硕士生现代信号处理_自适应滤波(Kalman自适应滤波)

1、硕士生现代信号处理硕士生现代信号处理_ _自自适应滤波适应滤波(Kalman(Kalman自适应自适应滤波滤波) )4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n1. 卡尔曼滤波的根本思想卡尔曼滤波的根本思想n基于观测信号，利用递推计算的方法得到对基于观测信号，利用递推计算的方法得到对某待估计量的某待估计量的MMSE估计。估计。n将估计过程分解为相对独立的两局部：将估计过程分解为相对独立的两局部：n一局部反映待估计量本身的变化，用状态方一局部反映待估计量本身的变化，用状态方程加以描述；程加以描述；n另一局部反映观测信号与待估计量之间的关另一局部反映观测信号与待估计量之间的关系，用观测方程加以描述。

2、系，用观测方程加以描述。4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n2. 卡尔曼滤波的信号模型卡尔曼滤波的信号模型ni) 状态方程状态方程nM1向量向量 表示待估计量在表示待估计量在n时刻的状态时刻的状态向量，是不可观测的；向量，是不可观测的；nMM矩阵矩阵F(n+1,n)称为状态转移矩阵，它称为状态转移矩阵，它描述待估计量从描述待估计量从n时刻到时刻到n+1时刻的状态转移，时刻的状态转移，是的；是的；)(u)(), 1(F) 1(nnnnn )( n4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波 M1向量向量u(n)称为鼓励噪声称为鼓励噪声,其自相关其自相关矩阵为矩阵为Q(n) ； F(n+1,n)

3、与与u(n)由待估计量的特性决定。由待估计量的特性决定。4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波nii) 观测方程观测方程n假设观测系统是线性的，那么观测方程假设观测系统是线性的，那么观测方程为为nN1向量向量x(n)表示在表示在n时刻的观测向量；时刻的观测向量；nNM矩阵矩阵C(n)称为的观测矩阵；称为的观测矩阵；nN1向量向量v(n)为观测噪声向量为观测噪声向量,其自相关矩其自相关矩阵为阵为R(n) 。 )(v)()(C)( xnnnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波niii) 信号模型框图信号模型框图 z-1C(n) ), 1(Fnn )(v n)( x n)( n) 1( n

4、)(u n由状态转移方程描述。由状态转移方程描述。由观测方程描述。由观测方程描述。 待估计量待估计量 观测信号观测信号4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波niv) 几个假设几个假设n通常假定通常假定u(n)和和v(n) 都是零均值白噪声；都是零均值白噪声；n鼓励噪声与观测噪声不相关；鼓励噪声与观测噪声不相关；n观测噪声与待估计量不相关。观测噪声与待估计量不相关。4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波nv) 一个卡尔曼估计模型的例子：一个卡尔曼估计模型的例子： 问题问题:(航天器姿态角速度瞬时估计航天器姿态角速度瞬时估计) 对航天器的姿态角度进行观测，观测对航天器的姿态角度进行观测，观测采

5、样时间间隔为采样时间间隔为T，得到一系列观测，得到一系列观测值值x(n)。 利用这些观测值估计航天器的角速度。利用这些观测值估计航天器的角速度。4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波 变量定义变量定义 设卫星在设卫星在n时刻的姿态角为时刻的姿态角为； n时刻的转动角速度为时刻的转动角速度为的一的一阶微分阶微分; 角加速度为角加速度为 的一阶微分的一阶微分; 设设A(n)为系统喷气所产生的加速度，为系统喷气所产生的加速度，u(n)为外力干扰产生的加速度。为外力干扰产生的加速度。)(n )(n )(n )(n )(n 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波 状态方程：状态方程： 滚动姿态的角度

6、方程为滚动姿态的角度方程为 滚动姿态的角速度方程为：滚动姿态的角速度方程为： 角加速度方程为：角加速度方程为：) 1() 1()( nTnn ) 1() 1()( nTnn )()()(nunAn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波 定义状态向量定义状态向量即为要估计的角速度。即为要估计的角速度。 得到状态方程：得到状态方程： Tnnnn)1()()()( )(00)(00)1()1()1(0001001)(nunAnnnTTn )()()(nunAn ) 1() 1()( nTnn ) 1() 1()( nTnn F(n,n-1)(n 鼓励噪声鼓励噪声4.6 Kalman自适应滤波自适

