数学竟赛培训资料(理工)

1、数学竟赛培训资料(理工)第一讲 函数与极限（一）内容要点及重要方法提示1.不等式与有限和公式: 1. 对n个正数式中的三项依次称为这些正数的调和平均数、几何平均数与算术平均数.2. 对n个实数3. 对2n个实数4. 若0a>-1,且整数n>1,则有5. 若实数均大于-1且同号,则6. 对任意实数x有且等号成立当且仅当x=0 ;若7. 8. 9. 10. 11. 12.13. 14.2.函数,复合函数与变量替换.例1.1.设函数f(x) =，fj(x) = 1- x，且j(x)³0，求j(x) . (1990北京理工大学竞赛)解. 因3.简单函数方程的求解.一般通过变量替换

2、,从方程得到关于f(x)、fg(x)等的方程组,然后解出f(x) .例1.2.求满足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函数f(x),其中f(0)=a与f(p/ 2)=b为已知常数 .解. 以(x, y)=(0,u),(u+p/ 2,p/ 2),(p/ 2, u+p/ 2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+p)的方程组,然后解出f(u) = a cos u + bsin u ,即有f(x) = a cos x + bsin x .4.数列与函数极限的存在准则: (1)夹挤准则. (2)单调有界收敛准则. (3)柯西收敛准则.例1.3.设存在，并求其值.分析.给定数

3、列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛 .对于这种数列仍可应用单调有界准则.解.首先易见命题1.1. 若命题1.2.设例1.4. 设解.5.幂指函数的极限. 命题1.3.在某变化过程中,函数f(x)为无穷小量, g(x) 为无穷大量,limf(x)g(x)=b, 则命题1.4. 在某变化过程中, f(x)与g(x), F (x)与G (x)均为等价无穷小(大),且f(x)>0 , g(x)>0, 例1.5.计算极限 解.令故原式=1.6.用洛必达法则与泰勒展开式计算极限.应用洛必达法则之前应注意: (1)先判断极限是否型;(2)通过分解、变量的等价

4、替换、析出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数; (3)可重复上述步骤. 应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.例1.6.设函数f(x)有连续的二阶导数,且解.因例1.7.若( )(A) 0 . (B) 6 . (C) 36 . (D) .解.用sin6x的泰勒展开式,知应选: C . 注.由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则 .7.无穷小、无穷大量阶的比较.(1)当正整数n®¥时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:(2)当实数x®+¥时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为:(3)当x®0时，下列各无穷小量

5、x :sin x , arcsin x , tan x , arctanx ,(4)设ar¹0，k为正整数，则x®0时: arx , (5)当x®¥时: 8.等价无穷小(大)量在极限计算过程中的替换：命题1.5.设函数f(x)可导，x®0时f(x).命题1.6.设在某个变化过程中,无穷小(大)量函数f(x)ab,a0b, r>0,s>0:(1)若s<r (r<s), 则f(x)+ g(x)b.(2)若r=s, a+b0,则f(x)+g(x)(a+b).命题1.7.在某变化过程中, f(x)、g(x)、F (x)与G (x

6、)均为无穷小(大)量,且f(x)g(x), F (x)G (x), g(x)G(x)0,=c是不等于1的数或,则对任何变量u(x),有limu(x)(f(x)F(x)=limu(x)(g(x)G (x) .例1.8.当x®0+时,与等价的无穷小量是(A)1 (B) (C) (D) (2007研招一)解.ln(1+x)x , ,应选: B .例1.9. 计算极限(2001天津竞赛理工) 解.例1.10.设f(x)=则当x®0时，( )(A) f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小. (B) f(x)与g(x)为等价无穷小. (C) f(x)是比g(x)更高阶的无穷小. (D)

7、 f(x)是比g(x)更低阶的无穷小.解.因x®0时知应选: A .9.运用导数与定积分定义计算极限.例1.11.设函数f(x)在点a可导,解.原式=,令于是原式=0(n) ,原式=f (a) .例1.12.求= .解.原式=10.由包含参数的变量极限求参数的问题.例1.13.设函数,当x®0时的极限存在,求a的值 .解.11.曲线的渐近线.例1.14. 曲线渐近线的条数为(A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . (2007研招一)解.曲线有渐近线x=0, y=0 , y=x . 应选:D .12.多元函数的(多重)极限. 一般通过一元函数的极限来研究二(多)

8、元函数的极限,有时也可利用极坐标来研究二元函数的极限;通过两条不同路径考察函数的变化情况来验证二元函数的极限不存在 .例1.15.求极限:解.显然因此原式=0 . （二）习题1.1.填空题:(1)设函数f(x) =，则函数f(x¤2) + f(1¤x)的定义域为 . (2004天津竞赛理工)(2)设对一切实数x和y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且知= . (2003天津竞赛理工)(3)设f(x)=x+sinx , 则f(x)与其反函数的图象的交点是 . (4)设k > 0,且对每个x>0,函数f(x)满足= . (5)函数y = sin x|sin x

9、|(其中| x |£p/ 2)的反函数为 . (6)在x=0的附近与函数f(x)=sec x的差为的高阶无穷小的二次多项式为 .(7)设f(x)定义在(-¥,+¥)上, a、b为常数, 则曲线y=f(a+2x)+f(b-2x)关于直线x= 对称 .(8)设函数f(x) =, 则f(x)的定义域是 . (1996北京竞赛本科)(9)= .(1998北京竞赛本科)(10)若数列= .(11)当x®0时,a(x)=是等价无穷小,则k= .(12)= .(2003研招一)(13)= .(1996北京竞赛本科)(14)设数列= .(2000北京竞赛本科)(15)=

10、 ,其中a>0,b>0为常数,且a¹1,b¹1. (2002北京竞赛本科甲、乙)(16)已知函数f(x)在x=0的某邻域内有定义,且= .(17)若=2,则a= .(2000北京竞赛本科甲、乙)(18)曲线y=的斜渐近线方程为 . (2005研招一)(19)= .(20)设曲线y= f(x)与y=sinx在原点相切,则极限= .(2004北京竞赛本科甲、乙)1.2.单项选择题:(1)设(A)(B)(C)(D)(2)若f(x)与g(x)互为反函数,则fg (3x)¤2的反函数是 ( ) (A) gf (3x)¤2 . (B) f2g(x)

11、64; 3 . (C) g2 f(x¤ 3) . (D)2gf(x)¤ 3 .(3)定义在(-¥,+¥)上的下列函数中没有反函数的是 ( )(A)y=x+sinx . (B) y=x-sinx . (C) y=xsinx . (D)(4)若对一切实数x ,都有f(x)= -f(x+5) ,则曲线y= f(x) ( )(A)向左(或向右)平移10个单位后与原曲线重合 . (B)关于直线x=5/ 2对称 .(C)关于点(5/ 2,0)对称 . (D)关于直线y= x对称 .(5)下列函数中的非周期函数是 ( )(A)cos(sin|x|) . (B) (C)

12、 (D)(6)设数列则下列断言正确的是 ( )(A)若 (B)若 (C)若 (D)若(1998研招二)(7)若 (D)A、B、C均不正确 . (2001天津竞赛理工)(8)曲线y=的渐近线有 ( ) (A)1条 . (B)2条 . (C)3条 . (D)4条 . (2002天津竞赛理工)(9)曲线y=x+ ( ) (A)没有渐近线 . (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线 . (C)有一条铅直渐近线 . (D)有两条水平渐近线 . (2006天津竞赛理工)(10)设函数f(x)在(-,+)内单调有界,为数列,下列命题正确的是 ( )(A)若收敛. (B)若收敛. (C)若收敛. (D)若收敛

13、. (08研招一)1.3.设常数a¹0,求证:若f(x+a)=,或f(x+a) = ，则f(x)是周期函数.1.4.求函数f(x)=x+x , xÎ(-¥,+¥), 的反函数1.5. 解下列函数方程: 当x¹0,1时, f(x)满足方程f(x)+ f(1-1/ x)=1+x .1.6.给定下列函数f(x),定义1.7.设对每一对实数(x, y) ,函数f满足方程f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1, f(1)=1 .求整数n使f(n) = n1 .1.8.设定义在(-¥ ,+¥)上的函数f(x)满足f(x+T) = k

14、 f(x)，xÎ(-¥ ,+¥)，其中T与k¹1均为给定的正的常数,证明: 有正数a与以T为周期的函数j(x)使f(x) = j(x), xÎ(-¥ ,+¥) .1.9.试构造整系数多项式a+bx+c,使它在(0,1)内有相异实根,且a是满足条件的最小正整数 .1.10.证明: 若f(x)是单调增加函数，其反函数(x) º f(x)，则f(x) º x .1.11.计算极限: . 1.12.设1.13.设1.14.设1.15.(1)(2) (3)(4)(5)1.16.设1.17.设1.18.设1.19.求

15、证:1.20.设=0 . 1.21.设1.22.计算下列各极限:(1) (2) (3) (4) (5)(6) (08研招一)1.23.设f(x)=1.24.如果f(x)是(-¥,+¥)上的周期函数,且=0 . 求f(x) . 1.25.设x0+时函数f(x)是与x等价的无穷小量,且f(x)>x,试求极限1.26.设a, b是三维空间R上的两非零常向量,且|b|=1,(a, b)=3,求极限(|a+xb|a|).1.27.设f(x)在x=0的某邻域内有连续导数,且试求f(0)及f (0) . （三）习题解答或提示1.1. (1)x|1<|x|<2.(2)1&

16、#164; 2 . (3)(kp , kp ), kÎZ .(4) (5) (6)1+ (7)(b-a)/ 4 . (8)(- 1,1). (9)5 ¤ 2 . (10) 0 . (11)3 ¤ 4 . (12)(13)10ln3 .(14)1. (15) (16) e . (17) -4 . (18) (19)1 . (20) 1.2. D ,B,C,A,C, D ,D,B,B.(10)B正确. A的反例是f(x)= C与D的反例是f(x)=arctan x ,=n . 应选: B .1.3.证.(1)由f(x+a) =(2)由f(x+a)=f(x) = f(x

17、+4a), 故f(x)以4a为周期 .1.4.=x-m , 2m£x<2m+1, mÎZ . 1.5. 1.6.(1) nN .(2), 1.7.解.令y = 1，从原方程可得f(x+1) = f(x) + x + 2 ×××××××××××××××××× (1)由此递推式看出x为正整数时，f(x)为正，且f(x+1) > x + 2> x+1，再从0与负整数中求解，将x = 0

18、, -1, -2等代入(1)的等价式 f(x) = f(x+1) -(x+2) ×××××××××××××××××× (2)得f(0) = -1，f(-1) = -2，f(-2) = -2，于是有一解n = -2 . 此外还有f(-3) = -1，f(-4) = 1 .当x<-4时，-(x+2)>2，由(2)式可知f(x) > 0，不可能有f(x) = x .总之我们得唯一整数解n= -2 .1.8.证. 由k>0，T >0，可设a=且不难验证j(x)以T为周期.1.9.解.设a+bx+c=a(x-l)(x-m),0<l<m<1,整数f(0) f(1)=l(1-l)m (1-m)>0,二次三项式x(1-x)在x=12达到最大值14,故于是a > 4 .若取a = 5,则由0<lm = c/ a<1,0<l+m = -b/ a < 2,>4ac得c = 1，b = -5 .我们得多项式5-5x + 1,它完全满足条件 .而且可以通过枚