高中数学涂色问题常用技巧

1、高 中 数 学 涂 色 问 题 常 用 技 巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用 的方法是两个计数原理一一分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是 等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面 涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法解析:按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法;1涂1,2,3只用了三种颜色，y4必须涂第四种颜色，有1种涂法,4种涂法。2例2、给如下区域涂色，有共有A：=24色，有多少种涂法四种颜色供选择,求一空涂一色,邻空不同解析：

2、颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理,法1：至少要用三色涂空3 2 1 2=48种涂法;3C41)恰用三色:2)恰用四色：同例1,有24种涂法。共有24+48=72种涂法。法2： 1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事， 做题时一定要区分。一、 区域涂色问题(一)、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类选择1, 31) 1，3同色，贝y 1，3有

3、C4种方法，2有C3种方法， 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，那么4有2种方法, 5有2种涂法，此时，共有4 3(2 2 2)72种方法。2) 1，3不同色，那么1，3有A种方法，2有C2种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，那么4有2种涂法，5有2种涂法，共有12 2 (2 2 3)=168种方法，综上所述，共有 72+168=240种涂法。法2:公式法共有35+3(-1 ) 5=240种方法。定理：用m种颜色(可选择)填圆形区域的n个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有(m 1)n ( 1)n (m 1)种。证明：如图

4、，设有an种不同涂法不妨把之剪幵，化为矩形区域，共有m(m 1)n1种涂法，但区域1、n不能涂同色，把1、n捆绑成一个空，有an-i种涂法，那么其中 a2 A； m(m 1)，设 bn，那么 b2 (m 1)m 11令 bn r - bn r，那么 r=1，m 1可知，数列bn 1是以b21 为首项，丄为公比的等比数列。m 1m 1这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色问题。例4(2003江苏)四种不同颜色涂在如下图的六个区域，且相邻两个区域不同色的涂法共有种。=30种涂法,261卜步计数原理，共有120开中涂法.4解析：依题意,颜色都要用上，属于丿要4种颜色，属于

5、保低色，可用公式先涂1:左图等价转化为右图4种方法；余下3色涂5个空(圆形)有(| 3-1)3假设用间空涂色，可这样同时，填这六5-1)341)涂1,有4种方法，余下3种颜色;2) 2、4同色，有C3种涂法；此时，3有2种涂法；5与3同色时，6有1种涂法(颜色要用完)；5与3不同色时，5有1种涂法，此时6有1种涂法，共有3 2 (1 1)12种涂法；2、4不同色，有A/=6种涂法；此时3有1种涂法；假设5与3同色，6有1 种涂法；5与3不同色，6有2种涂法(与 4,或3同色)共有6 1 (1 1 2 )=18种涂法;综上所述，由分步计数原理，共有120种涂法评析：分类讨论，种类繁多, 要做到不

6、重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能的，关键是要熟练 掌握。变式：2003全国一个行政区分为 5个区域，用4种颜色给地图涂色,要求邻居空不同色的不同涂色方法有种二、点涂色问题用等价转化思想把点涂色问题转化1，是做题的关键。例5、用4种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不伺色的涂法共有多少种P变式:，要求答案：C54 A：，或 c53:种涂法。共有4b( 1)3解析;A 一脚把点P踩(3 1)多少种三、线段涂色4BC平面，问题等价转化为给下列图涂色24种，即体的四个顶点涂P用等价转化思想把点涂色2不同色的涂法共，要求邻棱不同色的涂法共有多3 3)=120 种 AC6条棱涂问题转化为区域涂色

7、问题。例5、用6种颜色给四面体的少种解析：把图转化为:4分别同色,4有两对分别同色；3、有A 1恰用3色，那么1、；2、5； 3、B2恰用4色，那么1、6； 2、A2种涂法，共有433120种涂法;1、6； 2、5 同A" A；种涂法3恰用5色，贝y 1、6; 2、5; 3、4有1对分别同色，如1、6;贝V 3、4,2、5有A：种涂法，共有C4C3A：种涂法4恰用6色，有A6种涂法；综上所述：共有4080种涂法。评析，假设你很难转化为区域问题， 就不要转化，按线段的相对性可做。四、面涂色问题同上面说过的方法类似，能转那么转，否那么用面的相对性求解。例7、用6种颜色可选择给正方体的 6

8、个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同的涂法D'解析：图转1恰IA' 32恰用4化为jIII色，有a4b='24种；»I 色，有 C2 - A =C2-种-Z共有9A种/B五、恰用色与可选色的联系设保底色为涂法数为am，恰用色涂法数为an,那么可选色涂法数B=am+am+ +3n例8、用4种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有5解析：按要求涂色，最少要 3 种颜色保底色，用 3 色涂之， 1 有 3 种； 2有 2种；3有 1 种； 4与1同色时， 5有 2种，4与 2同色时， 5有 2种， 共有 C433 2 1 2 2 96 种涂法；4 色可选时，有 4 3 2 3 3 216 种；那么，恰用四色有 216-96=120 种。法 2：1、4 或 2、4 同色，