7、应滤波 观测方程观测方程 由于由于n时刻滚动姿态角的观测值为时刻滚动姿态角的观测值为x(n)，可得可得 v(n)为零均值、方差为零均值、方差 的白噪声观测的白噪声观测噪声。噪声。 )()()()(001)(nvnnnnx 2v C(n)4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n2. 卡尔曼滤波的递推计算卡尔曼滤波的递推计算ni) 计算计算n设在设在n时刻数据时刻数据x(n)到来之前已得到估计到来之前已得到估计值值n , 它表示由它表示由n-1时刻及时刻及以前的所有数据对以前的所有数据对 所做的最正确线性所做的最正确线性估计。那么在此根底上对估计。那么在此根底上对 的最正确预测的最正确预测为：为

8、：n ) 1| 1() 1,(F) 1|( nnnnnn) 1( n) 1| 1() 1( nnn)( n) 1|( nn4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波nii) 计算计算n由观测方程得：由观测方程得：niii) 计算预测误差计算预测误差n 表示表示x(n) 中所含的未预测出的信息，中所含的未预测出的信息，称为新息称为新息innovation 。 )1|1()1,(F)(C)1|()(C)1|(x nnnnnnnnnn) 1|(x nn) 1| 1() 1,(F)(C)( x) 1|( x )( x)( nnnnnnnnnn)( n4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波niv) 修正

9、预测值修正预测值选择适当的选择适当的G(n)对新息加权，作为对预测对新息加权，作为对预测值值 的修正，得到的修正，得到n时刻的估计值。时刻的估计值。即即 一般称一般称G(n)为为Kalman增益矩阵。增益矩阵。) 1|( nn)()(G) 1|()|()(nnnnnnn )()(G) 1| 1() 1,(Fnnnnnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波nv) 卡尔曼估计递推计算流程：卡尔曼估计递推计算流程： z-1G(n)C(n) )( x n) 1|( nn )( n ) 1,(F nn)(n) 1( n4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n3. 新息的性质新息的性质ni) 与过

10、去的观测向量与过去的观测向量 正交，即正交，即nii) 不同时刻的新息互相正交。不同时刻的新息互相正交。niii) 观测向量序列与新息向量序列一一对观测向量序列与新息向量序列一一对应应: )( n110)(x)( nkknEH110)()( nkknEH)()2(),1 ()(x)2(x),1 (xnn4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n4. 新息的计算新息的计算)(v)1|()()(C) 1|()(C)(v)()(C) 1|( x )( x)(nnnnnnnnnnnnnnn 定义状态向量的一步预测误差：定义状态向量的一步预测误差：) 1|()() 1,( nnnnn)(v) 1,( )

11、(C)(nnnnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n5. 增益矩阵的计算增益矩阵的计算n状态向量的估计误差状态向量的估计误差)(v)(G)1|( )(C)(GI )(v)1,( )(C)(G)1,( )()(G)1|()()|()()( nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn )(v)1,( )(C)(nnnnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n在在MMSE准那么下，增益矩阵应使状态向准那么下，增益矩阵应使状态向量均方估计误差量均方估计误差 最小。最小。)( )( nnEH 0)(G)( )( nnnEH0)()( nnEH当估计误差当估计误差与新息正交与新息正交时，

12、均方误时，均方误差最小。差最小。观测噪声向量的观测噪声向量的自相关矩阵。自相关矩阵。1)(R)(C) 1,(K)(C)(C) 1,(K)(G nnnnnnnnnHH)()(G) 1|()()( nnnnnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波鼓励噪声向量的鼓励噪声向量的自相关矩阵。自相关矩阵。n一步预测误差的自相关矩阵一步预测误差的自相关矩阵K(n,n-1)的计的计算：算：n估计误差的自相关矩阵估计误差的自相关矩阵P(n)的计算：的计算：G(n)、K(n,n-1)和和P(n)的计算的计算是递推进行的。是递推进行的。) 1(Q) 1,(F) 1(P) 1,(F) 1,(K nnnnnnnn

