大象群落的稳定发展数模

1、if-答卷编号（克赛组委会填写）：答卷编号（克赛组委会填写h论文题目大象群落的穩定发展参赛以员：1.1x1：2. 陈光：3. 陈灵：优质资料大象群落的稳定发展幫要本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的夫象的大致年龄和性 别的貌廿悄况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的年龄結枸，针对不同悄况 给岀如何进行避孕注射以这到控制大象数量的目的。首先，充分利用给岀的近两年来运岀的夫象的数量与性别统廿表，分桥近两 年来的大象祥落的悄况，建立一彳、线11方程组的数学模塑，通过求解方程组得到 年龄在2岁到60岁之间的大象的总数，并且求岀了存活率为：9&9718%；因为 假设公园内2岁到6 0岁

2、之同的大象占总大象的比例等于运岀的2岁到6 0岁之间 的大象占总務岀大象的比例，所以通过一些比例之间的关系得到这个大象祥落的 当前的年龄结构（见表1）。然后，建立一个按年龄分组的种辟塔长的差分方程模型，运用第一问求出的 各年龄段大象的存活率以员繁殖率，求解当前夫象群落对应的Leslie矩阵的特征 根，发现该特征根大于1,根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：血果不进行避孕 注射该大象种祥将无限增长（如果环境允许）;据Kt,利用Leslie矩晖息定的充 要条件求岀应该保持名大的繁殖率才能使种祥保持檜定，求解的主要思路是：特 征根蚁为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代人方程VI,求

3、 解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种8?保持稳定繁殖率的収値；根据 需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得骨象没有繁殖幼象的数 目选一条件建立一个方程，最后求得每年注射避孕药的伶象头数为:1393 （头）。最后，假设被转杨的大象只考虑处于1-60岁之间，这样可以认为转務后的 大象看成毎年名死了这么多头大象，即恵味着死亡率將增加，存活率将减少；W 然按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代人期个以 繁殖率为未知数的方程（方程VI）,求岀应该保持多大的繁殖率才能使种祥保持 稳定。考虑到求解的数据比较多，采取it算Hl模1的方法来晞定務出大象后所需 要an

4、74;孕的母象头数（见表2）,为了检酚廿算机模at的正确性，用理论去验 込。模的思路方法见廿算机模拥流程图一图2。关谜字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩陈、廿算机模81冋題重述位干非洲某国的国家公园中植息着近"000头大象。管理者要求有一个健康 稳定的坏境以便细持St 1100o头大象的稳定祥落。管理者逐年貌廿了大象的数 量，发现在过去的20年中，整个大象祥经il 一些愉猫枪杀以员转杨到外地还能 保持在11000头的数量，而其中毎年大约有近600头到800头是被转務的。由干 近年来，偷循被禁止，而且毎年要转務这些夫象也比较困难，现决定采取避孕注 射法以细持大象数量的平術。我

5、们已知此公园近两年内从这个地区运岀的大象的 大致年龄和性别的貌廿。根据这些信息我们需要解决以下IO：1. 探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象祥 落的当前的年龄结构。2. IS its年有多少骨象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里 不免有些不确定性，是否能Ifiitfi种不确定性的影哨。3. 假如每年转務5 0至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的 改变？冋题假设1、假设大象的性别比认为仁1,并且采用措施维持这f性别比；2、假设骨象可以怀孕的年龄为11岁一60岁、最高年齢为70岁，70岁的死亡率 为100%,并且61-70岁的大熊的头

6、数呈线性递减；3、假设大象在各年龄目中的分布率不变，即年龄结构不变，并釆用各种措施维 持这一结沟；4、假设被转務的大象只考虑处于1一60岁之间，转杨后的大象看成毎年多死了泄么多头大象;5、假设0岁大象能做活到1岁的比例为75%；符号说明X；:表示一年中大象的头数（i=0表示0岁大象的头U, i=1表示160岁大象头i=2表示61-70岁大象的头数）;Pi :表示存活率（內表示0岁大象的存活率，卩表示160岁大象的存活率，P2 表示61岁一 70岁大象的存活率）;刃）：表示时段k第i年龄级的夫象数量；肛 第i年齢组每个（母象）个体在1个时段内平沟繁轴的数量；第i年齢组的存活率；L : Lesli

