谈谈等腰三角形的存在性问题

1、谈谈等腰三角形的存在性问题等腰三角形的存在性问题一直是近年中考热点之一， 常由现在综合题中，属于难度大知识点覆盖面广的一种题 型，常用的解决方法有以下三种：方法一：几何法两圆一线”如下图，已知点 A、B和直线1,在l上是否存在点 P, 使以A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形， 若存在，有几 个符合条件的点P?方法：分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆， 然后作AB的中垂线，两圆和中垂线与 1的所有交点即为 P 点，共5个，如下图所示：方法二：分情况讨论法”题中给由的条件不明确，哪个是三角形的腰无法确定，这时要分不同情况求解，表示由三角形三个顶点A、B、P的坐标，再表示由线段 AB、B

2、P、AP的长度，分三种情况讨 论：AB=AP;BA = BP;PB=PA,分别列方程解由 坐标。方法三：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建 立等量关系求解。?在实战中，找点的位置和个数适合用第一种两圆一线” 法，第二、三种方法更适合求点的坐标。我们来研究今年山西的一道中考题：(1) 求A、 B、C三点的坐标；(2)试探究在点P的运动的过程中，是否存 在这样的点Q,使得以A , C , Q为顶点的三 角 形是等腰三角形 .若 存在，请直接写由此时点 Q的 坐标；若不存在，请说明理由.解析：第一问令y=0,求生方程的两个根，即可得到 A、B的横 坐标，进而可求得点 A、B的坐标，令x=0,得

3、y=-4 ,即可 得到C点的坐标，答案为：A(-3,0) , B ( 4, 0), C ( 0, -4).第二问求点的坐标，不妨选择 分情况讨论法”，解答如下： 依题意分3种情况求解：反思：分情况讨论法”的解答过程中，要经常用到勾股定 理，甚至是两点间距离公式，提醒大家注意。下面再举几个例子：【典例11在平面直角坐标系中，如下图， O为原点，已 知A (2,-1), P是x轴上的一个动点，如果以 P, O, A为 顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析：求点的个数就用 两圆一线”法，很容易得到答案， 如下图所示，符合要求的 P点共有5个。反

4、思：等腰三角形存在性问题，根据点的特征又可分为两 定一动型”和两动一定型工分情况讨论法”是通用的一种求 解方法，而 两圆一线”更适用于 两定一动型”的求交点位置 或个数的问题。【典例2】如下图，已知出BC中，/ C=90° , AC=3, BC=4, P、Q分别为 AB、BC上的动点，PB=CQ=x。求：当 x为何值时，4PBQ为等腰三角形？解析：本题是两个动点（P和Q） 一个定点（B）,需分3 种情况讨论： 当BP=BQ 时，易得 4-x=x x=2. 当PQ=PB时，如下图，过点 P作PMLBC于点M, 易证ABPMs BAC ,再由相似比可算由答案。当QP=QB时，如下图，则由

5、 BQMsBAC可得答 案。反思：当有两个点是动点，一个是定点时，需要分 3种 情况讨论，此时一般考虑后两种方法，而作等腰三角形底边 的高，由 三线合一 ”走相似路线一般很好使。? 求解点的坐标过程中，往往要用到勾股定理或者两点间距离公式，甚至要用上若两直线垂直则斜率的积为 -1 ”得到答案，而这些知识课本上是没有的，其实中考最后的 压轴题一般不需要过程，只需求由正确的答案即可，因此， 如果作为学有余力的同学，可以拓宽视野，适当掌握一些有 用的公式，也是必要的。以下是坐标系背景下的求解题可能用得上的3个公式,供参考： 线段的中点坐标公式：如果线段AB的两个端点坐标分别为 (x?,y?) ,(x

6、?,y?),中点M的坐标记作(x, y),则x =1/2(x?+ x?), y =1/2(y?+ y?)即线段的中点坐标等于它的两 个端点坐标之和的一半；若直线y?=k?x+b?与直线y?= k?x+b?互相垂直，则有 k? k?= 1 ；两点间距离公式：设A(x?,y?),B(x?,y?)是平面直角坐标系中的两个点 ，则【精 品练习题】1、如下图，在长方形 ABCD中，AB=4 , AD=10,点Q 是BC的中点，点 P在AD边上运动，若 ABPQ是腰长为5 的等腰三角形，则满足题意的点 P有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2、已知：如下图，线段 AB的端点A在直线l上，AB 与l

7、的夹角为60°,请在直线l上另找一点C,使2BC是等 腰三角形.这样的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个3、如下图，在 AABC 中，/ ABC=90 , AB=3cm , BC=4cm .动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速 度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s.求当t为何值时， 公PQ为等腰三角形？（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当APBC为等腰三角形时，求点P的坐标。【答案】1、B2、B （注意：特殊三角形作两圆一线时，有些点是重合 的）3、当t为1s或9/8s或15/17s时，出PQ为等腰三角形.（2）方法一：分别以点 B、C为圆心，线段 BC长为半 径作圆，交对称轴于点 P2、P3、P4、P5,再作BC的垂直平 分线交对称轴于点 P1,故符合要求的P点共5个，利用勾股 定理及已知的 B和C坐标，可求由 P2、P3、P4、P5,求P1 时需用中点坐标公式，以及两直线垂直其斜率的积为-1求得。方法二：通过二次函数解析式求生点 B、C的坐标；然后 利用勾股定理求得线段 BC的