《高等数学》练习题库及答案

1、高等数学练习测试题库及答案第19页共18页一.选择题1.函数y=是（）r+ 1A.偶函数B.奇函数C单调函数2,设 f（sin±）=cosx+l,则 f（x）为（）2A 2x22B 2 2x?C 1+x2D无界函数D 1-x23 .下列数列为单调递增数列的有（B.A. 0.9 ， 0.99, 0.999, 0.9999C. f(n)其中 f(n)=1 + 3, 为偶数D.2+12.1 4.数列有界是数列收敛的（ A.充分条件C充要条件B.D必要条件既非充分也非必要5.A.C.下列命题正确的是（ 发散数列必无界 两发散数列之和必发散B.D.两无界数列之和必无界两收敛数列之和必收敛D.l

2、/2D.l/64 .11m 皿二12=()I X - 1A.lB.OC.27 . iSlim(l + -)r =e6 则 k=()18 XA.lB.2C.68 .当x-> 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x2-1C.(x-l)2D.sin(x-l)9 .f（x）在点x=xo处有定义是f（x）在x=xo处连续的（）A .必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当 x <1 时 ; y ="了 （）A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值1K设函数f (x)=(1-x) 8tx要使f (x)在点：x=0连续，则应补充定义f (0

3、) 为()A、工 B、eC、-eD -e。e12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A> xarctanl/xB、 arctanl/xC、 tanl/xD、 cosl/x13、设f(x)在点Xo连续，g(x)在点X。不连续，则下列结论成立是()A、f (x)+g(x)在点Xo必不连续B、f (x) Xg(x)在点xo必不连续须有C、复合函数fg(x)在点x。必不连续/(一D、gW在点X。必不连续14、设f(x)二 在区间(- 8,+ 8)上连续，且r；?f(x)=0,则a,b满足 ()EA、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<

4、;0,b<015、若函数f(x)在点x。连续，则下列复合函数在x。也连续的有()A、"5)B、"C、 tanf(x)D、 ff(x)16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、0, Ji B、(0, 口)C、-"4, Ji /4D、(-/4,月/4)17、在闭区间a ,b上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f (a) f (b) VO是在a, b上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有(

5、)A、f(x)=x+lB、f (x)=x-lC、f (x)=x:-lD、f (x) =5x'-4x+l20、曲线y=必在x=l处的切线斜率为()A、 k=0 B、 k=l C、 k=2 D、 -1/221、若直线y=x与对数曲线y=log°x相切，则()A、e B、1/e C、e' D、e： c22、曲线y二Inx平行于直线x-y+l=0的法线方程是()A、x-y-l=0 B、x-y+3e':=0 C、x-y-3e':=0 D -x-y+3e':=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=()A、±1 B、

6、7;月/2 C、± (n /2+1) D、±( 11/2-1)24、设f (设为可导的奇函数,且f'(x。)=a,则f、()二()A、a B、-a C、i a； D、025、设 y=lnYl+',则 y' |x二0=()A、 -1/2 B、 1/2 C、 -1 D、 026、设 y=(cos) sinx,则 y' ()A、-1 B、0 C、1 D、不存在27、设 yf(x)= In (1+X), y=f f (x),则 y' |x=0=()A、0 B、1/ In 2 C、1D、In 228、已知 y=sinx,则 y,10l=()A、

7、 sinx B、 cosx C、 sinxD、 -cosx29、已知 y=x In x,则 y1101=()A、-1/x9 B、1/ x9 C、8. 1/x9 D、 -8. 1/x930、若函数 f(x)=xsin x ,则()A、f'、(0)不存在 B、f'' (0)=0 C、f'' (0) =8 D、f'' (0)= Ji31、设函数y二yf(x)在0,n内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则Idy/dx s=0=()A、-1 B、0 C> n/2 D、 232、圆x2cos 0 , y=2sin 0上相应于0二刀/4处的切