7、e 矩阵；A : L硼的那个唯一正特征根;n :表示杨出大象的头数；DJS分林对干间题一，利用给岀的近两年来运岀的大象的数量与性别筑计表,可以分 折ifi两年来的大象祥落的悄况，比如杨出的各个年龄段的大象占杨出的总的大象 的头数的比例是多少，还可以根据两年務岀大象后大象总数都是11000来建立方 程，用干求解存活率。对于间題二,因为考虑的是公园在未来很长-段时風的大象种辞控制问題, 所以可以建立一个按年龄分组的种辞增长的差分方程模塑，根据差分方程的 Leslie拒阵的特征根,结合Leslie矩阵的榜定性理论对当前大象种髀的 分折。为了保持大象种群的隐定，吩须使得Leslie葩阵的最大特征根为1

8、,而这 样，特征根蚁为1、把繁殖率当成未0S,将此时的各年龄段的存活率代人方程 特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种祥保持稳定繁妬率 的収值；根据需要避孕掉骨象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得骨象没有繁 殖幼象的数目这一条件51立方程来求解应该对多少头骨象孕。对于间题三，由于假设被转務的大象只考虑处于1一60岁之间，故可以认为 转移后的大象看成毎年多死了这么多头大象，即总味着死亡率将熠加，存活率冷 减少。按照解决第二问的模塑，只需不同的各年龄段大象的存活率代替原 来的存活率，就可以求岀此时应该保持多大的繁殖率才能使种辟保持稳定。为了 方便，可用采用廿算机模的方法来确定務岀的

9、夫象在崛个年龄段，考虑到廿算 机模jfl的不确定性,可以对模抵结果进行检验。探骨大象的存活率利当甫大象的年龄结构下面将根据给出的近两年来运岀的大象的数量与性别貌廿表，分折ifi两年来 的大象群落的悄况，建立一个线性方程组数学模型，通11求辭方程组得到年齢在 2岁到60岁之间的大象的存活率，并给出大象各年龄所占的比例，进而得到送 个大象8?落的肖前的年龄结构。1、线II方程组模型的建立(1 )首先，计算一年中大象的头数。大象祥是由0岁，1一60岁，61岁一70岁组成，目稳定在11000头。设0 岁的头数为Xo, 160岁大象头数为人，61岁一70岁大象头数为X2。所以得到 第一个方程：Xo+Xi

10、+X2=11000 ( I )(2)其次，考虑到前一年大象的总数等干前两年存活下来的大象加上新生 的幼儿再减去运岀的大象数。设0岁大象的存活率为p., 1-60岁大象的存活率为卩，61岁一70岁大象 的存活率为必。则经过一年后，新生的大象存活下来的头数为Xox Po ； 1到60 岁的大象存活下来的头数为61岁一70岁的大象能存活下来的头数为Xmp,因此得到第二个方程:(Xox Po + Xxpi + Xp? ) +Xo-622=11OOO ( II )联立(I)、(II)得到方程组：x()+X|+X11000z .* ( * )X() x p0+ Xj x p、+ X2 x p2 + Xo-

11、622=110002、模型的求解根据近两年来运出的大象的数量与性别统it表，得到如下分折结果：(1)廿算0岁的大象头数由表中筑廿，1岁一 10岁的大象占1岁一 60岁的大象比例为：(67/620+169/876 ) /2=15.05%所以得11岁一60岁能生小象的骨象占1岁一 60岁的大象比片为:(1-15.032% ) x 0.5 =42.48%因为能生小象的骨象每3.5年生一头小象,且双胞|»的机会为1.35%,相当于毎年4 0.2896头，所以0岁的大象占1岁一60岁的大象比例为：0.4248x0.2896=0.12303这样0岁的大象共有：Xo =0.12303x X,(II

12、I)(2 )计算60岁一70岁的大象头数从表中廿算运岀的59岁的大象占运岀的总大象比率为：(14/622+22/876 ) /2=0.0238由干运岀的大象都是1岁一 60岁的，所以0.0238也可看为59岁的大象占1一60岁的大象的头数比例，得到60岁的夫象占的比例为0.0238 x/ ,由假设可以知道:61岁一70岁的大象头数为:X2 =1/2x10X0.0238x/7, xX>( IV)60岁一70岁的大象经过一年能存活下来的头数为：X, x/?,=( 1/2)x9x0.0238x/?! xX)( V )(3)、将(III k ( V) fl ( IV)两个式子代入上面方程组L)得

13、:0.12303xX,+X1+(l/2)x10x0.0238 xp.xXllOOOo.l23O3xXXpo+X|XP| +(1/2) x 9 x 0.0238 x x X, +0.12303 x X, -622= 11000Q由假设知道,0岁大象的存活率为“=75%代人上述方程组，然后用Mathematica 解之帯=0.989719X1 =8864.85再依次将纸、®代人(III)、(V)和(IV )求得：% =1044.07Xo = 1090.66所以，0岁大象的总头数为1091 (头)；1-60岁的大象的存活率为9&9719%, 总头数为8865 (头)；61岁一70岁

14、的大象头数为1091 (头)0把0-70岁的大象分为丿I个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用 各个年龄段杨岀的头数除以務岀的总头数来術量。下面U 1-10年龄段的大象头 数计算为例：前一年总共務岀622头，其中1一10岁務出为67头；前两年总共務出876 头，其中1-10岁務岀169头。811-10年龄段的夫象头数可以这样廿算：Xu = 8865 x (|- + -)/2=1332 (头)其他的年龄段用同样的方法廿算，得到如下表(附饼形图)：表1 (大象年龄结构)年龄01-1011-2021-3031-4041-5051-6061-70头数10911333177710691255188

15、815441044噺)101216101117149图1 (大象年龄结构併图)3、结果分折(1 )由结果可以知道，2-60岁大象的存活率为9&9718%,这与题目给出 的大于95%是相一致的，所以可以认为给果是合理的；(2)从图1可以看出，各f年龄目的大象所占的比例基本上是一徉的,21-30 岁和41-50岁的大象比例相対比较大，因为这股大象正处于年龄的黄金时期。 由此，可以认为求岀的大象年龄也是合理的。估廿每年注射)！孕药的骨象头数为了估计毎年注射避孕药的骨象头数，首先建立一个按年龄分组的种曽长 的差分方程模型;然后用Leslie矩阳稳定的充要条件分折如果不SM孕注射种 群的增长悄况

16、;最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁 殖率才能使种辟保持隐定，进而利用一个方程求岀毎年注射避孕药的骨象头数。1、按年龄分组的种HI増长的差分方程模型的建立记时股k第i年龄组的夫象数量为托伙），k=0, 1, 2,i=1, 2, -n,第i年龄组的繁哺率为勺，即第i年龄级毎个（骨象）个体在1个时13内平均繁殖的 数量,第i年龄的存活率为®,我们魁里假设勿和®不）8时段k变化，在稳定的 坏境下这个假设是合理的。勺和耳可由SitS? 14获得。兀伙）的变化规律由以下 的基本事实得到：时I3k+1第1年龄组种辟数量是时段k各年龄组繁殖数量之和, 即禹伙+

17、 1）= £勺兀伙）r-1时段k+1第i+1年龄组的种辭数量是BBk第i年龄组存活下来的数量，即兀+1 （k +1） = SjXj （k）, r = 1,2,., ” 一 1记时段k种诽按年龄组的分布向量为x（k）=兀伙）,七伙），X”伙）7由繁殖率勺和存活率码梅成的矩晖为%0.02ob60抵%0.00000.000.00000.0000.00000.0000.S90000.0000.0510000.00L = .00切00.00 .00000.0000.00000.0000.000$600.0000.0000b6l.0000.00000.0000.00000“590根据Leslie

18、矩阵的性IS可以得到如下的定理:定理XL葩阵有唯-的正特征根人，且它是单更根的,人对应正特征向量-F=儿儿勺附2“爲L葩阵的其他n-1个特征根儿都是满足|入|5人,£ = 2,3,.,“该定理表明L®|$的特征方程An +(片几心+h2SAn2 +化-込$2气-2兄+勺少*2叫-1)= °只有一个正根,并冃易知,= x2、如果不afii孕注射种群的增长悄况(1 )建立Leslie矩阵首先，由第一间的求解知道，0岁的大象的存活率为0.75； 1-60岁大象的 存活率ft 0.989718；根折假设61-70岁大象头数是线性递减的，而目到70岁所 有的大象制死完了，所

19、以很容易求出存活率为(1-0.1 )xs, =0.9x0.989718=0.8907； 11-60岁大象的繁殖率为0.1448o然后根锯上面的矩阵L建立起如果不进行避孕注射种群的增长的Leslie矩阵如 下所示：00 . 00.14480.1448 0.14480. 000.750 . 000 00. 0000.9897 .000 00. 0000 . 000 00. 0000. 0.989700 00. 0000 . 00.98970 00. 00厶= 000.9897 00. 00 000 00. 0000 . 000 00. 0000 . 000 0.98970. 0000 . 000

20、00.9897. 0000 . 000 00. 0000 . 000 00. 0.98970这是一个71x71的葩阵。(2)讨论厶回的特征根,分林种辞增长规律用Matlab软件求得特征根为R=1.0481,根折定3 1 0道,如果不进行f孕注射，该大象种祥将无限増长下去(如果坏境允许),所以要afiifi孕注射。3、求岀毎年注射避孕药的骨象头数根g Leslie矩阵的性质知道,要保持WSW定，必须使得特征根7,即使得 T面式子成立：bQ +加0 +2必® + + 几仇-16心._2 +bnS0SS2-Sn- =】(VI )具怵到本题来就是使得如下成立:bosos'°

21、 ( 1+S4-S?+. + s4 )= 1解这个方程求出要保持大象种群的穏定,繁殖率应该为b产0.0377保持大象种祥数量不变的繁殖率b°与没采取避孕时的繁殖率b有一定的差 JL所以需要避孕掉具有(b-b。)繁殖率伶象所生的幼象。假设每年要遐孕头 大象，由于一次注肘可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以每年实际 上共有2xn°头大象处于避孕期。这样根据需要避孕掉具有(b-b。)繁妬率母象所生的幼象的数目等干注射避 孕药使得骨象没有繁殖幼象的数目这个条件得到一个方程:(1/2)x85%xXj x(0.1448-0.0377)=2n0 x 0.1448解之得n0=139

22、3所以毎年注射避孕药的骨象头数为：1393 (头)4、分析不确定因素的影响(1 )最初一两年避孕伶象发悄期增多，与未避孕骨象产生竞争求偶的公象，使部分能怀孕的骨象不能怀孕。而避孕的母象毎月发悄一次，会扰礼了正常求偶 的骨象，这样会造成未避孕骨象的繁殖率出现下降，避孕的骨象数量应该减少。（2）1®着时间的增长，如果持续使用遐孕药，会使象的年龄结构发生变化， 象的结沟呈老龄化，所以帧着时间的增长，要保证象辞的稳定，避孕药的使用量 吩定会逐年减少直至禁用。考虑转移大象时母象的避孕策18被转務的大象只考虑处于1一60岁之间，转移后的大象看成毎年多死了这么 多头大象，即恵味着死亡率將增ira,

23、存活率将减少。下面首先通ii计算机模抓来 确定杨岀大象后所需要孕的骨象头数；然后用理论去验込it算机模#1的正 确性。1、通ilit算机模确定需要孕的母象头数产生了 n （可自己荷定）个01的师机数。具体算法如下页图所示。图2 （it算机模U1渣程图）初始化：按照备个年龄段 大象所占比重，给每个年 龄段分配一个区间，每个产生】个01随机数记为向量aj=O048va(i)W0346k2=k2+lkl=kl+lk3=k3+lk4=k4+l昌| k5=k5+lk6=k6+lNoi=i+l i=n0va(i)W0.1480.346va(i)W04690469va(i)W0.6170.617<a(

24、i)0.8270.827<a(i)l根据klk6求出各年龄段 大歓的存活率、运用Leslie 矩阵稳定的条件求出此时 繁殖率应该为笋少才能保 持大毀种群稳定，进而求 出需避孕的大象头数下面« n=100为例进行it算机模抓。令n=100,进行10次廿算机模fl, （I到当运出大象头数为10 0头时,要使大象头数隐定在11000头需避孕的大象头数如下:第一次模ffl： 1164 （头） 第二次模#1： 1195 （头） 第三次模#1： 1192 （头）第四次模ffl： 1167 （头）第五次模jfl： 1206 （头）第兀次模Hl： 1163 （头）第七次模ffl： 1207 （

25、头）第八次模ffl： 1190 （头）第九次模拥：1173 （头）第十次模ffl： 1178 （头）10次模抓得到需避孕的大象头数的平均数为1184头。因此可以认为当运岀 大象头数为100头时，要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数为1184 头O同理，可以借到题目中要求的当运出大象50-300头要使大象头数稳定在 门000头需避孕的大象头数分别为：表2（杨岀大象与对应得避孕母象头数）出 头 数5060708090100110120130140150160170头数1297127712531231121211841164115011121096103610301010出18019020

26、0210220230240250260270280290300头数£ 孕 头 数970932917860838822764738714.654653591570图3（运出大象数目与应该邂孕母象数目的关系）运出大象数目与应该避孕大象数目的关系UOO120010008006004002000050100150200250300350运出的大象的头数从该图的变化范那可以看出为了使大象总数隐定在11000头而应垓避孕的母象数目与运出大象的头Uifi fiDOtt关系。通il最小二乘tM合二次函数得到務出大象头数X与避孕骨象头数y关系:y = -0.00344X2 -1.7558x +1396

27、.2ii出图像为:图4(原始数掘关系与拥合关系对比图)10015020D移出大象头数250300原始关杀与拟合得到关系对比图 1300o o n o u n O o o o o o o o 2 1 o Q- 8 7 6 d 1 T報并<审骨瑕2、用理论去验证廿算机模#1的正确性假设所转稼的大象是有目的的挑选的,即挑选夫象时是按照第i(i=1, 2, 3,4, 5, 6 )年龄组所占比側进行的，这也是符合悄理。设毎年被转務的大象共有 M头，1 一60岁的大象共有W头。设第i年龄组占1一60岁的比例为叫，第i年龄组的存活率几，则有su =(X0 x$ xwi -M x vvz)/(X. xv

28、v) = (X7 xs -M)/Xy则要保持大象祥落稳定，如第二间的做法有：Z? X 5() X 1(，X (1 + S + S+ . + 5->() = 1当杨岀大象头数M=50时,解得20.0455。Q 由第三问，把迪个方程(1/2) x 85% x X X (0.1448-0.0377)=2n0 x 0.1448 的他換为n、0.0377 换为 0.0455,求得 n=1291o所以，现在只需避孕1291头，由廿算机模抑得到的是1297头,非常地接近。 同样的道理可以验证当M=60, 70, 80的时候也是与廿算机模抑很接近的。由此，可以说明我们用廿算机模按的方法是有效的。模塑的坪

29、价和改进方袪1、模型的优点(1 )本文解决间题的模型都是比较简单的，但是这并不影响借到的结果的准确 14,因为这些简单的模型部有很58的理论依据;(2) 在求解第二间的时候，充分利用Leslie犯晖稳定性理论来求解应该让多少 骨象孕注射，这些理论在差分方程中部是经典的理论，经倡起许多 事实的考豔;(3) 第三问的求解中运用了廿算机模方法来模抓杨岀大象扬于哪f年龄段， 这样不仅求解方便、简洁(只需要把算法程序写好就可以得到结果)，得 到的结果与实际也更接近；(4) 第三问用廿算机模拥得到数据后，Q用理论去验证，迪样使得结果更貝有 说服力；2、模塑需要改进的地方(1 )因为假设了大象性别是严恪地1

30、： 1关系，而实际中不一定朋么地严格是 这样，所以如果能够fl!各个年龄段大象的性别比例分别廿算，那久模塑的结果可能更接近实际;（2）在进行廿算机模01时，最开始的隧机数的产生f数只有几十个，这几十个I®机数不能很好的反映各个年龄段的大象所占的比重，这样势必会对结果 造成一定的误差；参考文献：1、姜启源数学模型（第三版）M.：高等教育20032、静数学建模与数学实騎（第2版）M.：高等教育20033、周晓阳数学实騎与MatlabfM.：华中科枝大学20024、谏当代数学的若干理论与方法側.：华东Sit学20025、李尚志数学建模竞赛教程M.： XX教育 19966、北峰数模网./20

31、06-8-13附录:1、廿算机« ffl Matlab程序代码 function bys?bO=moni(n)b=121610121714;c=b/sum(b);b=cumsum(c)1;a=rand(n,1);k1 =0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;i=1；for i=1:nif(a(i)<=b(1)k1=k1+1;elseif(a(i)>b(1 )&a(i)<=b(2)k2=k2+1;elseif(a(i)>b&a(i)<=b(3)k3=k3+1;elseif(a(i)>b(3)&a(i)<=

32、b(4)k4=k4+1;elseif(a(i)>b(4)&a(i)<=b(5)k5=k5+1;else(a(i)>b(5)&a(i)<=b(6)k6=k6+1;endends10=1-(11000*0.12*(1 -0.9897)+k1 )/(11000*0.12);s20=1-(11000*0.16*(1 -0.9897)+k2)/(11000*0.16);s30=1-(11000*0.1 *(1-0.9897)+k3)/(11000*0.1);s40=1-(11000*0.12*(1 -0.9897)+k4)/(11000*0.12);s50=1-(11000*0.17*(1 -0.9897)+k5)/(11000*0.17);S6O=1 -(11000*0.14* (1 -0.9897)+k6)/(11000*0.14);b0=1 /(s10A10*(1 +s20+s20A2+s20A3+s204+s20A5+s20/'6+s20A7+s20A8+s20A9)+s10*10*s20A10*(1 +S30+ s30A2+s30A3+s30A4+s30A5+s30A