu /22d

22、A,B = | AB | . AB AB, (X2 Xi)(Y2 Yi) (A (捲，yj，B(X2, y?).62. 向量的平行与垂直设 a=(xi,yi), b=(x2, y2)，贝U63. 线段的定比分公式uurumr设R(xi,%), P2(X2,y2), P(x,y)是线段RF2的分点, 是实数，且RPPF2，那么xXlX2uuuOpcUuuuuuuuuLr11OPJ OP tOPi (1 t)OR ( t ).y / 上11164. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为A(Xi，y J、B(X2，y 2)、C(x3，y 3),那么厶ABC的重心的坐标是x1X2X3y11

23、y2y33).G(；3365.点的平移公式1x x hX1Xhuur1uuuuuir1OPOPPPy y kyyk, uuu注：图形F上的任意一点P(x， y)在平移后图形F上的对应点为P (x , y )，且PP的坐标 为(h,k).66.“按向量平移的几个结论(1) 点 P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点p'(x h, y k).(2) 函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,那么C的函数解析式为y f (x h) k.(3) 图象c'按向量a=(h,k)平移后得到图象C ,假设C的解析式y f(x),那么c'的函数解析 式为 y

24、 f (x h) k .曲线C : f(x,y) 0按向量a= (h,k)平移后得到图象c',那么C'的方程为f (x h, y k) 0. 向量n=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y).67.三角形四“心向量形式的充要条件，设 O为ABC所在平面上一点，那么uuu 2uuu 2 uuur2(1) O为ABC的外心OAuuuOB OC . iuu uur r(2)O为ABC的重心OAOB OC 0.uuuuuuiuu uur uur uuu(3) O为ABC的垂心OAOB OB OC OC OA.uur1 uuuuurr(4)O为ABC的内心

25、aOA bOB cOC 0.( a,b,c为角 A, B,C 所对边长)68.常用不等式:(1) a,b Ra2 b2 2ab(当且仅当 a= b 时取“=号).(2) a,b R .口 ,b(当且仅当a= b时取“二号).2(3) a3b3c33abc(a0,b0, c 0).(4) 柯西不等式(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,d R.(5) ab ab ab .69.x,y都是正数，那么有(1) 假设积xy是定值p，那么当x y时和x y有最小值2 p ；(2) 假设和x y是定值s,那么当x y时积xy有最大值-s2.470. 一元二次不等式 ax2 bx c

26、0(或 0) (a 0, b2 4ac 0)，如果 a 与 ax2 bx c 同号,那么其解集在两根之外；如果a与ax2 bx c异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间x-1 x x2(x xj(x x2) 0(x-|71. 含有绝对值的不等式当 a>0时，有 x ax2a"72. 无理不等式f(x) 0(-)一 f(x) .g(x) g(x) 0 f(x) g(X2) ； xx-,或xX2(x x1)(x x2)0(为x2).2 2x axa或xaf(x)0f (x)0 .g(x)0或2g(x)0f(x)g(x)a x a ； x a；(2). f(x

27、) g(x)_f(x) 0(3) . f (x) g(x) g(x) 02f(x) g(x)73.指数不等式与对数不等式f(x) 0(1)当 a 1 时,af(x) ag(x) f(x) g(x) ； logaf(x) logag(x) g(x) 0f(x) g(x)f(x) 0当 O a 1 时,af (x)ag(x)f (x) g(x) ； logaf(x) loga g(x) g(x) 0f(x) g(x)74.斜率公式：ky2X2y1%(R(X1,y1)、卩:化皿).75.直线的五种方程(1)点斜式yy1k(x X1)(直线1过点P(X1, yj，且斜率为k).(2)斜截式ykxb (

28、b为直线1在y轴上的截距).(3)两点式yy1-XL( y1y2)( P(x1,y1)、PJx2,y2)(为 x?)Y2Y1X2X1(4)截距式xy1( a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)ab(5)般式AxByC 0(其中A、B不同时为0).76.两条直线的平行和垂直(1)假设 i1：yk1x， I2: y k2Xb2 I1III2k1k：, bb：；购 1112k k：1假设 h：Ax B1y C1 0,I2：A2x B2y C2 0,且 A R、C2 都不为零, l1|l2邑 C1 ， li I2A1A2 BiB2 0 ；A2 B2 C277. 夹角公式：tan | 匹 '

29、|.( h : y k/ bi , l2: y k2x b> , k1k21)1 k2k1直线I1 I2时，直线11与12的夹角是.278. h 到 I2 的角公式：tan 匹 '( h : y Kx d， I2: y k?x b2, k1k21)1 k2k1直线l1 I2时，直线l 1到l2的角是一.279四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点Po(Xo,y°)的直线系方程为y y° k(x x°)(除直线x沧)，其 中k是待定的系数；经过定点F0(xo,yo)的直线系方程为A(x xo) B(y y。)0,其中A,B 是待定的系数.方

30、程为(Ax B° C1) (A2X B?y C2) 0(除J)，其中入是待定的系数.(3) 平行直线系方程：直线y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By 0( C)，入是参变量. 垂直直线系方程：与直线Ax By C 0 (A工0 ,0)垂直的直线系方程是Bx Ay 0,入是参变量.设直线I : Ax By C0 ,那么 Ax By假设B0 ,当B与AxByC同号时，当B与AxByC异号时，下.假设B0,当A与AxByC同号时，当A与AxByC异号时，在左.圆的四种方程(1)圆的标准方程(xa) (y b)2(2

31、)圆的一般方程x2y2 Dx Ey(3)圆的参数方程xa r cosyb r sin(4)圆的直径式方程(xxj(x X2)B(X2,y2)】.82.F(y圆系方程r2C 0或0所表示的平面区域是:表示直线I的上方的区域;表示直线I的下方的区域简言之,同号在上,异号在表示直线表示直线0(1)过直线I :AxBy0与圆C : x2I的右方的区域;I的左方的区域.简言之,同号在右,异号D2 E2 4F >0).yi)(y y2) 0【圆的直径的端点是Ay)、y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程是2 2x y DxEy(Ax By C) 0,入是待定的系数.80.点到直线的距离：d |Ax

32、0 2By02C|(点 P(X0，y°)，直线 I : Ax By C 0). A BAx By C 0或0所表示的平面区域81.过圆C1 : x2程是 x2y2DiXEiyF“(x2y2D?xE?yF?)0,入是待定的系数.84点与圆的位置关系，点P(x0, y0)与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种：假设 d . (a xo)2 (b y。)2，那么d r点P在圆外；d r 点P在圆上；d r 点P在圆内.r2的位置关系有三种：85.直线与圆的位置关系直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2d r 相离0 ； d r 相切r 相交0.其中dAa Bb

33、 C< A2 B286.两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O，Q，半径分别为r1, r2，O1O2ddr1 r2外离4条公切线；d外切3条公切线;r1dr1相交2条公切线；d内切1条公切线；内含无公切线.87.圆的切线方程(1) 圆x2 y2Dx Ey F 0 .假设切点(x°,y°)在圆上，那么切线只有一条,其方程是D(x0 x) E(y° y)F 0.当(x°, y°)圆外时,x°xy°y豊2 3 F 0表示过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y y k(x x°)，再利用相切条件求k

34、，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求b，必有两条切线.圆x2 y2 r2. 过圆上的P0(X0,y°)点的切线方程为x°x y°y r2 ； 斜率为k的圆的切线方程为y kx r . 1 k2 .1(a b 0)的参数方程是x a cos y bsi nx289.椭圆a24 1(a b0)焦半径公式:PRa exo,PF?exo.90 椭圆的的内外部2xa2 y b21(ab0)的内部2xoa2誥12222xayb21(ab0)的外部Xoayo1(1)点P(xo,y。)在椭圆(2)点P(xo,y。)

35、在椭圆91.椭圆的切线方程x2(1)椭圆-ya0)上一点P( xo, yo)处的切线方程是X°X 2ayoy 1盲1.(2)过椭圆2 y b21(a b 0)外一点P(xo, yo)所引两条切线的切点弦方程是XoXayoy 1 眉1.(3)1(ab o)与直线Ax ByC 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2.292.双曲线笃a2 y b21(a0,b 0)的焦半径公式:PF1 |aexo |，PF2|a ex |.93. 双曲线的方程与渐近线方程的关系2(1 )假设双曲线方程为笃a2 y b22渐近线方程：笃a2 y_ b2(2)假设渐近线方程为10 双曲线可设为b2 x2 a2

36、 y b22假设双曲线与笃a2 y b221有公共渐近线，可设为笃a2 y b20，焦点在x轴上;0，焦点在y轴上).94. 双曲线的切线方程2 2(1)双曲线务 占1(a 0,b 0)上一点P(x0, y0)处的切线方程是亨1.a ba b2 2(2) 过双曲线与占i(a 0,b 0)外一点P(xo,y。)所引两条切线的切点弦方程是a bxox y°y qa b2 2(3) 双曲线2 2 1(a 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A a B b c .a b95. 抛物线y22 px的焦半径公式抛物线y22 px( p 0)焦半径CF | x0过焦点弦长CDx, &a

37、mp; x2卫xq2 2296. 抛物线y2 2px上的动点可设为P(2pp2 .X2 P.y )或 P(2pt2,2pt)或 P(xo,yo)，其中 yO 2px0.97.二次函数 y ax2 bx c a(x )22a4ac b24a(a0)的图象是抛物线:(1)顶点坐标为4ac b2 14a(套窖)；(2)焦点的坐标为(佥叮；(3)准线方程是y98.抛物线的内外部(1)点P(x°,y°)在抛物线2y2px(p0)的内部2y2px(p0).点P(x°,y°)在抛物线2y2px(p0)的外部2y2px(p0).(2)点P(x°,y°

38、)在抛物线2y2px(p0)的内部2y2 px(p 0)点P(x°,y°)在抛物线2y2px(p0)的外部2y2 px(p 0) 点P(x°,y°)在抛物线2 x2py(p0)的内部2 x2py(p0).点P(x°,y°)在抛物线2 x2py(p0)的外部2 x2py(p0). 点P(x°,y°)在抛物线2 x2py(p0)的内部2 x2py(p0).点P(x°,y°)在抛物线2 x2py(p0)的外部2 x2 py(p 0)96.抛物线的切线方程(1) 抛物线y2 2px上一点P(x0,y&#

39、176;)处的切线方程是y°y p(x x°).(2) 过抛物线y2 2px外一点P(x°,y0)所引两条切线的切点弦方程是y°y p(x x°).3抛物线寸2pxp 0与直线Ax By C 0相切的条件是pB2 2AC .97. 两个常见的曲线系方程1过曲线fix, y 0, f2x, y 0的交点的曲线系方程是fix, yf2x, y 0为参数2 2共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程 邛 4 1,其中k maxa2,b2；a k b k当k mina2,b2时，表示椭圆；当min a2, b2 k max a2,b2时，表示双曲线.98.

40、直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB 応x22 y1 一"眇 或AB . 1疋区儿2|儿X2I.1tan2| %y2.1 cot2弦端点 AX1, ydBX2, y?，【为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率】.99. 圆锥曲线的两类对称问题1曲线Fx,y 0关于点Px0,y。成中心对称的曲线是F2x。x,2y。y 0 .2曲线Fx, y 0关于直线Ax By C 0成轴对称的曲线是F(x2A(Ax By C)227 yA2 B22B(Ax By C)A2 B20.对于一般的二次曲线100. "四线 一方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 ,用 x°x 代 x2

41、，用 y°y 代 y2，用x°y xy0代xy，用代x,用代y即得方程2 2 2Ax°x b纱绝 Cy°y D凶xEyF 0 ,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦2 2 2中点方程均可由此方程得到.101 证明直线与直线的平行的思考途径1转化为判定共面两直线无交点；2转化为两条直线同时与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.102. 证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.103. 证明平面与平面平行的思考途径1转化为判定两平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.

42、104. 证明直线与直线的垂直的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为该线与另一线的射影垂直;4转化为该线与形成射影的斜线垂直.105证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直； 2转化为该直线与平面内相交二直线垂 直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行； 4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 .106证明平面与平面的垂直的思考途径 1转化为判断二面角是直二面角； 2转化为线面垂直 .107. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律1 加法交换律： ab=ba2 加法结合律： ab c=abc 3数乘分配律：入a + b=入

43、a+入b.108. 平面向量加法的平行四边形法那么向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量 .109. 共线向量定理对空间任意两个向量a、bb0 , a / b 存在实数入使a= X b.uuuruuuruuur uuur uuurP、AB 三点共线AP |AB APtABOP1 tOA tOB .uuur uuru uuur uuurAB|CD AB、CD共线且AB、CD不共线 AB tCD且AB、CD不共线110. 共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对x,y,使p xa yb .

44、uuur uuur uuur推论：空间一点P位于平面MAB内的 存在有序实数对x, y,使MP xMA yMB ,uuur uuuur uuur uuur 或对空间任一定点 0,有序实数对x,y，使OP OM xMA yMB .uuur uuur uuur uuur111. 对空间任一点O和不共线的三点 A B、C,满足OP xOA yOB zOC x y z k ,那么当k 1时，对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面；当k 1时，假设O 平面ABC那么A、 B、 C 、P、A、B、C四点共面；假设O 平面ABC那么P、A、B、C四点不共面.D 四点共面uuur uuurAD 与 AB

45、uuur、 AC 共面uuurADuuurxABuuuryACuuuruuuruuuruuurOD (1x y)OAxOByOC ( O平面 ABC)112. 空间向量根本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y, z,使 p = xa+yb+ zc.推论：设O A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数u uuruumunrx，y，z，使 OP xOA yOB zOC .113. 射影公式uuu,向量AB =a和轴I，e是I上与I同方向的单位向量.作A点在I上的射影A，作B点在'' uuuI 上的

46、射影 B，贝U AB | AB |cosa，e=a e114. 向量的直角坐标运算设a1,a；,aa，b= ddba那么(1) a + b= (q b!,a； b；,a； b；); (2) a- b= ba； b；,a； b；);3入 a a1, a2, a；入 R； a b ab a2b2 氏;、uuu iuu uur115. 设人为，,乙，BX2,y2,Z2，那么 AB OB OA=区 为，y? %卫 乙.116空间的线线平行或垂直r rrr r rXX2r rr raPbab(b0)y1y2 ； a ba b 0X1X2y2Hz?0zz2117.夹角公式设 a = (ai, a2, a3

47、 ),b= (b|,b2,b3)，贝U cosa, baba2b2aabaa2 af.bi2 b2ba2推论(a1b1 a2b2 a3b3)2 (a|a； a/b； bf b；，此即三维柯西不等式118异面直线所成角cos |cos a,b |二问 住 y1y2 討Iai ibiz7 后y?z；其中0。90。为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量uju ir,AB mir119. 直线AB与平面所成角arc sin uuu d ( m为平面 的法向量).|AB|m|Lrrs ir r120. 二面角I 的平面角arccos mn或 arc cos m n( m， n为平

48、面， 的法向|m| n|m| n|量121. 三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且 BC丄AC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为! , AB与AC所成的角为2，A0与AC所成的角为.那么cos cos 1 cos 2.122. 空间两点间的距离公式uuu .iur uuu 222右 AXi, yi,Zi , BX2,y2,Z2，贝U dA,B=|AB| . AB AB .区 xj y? yj 乙123. 异面直线间的距离mur uurd 空12是两异面直线，其公垂向量为n , C、D分别是11,12上任一点，d为11,12间 |n|的距离.124. 点B到平面的距离uuu LUd |A&#

49、165; n| n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A .|n|125. 异面直线上两点距离公式：dh2 m2 n2 2mncos 为二面角E AA F的大小.两条异面直线a、b所成的角为B，其公垂线段 AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点 E、F，A'E m, AF n, EF d.r rr522 r r r r r r126. 三个向量和的平方公式：a bc2abc2a b2b c 2c a127. 长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为12、13，夹角分别为2 .2 .2 .2 2 2 2 2 . 2 . 2勺、2、 3,那么有 I I1 I2

50、 I3cos 1 cos 2 cos 3 1sin 1 sin 2 sin 3 2.128. 面积射影定理：S.cos平面多边形及其射影的面积分别是S、s'，它们所在平面所成锐二面角的为.129. 的半径是R,那么其体积V 4 R3,其外表积S 4 R2 .3130. 球的组合体1球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.2球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长，3球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为 _6a,外接球的半径12为总a4131. 体、锥体的体积V柱体Sh S是柱体的底面积、h是柱体的高V锥体-Sh S是锥体的底面积、h是锥体的高3132. 分类加法原理加法原理N m- m2 L mn.133. 分