高中数学线性规划题型总结

1、例1、设变量x、y满足约束条件 xx2x-y=2图2y表示 是满足条x例3、在约束条件yyy下，当3s4z 3x 2y的最大值的变化范围是()A. 6,15 B. 7,15 C. 6,8 解析：画出可行域如图3所示,当3 z 3x 2y 在 B(4s,2 s 4)处取s 5时，目标函数x2xD.7,84时， 最大5时,目标函数 值，即 目标函数 值，即y+3x=4Zmax 3(4 s) 2(2s 4) s 4 7,8);当 4 s z 3x 2y 在点 E(0,4)处取得最大 zmax3 0 2 4 8,故 z 7,8，从而选 D;点评：此题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目

2、标函数 数关系是求解的关键。X十尸Z关于S的函高考线性规划归类解析、线性约束条件，探求线性目标关系最值问题2x21，那么 z 2x 3y1的最大值为。解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18点评：此题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值 ，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。二、线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题x 1,例2、 x y 1 0,那么x2y2的最小值是 _.2x y 20解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而 x2 可行域内一点到原点的

3、距离的平方。由图易知A( 1, 2)件的最优解。x2 y2的最小值是为5。点评：此题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。xy0xy0xy0(A) xy0 (B)xy0(C) xy00x30x30x3解析：双曲线x2 y2 4的两条渐近线方程为 y四、平面区域，逆向考查约束条件。例4、双曲线x2 y2 4的两条渐近线与直线 x 区域，表示该区域的不等式组是()成一个三角形区域(如图 4所示)时有x y 0x y 00x3点评：此题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效

4、的方法。五、最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。1 x v 4例5变量x，y满足约束条件。假设目标函数2 x y 2z ax y (其中a 0)仅在点(3,1)处取得最大值，那么 a的取 值范围为。解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z其表示为 斜率为 a，纵截距为z的平行直线系 ，要使目标函数z ax y(其中a 0)仅在点(3,1)处取得最大值。那么直线y ax z过 A点且在直线x y 4, x 3 (不含界线)之间。即a 1 a 1. 那么a的取值范围为(1,)。点评：此题通过作出可行域，在挖掘a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立

5、满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解此题需要较强的基 本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。,B(2,0),C(-2,0).于六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题x y 20例6在平面直角坐标系中，不等式组x y 2 0表示的平面y 0区域的面积是()(A) 4.2 (B)4 (C) 2 2(D)2x y 20解析：如图6,作出可行域，易知不等式组x y 2 0表示y 0的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2)1 1是三角形的面积为：S 2|BCnaO1 2 4 2 4-从而选£。点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或局部求解是关键。七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员 x名，女职员y名，x和y须满足约5x 11y22,束条件2x 3y 9, 那么z 10x 10y的最大值是(A)802x 11.(B) 85 (C) 90 (D)95解析：如图7,作出可行域，由z 10x 10y y x ,10它表示为斜率为1，纵截距为10的平行直线系,要使z 10x 10y最得最大值。当直线11 9z 10x 10y通过A(,2)z取得最大值。因为 x,y N，故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(