大学线代数试题ppt课件

1、1一、是非、选择题一、是非、选择题:. ,1成立成立则下列结论中则下列结论中阶方阵阶方阵均为均为与与设设nBA;, 0)det( )(OBOAABA 或或则则; 0det, 0det, 0)det( )( BAABB或或则则;, )(OBOAOABC 或或则则. 0det, 0det, )( BAOABD或或则则. ),1 , 1 , 1 , 1(),0 , 1 , 0 , 1(),1 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 1(24321则它的极大无关组为则它的极大无关组为设设 ; , )( ;, )(32121 BA模拟试题;, , )( ; , )(4321421 DC2)

2、( )., 2 , 1(0,5) ( .,04) ( .,3)(2niaaAnAAxOAOAAniiijnn 则则正正定定阶阶实实对对称称矩矩阵阵若若组组线线性性无无关关的的列列向向量量则则只只有有零零解解若若齐齐次次线线性性方方程程组组则则满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵若若二、填空题（每小题二、填空题（每小题3分，共分，共12分）分）:2123112131(,)242 .f xxxxx xx x 二二次次型型的的秩秩为为则则且且阶阶方方阵阵为为设设, 2det,2 AnA1*1() 3AA 33(),det5,(2,34,5),det .AAABB 设设 阶阶方方阵阵 按按列列分分块块为为

3、，且且又又设设则则3*11004220,() .333AAA 设设的的伴伴随随矩矩阵阵为为则则200100722020,31100 , .AxByxy 已已知知矩矩阵阵与与相相似似则则22212312136 ,4222.tfxxxtx xx x 当当 取取值值为为时时 二二次次型型是是负负定定的的21235(0, ,)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1), k kkkkk 若若向向量量能能由由向向量量唯唯一一线线性性表表示示 则则 应应满满足足4三、三、:阶行列式阶行列式计算计算 n 121121121121121nnnnnnnnnaaaaaaaaDaaanaaaaan 四、四、.,

4、1500370000020024BBABAA求矩阵求矩阵且且设设 5五、五、组组取何实值时，线性方程取何实值时，线性方程 xxxxxxxx41433221.情况下求通解情况下求通解无解？在有无穷多解的无解？在有无穷多解的有唯一解，无穷多解，有唯一解，无穷多解，六、六、2 ,.AnAAAr 设设 是是 阶阶实实对对称称矩矩阵阵且且满满足足又又设设 的的秩秩为为.),2det(. 2; 01. 1阶单位矩阵阶单位矩阵是是其中其中求行列式求行列式或或的特征值为的特征值为证明证明nEAEA 6七、七、.,1221AAn求求设设 八、八、用正交变换化二次型用正交变换化二次型),(321xxxf.,844

5、552323121232221并写出所用的正交变换并写出所用的正交变换形形为标准为标准xxxxxxxxx 九、九、. det1,:.AAEA 设设 为为正正交交矩矩阵阵且且证证明明不不可可逆逆.11 ,: (1)0; (2).nAaaAa 设设阶阶可可逆逆矩矩阵阵 中中每每行行元元素素之之和和为为常常数数证证明明常常数数的的每每行行元元素素之之和和为为71 600 1 2; 2.; 3.100; 4. 1 31 30 21 21 21 2( 1)n 二二、模拟试题参考答案 1 ( ); 2.( ); 3.(); 4.(); 5.().BB一一、对对对对对对5.03; 6.2; 7.0,2 kk

6、txy 且且02002400 00130057 四四、1 !(1).nkknka 三三、8.,)1 , 1, 1 , 1()0 , 1 , 0 , 1(, 3)(,1)3( ;, 3, 4)(,1(2) ;,1(1) 任任意意通通解解为为多多解解有有无无穷穷时时当当无无解解时时当当有有唯唯一一解解时时当当五五、kkxrankABArankrankABArankTT 112233222123252 3 51 3154 3 52 3,05 3 52 310fyxyxxyyyy 八八、正正交交变变换换化化二二次次型型为为2111 2( 1)( 1)33( 1)( 1)33nnnnnnnnnA 七七、

7、9六六. .证证明明：10,.00ssEPAPEs 其其中中是是 阶阶单单位位阵阵 11 2= 2= 22EAPEA PEPAPE 从从而而2000020200rrrn rn rEEEEE .2rn 说明：说明：此题也可转化成求矩阵的所有特征值.22A 2AA 又又，AA设设 为为矩矩阵阵 的的一一个个特特征征值值， 为为 的的属属于于特特征征值值的的一一个个特特征征向向量量，则则A ，2 则则 20 0 又又 为为特特征征向向量量，显显然然，20故故，10. 即即或或,AP又又 是是实实对对称称阵阵 故故存存在在可可逆逆阵阵使使得得,Arr 又又 的的秩秩为为 ，则则 的的秩秩也也为为sr

8、从从而而10,.00rrEPAPEr 即即其其中中是是 阶阶单单位位阵阵10九九. .证证明明：1.TAAAE 由由 为为正正交交矩矩阵阵，则则 TTTTTAE AAAAEAEA 又又 TTAE AEA两两边边同同时时取取行行列列式式得得 TTAE AEA AEA 又又 TEAEA 0EA故故1112121222112.(1),nnmmmnaaaaaaAaaa 不不妨妨设设 11,2,nijjaain 则则依依题题意意有有11111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 则则111,111,111212,122,1211,1,11njjjnjnjjjnjnnn jnjn jnnjaaaaaaaaaaaaaaa 111,11,11212,12,121,1,1111jjnjjnnn jn jnnaaaaaaaaaaaaa 0AA 又又 可可逆逆, ,故故，0.a 从从而而12111,11,11212,12,121,1,1111jjnjjnnn jn jnnaaaaaaaaAaaaaa 又又11211122221121(2)nnijijnnnnAAAAAAAAaA