13、H) 1,(K)(C)(G) 1,(K)(P nnnnnnn4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n5. 几点说明几点说明ni) 根据根据x(n),C(n),F(n,n-1),Q(n),R(n)及初始及初始值值和和，就可对，就可对递推计算。递推计算。nii) 对信号的平稳性没有要求。对信号的平稳性没有要求。niii) 实际系统通常很难用状态方程和观测方实际系统通常很难用状态方程和观测方程精确地描述，此时会存在模型误差。该程精确地描述，此时会存在模型误差。该误差会给滤波带来影响，严重时将导致结误差会给滤波带来影响，严重时将导致结果不收敛。果不收敛。) 0( )0 , 1(K)(n4.6 Kal

14、man自适应滤波自适应滤波n6. 卡尔曼滤波算法总结卡尔曼滤波算法总结n:x(n),C(n),F(n,n-1),Q(n),R(n)n初始化：初始化： )0( ) 0( E )0(diagvar)0 , 1 (K 当，有当，有) 1() 1|(F)(C)( x)( nnnnnn1)(R)(C) 1,(K)(C)(C) 1,(K)(G nnnnnnnnnTT)()(G) 1() 1,(F)(nnnnnn ) 1,(K)(C)(G) 1,(K)(P nnnnnnn)(Q), 1(F)(P), 1(F), 1(KnnnnnnnnT 0 n4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n7. KALMAN自适

15、应滤波自适应滤波n问题模型以系统逆辨识为例问题模型以系统逆辨识为例nTnnyWX)( nTnndnyndneWX)()()()( )()()()(nvkndkhnxk 未知系统未知系统h(n)d(n)自适应自适应FIR滤波器滤波器y(n)e(n)v(n)x(n)TnNnxnxnx)1() 1(),(X TNnnwnwnw)()(),(W110 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n回忆回忆KALMAN滤波的信号模型：滤波的信号模型： z-1C(n)(v n)( x n)( n) 1( n)(u n由状态转移方程描述。由状态转移方程描述。由观测方程描述。由观测方程描述。 待估计量待估计量 观

16、测信号观测信号 ), 1(Fnn 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n自适应滤波模型：自适应滤波模型：n将最正确滤波器权向量作为待估计量；将最正确滤波器权向量作为待估计量；n设自适应滤波的输入设自适应滤波的输入x(n)是平稳的，那么是平稳的，那么最正确权值在自适应调整过程中为常数。最正确权值在自适应调整过程中为常数。n状态方程：状态方程：n状态转移矩阵：状态转移矩阵：n鼓励噪声：鼓励噪声：) 1(W)(W nnoptoptI) 1,(F nn0)(U n0)(Q n 观测方程：观测方程： 观测矩阵观测矩阵: 观测噪声：观测噪声： 模型框图：模型框图：4.6 Kalman自适应滤波自适应滤

17、波 z-1)(nd0) 1(W nopt)(W noptTnX)(neopt ITnnX)(C )()(Vnenopt )()(WX)(nenndoptoptTn 2)(Ren n处理流程图：处理流程图：n处理流程：处理流程： 初始条件：初始条件：，。4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波 z-1G(n)C(n) )( x n )( n ) 1,(F nn)(n)(WnoptITnX)(nd) 0 (WoptI)0 , 1 (K 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n对对n=1,2 )()() 1(WIX)()(ndndnndnoptTn 12*X) 1,(KXX) 1,(K)(G en

18、Tnnnnnnn )()()(G) 1(W)()(G) 1(WI)(Wndndnnnnnnoptoptopt ) 1,(KX)(G) 1,(K)(P nnnnnnTn)(P0I)(PI), 1(KnnnnH 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n3. 应用实例应用实例:逆系统辨识逆系统辨识n信号模型信号模型 x(n)是方差为是方差为1，均值为，均值为0的服从高斯分的服从高斯分布的随机信号；布的随机信号； h(n)用用10阶阶FIR低通滤器模拟；低通滤器模拟； v(n)为方差为为方差为 的高斯加性白噪声。的高斯加性白噪声。 未知系未知系统统h(n)d(n)y(n)e(n)x(n) nWv(n)2e 4.6 Kalman自适应滤波自适应滤波n处理流程：处理流程：n建立模型建立模型:n状态转移矩阵状态转移矩阵: