高中数学必修解三角形教案

1、2.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内 容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类 根本问题教学重点：正弦定理的探索和证明及其根本应用 教学难点：两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数教学过程：一、复习准备 ：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由的边和角求出未知的边和角，称为解三角形已学习过任意三角形的哪些边角关系？内角和、大边对大角量化？ t引入课题：正弦定理二、讲授新课：1.教学正弦定理的推导：是否可以把边、角关系准确特殊情况：

2、直角 三角 形中的正 弦定理:sin A= sinB= - sin C=1 即ccac=sin Ab csinB si nC能否推广到斜三角形?先研究锐角三角形，再探究钝角三角形当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是 CD根据三角函数的定义，有aCD asin B bsinA ,贝U sin Absin Ba同理，-si nA si nC思考如何作高？，从而sin Absin B sin C*其它证法：:等积法在任意斜ABC当中 S11abc= absi nC acsi nB22丄 bcsin A.2两边同除以丄abc即得:2sin A sinB sinCC ab ZBA c D证明二：外

3、接圆法如下图，/A=Z D, 色sin A sin DCD 2r ,同理=2R = 2Rsin Bsin CrULrULLT DLIID uuu证明三：向量法过 A作单位向量 j垂直于 AC,由AC + CB=AB边同乘以 单位向量j得正弦定理的文字语言、符号语言，及根本应用：三角形的任意两角及其一边可以求其他边；三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 2. 教学例题： 出例如1:在 ABC中， A 45° , B 60° , a 42cm,解三角形分析条件知两角一边T 讨论如何利用边角关系t示范格式t小结：已出例如2:ABC中, c 6,A 450,a2,求

4、b和B,C .分析条件t 讨论如何利用边角关系t示范格式t小结：两边及一边对角 练习： ABC中，b 3,B60°,c 1,求a和A,C .在 ABC中，a 10 cm, b 14 cm, A 40°，解三角形角度精确到1° ,边长精确到 1 cm 讨论：两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；两边及一边对角的讨论三、稳固练习：sin A sinB sinC1. ABC 中，A=60 ° , a 3，求 a b c.2. 作业：教材P5练习1 2 , 2题2.1.2 余弦定理一教学要求：掌握余

5、弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并 会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其根本应用教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备 ：1. 提问：正弦定理的文字语言？符号语言？根本应用？2. 练习：在厶 ABC中， c 10, A=45 , C=30，解此三角形 宀变式3. 讨论：两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在 ABC中，AB、BC、CA的长分别为 c、a、b.iLur uuu uuu/ AC AB BC ,niur iiirniiill uiiiilliui2 ill niriui2

6、 AC ?AC(ABBC)?(ABBC)AB2AB?BCBC22c 2accosB a .LUL2LLLLLLToLLL2AB 2| AB|?| BC|cos(180 B) BC即 b2 c2 a2 2accosB,试证： a2 b2 c2 2bccos A, c2 a2 b2 2abcosC.提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍用符号语言表示a2 b2 c2 2bccosA，等； 宀根本应用：两边及夹角 讨论：三边，如何求三角？.222t 余弦定理的推论：cosA 一 c，等 .2bc 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教

7、学例题： 出例如1 ：在 ABC中，a 2 3 , c 62 , B 600，求b及A分析条件t 讨论如何利用边角关系t 示范求bt 讨论：如何求 A?两种方法答案：b 2 2 , A 600 t 小结：两边及夹角在 ABC中，a 13cm , b 8cm , c 16cm，解三角形分析条件t讨论如何利用边角关系t分三组练习 t 小结：已知两角一边3. 练习： 在厶ABC中， a= 7, b = 10 , c = 6，求A、B和C. 在厶ABC中， a= 2 , b = 3, C= 82。，解这个三角形 .4. 小结： 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余 弦定理的特例；余

8、弦定理的应用范围：三边求三角；两边及它们的夹角，求 第三边 .三、稳固练习：1. 在 ABC中,假设 a2 b2 c2 be，求角 A.(答案：A=12O°)2. 三角形 ABC中，A= 120 ° , b = 3, c = 5,解三角形.t 变式：求 sin Bsin C； sin B sin C.3. 作业：教材 P8 练习 1、 2(1)题 .2.1 .3正弦定理和余弦定理练习教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式 教学重点：熟练运用定理 .教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相

9、互转化教学过程：一、复习准备 ：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式2. 讨论各公式所求解的三角形类型二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：出例如1:在厶ABC中，以下条件，解三角形(i )A=-,a = 25, b= 502 ;(ii ) A= , a= 25 2 , b =66502 ;(iii ) A =c50 6,a =b= 50 2 ;(iiii ) A= , a= 50 , b =636502.分两组练习t讨论：解的个数情况为何会发生变化?用如以下图示分析解的情况.A为锐角时边a,b和 ACCCa<CH=bs inA无解a=CH=bsi nACH=bs in Avav

10、b仅有一个解有两个解HB*a b仅有一个解练习：在厶ABC中，以下条件，判断三角形的解的情况2 ii )A=, a = 25 , b= 10、. 232 (i ) A=,a = 25 , b= 50、2 ；(3例1.根据以下条件，判断解三角形的情况(1) a = 20, b = 28, A= 120 ° .无解 a = 28, b = 20 , A = 45 ° 一解 c= 54 , b = 39 , C = 115 ° 一解 b = 11 , a= 20, B = 30°两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用： 出例如 2：在厶ABC中， sin A：

11、 sin B： sin C=6 : 5 : 4，求最大角的 余弦分析：条件可以如何转化？ t角引入参数k，设三边后利用余弦定理求出例如3 :在 ABC中，a= 7, b= 10, c = 6，判断三角形的类型分析：由三角形的什么知识可以判别?断t求最大角余弦，由符号进行判a2b2c2A是直角AB是直角三角形结论：活用余弦定理，得到:a2b2c2A是钝角AB是钝角三角形a2b2c2A是锐角AB是锐角三角形 出例如4 : ABC中，bcosC ccosB，试判断厶 ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？t 再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关

12、系如何互化sin Asin B三、稳固练习:1. a、b ABC的边，A、B分别是a、b的对角,的值2. 在厶 ABC 中，sin As in B：si n C= 4:5:6 ，那么 cos A：cos B：cos C=.3. 作业：2.2三角形中的几何计算一、设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的 几何计算问题中有着广泛的应用。对于本节课你想了解哪些内容？1怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题？2处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题？二、解疑合探例一：如下图，在梯BCA 30， ADB形ABCD 中，AD | BC，AB45 求BD的长.5, AC9,

13、例二：如下图， 在四边形ABCD中，AD CD,AD 10，AB 14， BDA 60， BCD 135，求 BC的长。答案：BC 8.2例三：如下图， 圆0的半径是1,点C在直径AB的延长线 上, BC 1,点P是圆0上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD ,且点D与圆心分别在PC的两侧。1 假设 POB，试将四边形OPDC的面积y表示成 的函数；2求四边形OPDC面积的最大值。例五：如下图，在等腰 ABC中，底边BC 1, BD交AC于D,求BD的取值范围。底角B的平分线解： ABC C, A 180BDC A ABD 18022 ABC ,ABC ABC2180- ABC2在B

14、CD中，由正弦定理，得BDsin CBC ,即 BDsin BDC ' sin ABCsin (1801ABC)2BDsin ABC3sin( ABC)2ABCABC2 sin? cos L2ABC sin ABC ? cos 2c ABC2 cos 一 22 ABC d4 cos1。22" ABC4 cos 2cos ABC ?sin ABC21ABC cos 2ABC2ABCcos 245 ,1,BD的取值范围为四、运用拓展1在 ABC 中，A 60 , ABABC的外接圆和内切圆的半16,径。S abc 220 3,求 BC及答案：BC 49, R宁，113 r3A2在

15、 ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且B 2A, 求b的取值范围。a答案：b的取值范围是1,2a§ 3解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。3、培养和提高分析、解决问题的能力。教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。教学过程、复习引入1 、正弦定理:sin A sin B2R sin C2 、余弦定理:b2 c22bccosA,b2 c2 a2cos A -2bcb22ca cosB,cosBc2 a2 b22cac

16、2a2b22abcosCcosC2ab二、例题讲解引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在 C岛，从A岛望C岛和B岛成60 °的视角，从B岛望C岛和A岛成75 °的视角，为提高炮弹命中率,须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。解：A 600 B 750 C450A 600由正弦定理知10帀sin 600 sin 45°0BC5.6海里750例1 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度如图.车厢的最大仰角为60 °，油泵顶点 B与车厢支点 A之间的距离为 1.95m , AB与水平线之间的夹角为60020/ , AC长为1.

17、40m，计算BC的长保存三个有效数字分析：这个问题就是在ABC中， AB=1.95m , AC=1.4m,BAC 606 20' 66 20求BC的长，由于的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BCo解：由余弦定理，得2 2 2BC AB AC 2AB AC cos A1.952 1.402 2 1.95 1.40 cos66 20'3.571BC 1.89(m)C答：顶杠 BC长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性

18、质，将和未知集中到一个三角形中解决。练1.如图，一艘船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看灯塔 S在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上，求灯塔S和B处的距离.保存到0.1 解：AB 16由正弦定理知ABsin 450BSsin 200BS 曲“ *7.7海里sin 450答：灯塔 S和B处的距离约为7.7海里例2.测量高度问题如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的C, D两处，测得烟囱的仰角分别是45°和60°, C、D间的距离是12m.测角仪器高1.5m.求烟囱的高。图中给出了怎样的

19、一个几何图形？什么，求什么?分析：因为 AB AA A B，又AA1.5m所以只要求出A,B即可解：在 BC1D1 中,BD1C1180060° 120°,C1BD1600° 04515由正弦定理得:BC,sin G BD1sin BDGBC1Ci D1 sin sin C1BD1C1BD112si n12O0 sin 150(18、S6j6)m从而：A1B22BC1186、运 28.392m因此：AB ABAA,28.392 1.529.89229.89m答：烟囱的高约为29.89m练习：在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角600,点A的俯角450,铁塔BC局

20、部高32B =600I在塔底C处测得32米，求山高 CD。解：在 ABC 中，/ ABC=30°,=45/ ACB =135 ° ,/ CAB =180 ° - ( / ACB+Z ABC)=180 ° - (135 ° +30 ° )=158又 BC=32,由正弦定理BCACsin BACsin ABC得：ACBCsin ABCsin BAC32 s in 30°sin 15°6 .2 16'6 2m课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法

21、。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清与所求，根据 题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：解三角形检验答正弦定理余弦定理综合应用一、知识梳理1 .内角和定理：在 ABC 中，ABC ； sin( A B) sin C ；cos(A B) cosC面积公式S ABC absin C2bcsin A2acsin B2在三角形中大边对大abc2R形式一:sin Ai sin Bsin C(解三角形的重要工具)a2Rsin Ab2Rsin B形式二:c2Rs inC(边角转化的重要工具)形式三:a : b: c

22、sin A:si nB:si nC形式四abcsin A,sini B,sin C2R2R2R角，反之亦然2正弦定理： 在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c2 2bccos Ac2a2 2ca cosB2 2a b 2ab cosC(解三角形的重要工具cos A.2 2 2 2b c ar acosB c2b22bc2accosC2ab二、方法归纳abc(1)两角A、B 与一边 a,由 a+b+C- n及 si nAsin BsinC，可求出角c,再求b、c.(2)两边b、2 2

23、2c与其夹角 A，由a =b + c -2 b ccosA，求出a ,再由余弦定理，求出角B、C.(3)三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab(4)两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sin Asin B，求出形式二:另一边b的对角B,由C=n -( A+B)，求出c,再由si nA si nC求出c.而通过si nAsinB求b时，可能出一解，两解或无解的情况a = b sinA 有一解b>a>b sinA 有两解 a > b 有一解a >b有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例 1】在 ABC中，假设b5 ,B -4,sin A1-,

24、那么35血a.3【例2】在厶ABC中，a =3, b =、.2 ,B=45 °,求A、C和c.【适时导练】1. ( 1 ) ABC 中，a =8,B=60 °,C=75 °,求b;(2) ABC 中，B=30° ,b =4,c=8,求 C、A、a.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC的内角 A、B、C所对的边分别为a、b、c. a 1，b 2， cosCi求 ABC的周长；n求cos A C的值.【例4】2021重庆文数设ABC的内角A、B、C的对边长分别为 a、b、c,且 3b2 +3c2-3 a2=4 , 2 b c .(i )求sinA的值

25、;2sin(A -)sin(B C(n )求41 cos2A4)的值.【适时导练】2 在厶ABC中，a、bc分别是角 A, B, C的对边，且cosB =_ bcosC 2a c1求角 B的大小；2假设b= 13 , a + c=4，求 ABC的面积问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】(2021山东文数)在ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a , b ,c. cosA-2cosC = 2c-a【例6】(2021全国卷I理)在ABC中，内角A B、C的对边长分别为 a、22b、c,a c2b，且 sin AcosC3cosAsinC,求 bcosBb(I)求空2的值；sin A卄1(II)右cosB= 4，ABC的周长为5，求b的长。3. 在厶ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且 8 sin 2B C 2 cos22A= 7.(1)求角 A的大小；(2)假