8、线斜率，K=()A、 -1 B、 0 C、 1 D、 233、函数f(x)在点x。连续是函数f(x)在x。可微的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点X。可导是函数f(x)在X。可微的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=x在x=0的微分是()A、0 B、dx C、dx D、 不存在36、极限lim(-一)的未定式类型是()t 1 - x In xA、0/0 型 B、8/8 型 C、8 -oo D、8 型37、极限Um( )的未定式类型是() X xtUA、0° 型 B、0/0 型 C、1"型 D、8。型

9、'.1 厂 sin 38、极限 lim二()sinxA、0 B、1 C、2 D、不存在39、xESxo时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较 Wk的()A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数 f(x)在0, +8内可导，且 f'(x) >0, xf (0) V0 则 f(x)在0, + 8 内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=x'-4x+3的顶点处的曲率为()A、 2B、 1/2C、 1D、 042、抛物线y=4x-x?在它的顶点处的曲率半径为（）A、 0B、 1/2C、 1

10、D、 243、若函数f（x）在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个 D、都不对44、若 / f （x） dx=2ex 'O （）A、2es/2 B、4 ex/2 C、产+CD、es/245、/xedx = （ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe" +e" +CD、-xe" -e-x +C46、设P （X）为多项式，为自然数，则/P（x）（x-iLdx （）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、3x+l dx=（）A、 5/6 B、 1/2 C、 -1/

11、2 D、 148、两椭圆曲线x2/4+y2=l X（x-l）79+y74=l之间所围的平面图形面积等于（ ）A、 B、2" C、4 D、649、曲线yr，-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、n B、6 Ji/15 C、16 n/15 D、32 n/1550、点（1, 0, -1）与（0, -1, 1）之间的距离为（）A、 B、2 C、312 D、21/251、设曲面方程（P, Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、 Z=4 B、 Z=0C、 Z=-2 D、 x=252、平面x=a截曲面x"£+y7b7c所得截线为（）A、椭圆

12、B、双曲线 C、抛物线 D、两相交直线53、方程二0所表示的图形为（）A、原点（0, 0, 0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3/+3/-2-0表示旋转曲面，它的旋转轴是()A、X轴 B、Y轴 C、Z轴 D、任一条直线55、方程3x3-y:-2Z:=l所确定的曲面是()A、双叶双曲面 B、单叶双曲面 C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限 lim (x2+2x+5) / (x:+l)=() x->-l2、求极限 lim (x33x+1) /(x-4) +1=()3、求极限 limx-2/(x+2)"2=()124、求极限 lim x/(x+l

13、)x=() .v->®5、求极限 lim (l-x)l x=()6、已知 y=sinx-cosx, 求 y'k="6=()7、已知P二力sin力+cos巾/2,求dp/d2巾=；1/6二()8、已知 f (x)=3/5x+x'/5,求 f'(0)=()9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a二()10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 丫(1)二()11、函数y=2Y极小值与极大值分别是()12、函数y=Y-2x-l的最小值为()13、函数y=2x-5x,的最大值为()14、函数f(x)二e-、在上的最小值为()15、点(0,

14、 1)是曲线y二ax、bx'+c的拐点，则有b=() c=()16、J' xx12dx=()17、若 F'(x)=f(x),则/dF(x)=()18、若 / f (x) dx=x%2'+c,则 f(x)=()19、d/dx f a°arctantdt=()-t| (r -1)dx20、已知函数f(x)=1'"，"° 在点x=0连续，则a=()a.x = 021、/ 0：(x：+l/x') dx=()22、S / x1/2(l+x,/2)dx=()23、S o3:2a dx/(a2+x2)=()24、f o1

15、 dx/(4-x2),Z2=()25、f .-j/3 ' sin( n /3+x)dx=()26、l/x,/2(l+xl/2)dx=()27、/ i x1/2(l+x,/2)dx=()28、f / x1/2(l+x,/2)dx=()29、/x,/2(l+x,/2)dx=()30、/x,/2(l+x,/2)dx=()31、/x,/2(l+x,/2)dx=()32、/x,/2(l+x,/2)dx=()33、满足不等式Ix-2IV1的X所在区间为()34、设 f(x) = x +1,则 f (刀 +10)=()35、函数Y=lsinxl的周期是()36、y=sinx,y=cosx直线x=O,

16、x="/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-xz与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a（l+cos 0 ）的全长为（）39、三点（1, 1, 2）, （-1, 1, 2）, （0, 0, 2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2, 3, 1）和（4, 5, 6）等距离，则该点的轨迹方程是（ ）41、求过点（3, 0, -1）,且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面 x+3y+z=l, 2x-y-z=0, -x+2y+2z=0 的交点是 （）43、求平行于xoz面且经过（2,-5, 3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点(-3, 1, -

17、2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)的平面方程是()三、解答题1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。2、求函数y=x2-54/x.(xV0=的最小值。3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。4、相对数函数y=lnx上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。6、求y=e', y=e"与直线x=l所围图形的面积。7、求过(1, 1, -1), (-2, -2, 2)和(1, -1, 2)三点的平面方程。8、求过点(4,-1, 3)且平行于

18、直线(x-3)/2=y=(z-l)/5的直线方程。9、求点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+l=0上的投影。10、求曲线y=sinx, y=cosx直线x=0, x二3/2所围图形的面积。11、求曲线y=3-2x-xz与x轴所围图形的面积。12、求曲线y2=4(x-l)与y2=4(2-x)所围图形的面积。13、求抛物线y=-x244x-3及其在点(0, 3)和(3, 0)得的切线所围成的图形 的面积。9/414、求对数螺线匚ea"及射线所围成的图形的面积。15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图 形的面积。16、求由抛物线y?=4ax与过焦点的

19、弦所围成的图形面积的最小值。17、求曲线y=x?与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。18、求曲线y=achx/a, x=0, y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。21、求椭圆x2/4+y2/6=l绕轴旋转所得旋转体的体积。22、摆线*=2(臼110，丫=2(1-30的一拱，丫=0所围图形绕丫=22(2>0)旋转所得旋转 体体积。23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1WxW3的一段弧的长度。25、计算半立方抛物线/=2/3(

20、x-l)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。26、计算抛物线y?=2px从顶点到这典线上的一点M (x,y)的弧长。27、求对数螺线r=ea(，自0 =0至0 二中的一段弧长。28、求曲线r 0=1自0 =3/4至0 4/3的一段弧长。29、求心形线r=a(l+cos。)的全长。30、求点M (4, -3, 5)与原点的距离。31、在yoz平面上，求与三已知点A (3, 1, 2), B (4, -2, -2)和C (0, 5, 1)等距离的点。32、设 U=a-b+2c, V=-a+3b-c,试用 a,b,c 表示 2U-3V。33、一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)

21、等距离。求这动点的轨迹方程。34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方 程。36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成 的旋转曲面的方程。37、求球面x，y?+z2=9与平面x+z=l的交线在xoy面上的投影方程。38、求球体x2+(y-l)2+(z-2)29在xy平面上的投影方程。39、求过点(3, 0, -1),且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。40、求过点Mo (2, 9, -6)且与连接坐标原点及点Mo的线段OMo垂直

22、的平面 方程。41、求过(1, 1, 1), (-2, -2, 2)和(1, -1, 2)三点的平面方程。42、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a=2,l,l和b=试求这平面 方程。43、求平面 2x-y+2z-8=0 及 x+y+z-10=0 夹角弦。44、求过点(4,-1, 3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-l)/5的直线方程。45、求过两点M (3, -2, 1)和M (-1, 0, 2)的直线方程。46、求过点(0, 2, 4)且与两平面x+2z=l和y-3z=z平行的直线方程。47、求过点(3, 1, -2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/l的平面方程

23、。48、求点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+l=0上的投影。49、求点P (3, -1, 2)到直线x+2y-z+l=0的距离。50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=l上的投影直线的方程。四、证明题1 .证明不等式：2 < J： J1 + x4 dx < |2 .证明不等式7工 三，(>2)2 人 VTF 63 .设/(X), g(X)区间上连续，g(x)为偶函数，且/(x)满足条件 /(x) + /(-x) =为常数)。证明：J： /(x)g(xWx = g(x)dx4 .设 n 为正整数，证明 J； cos" xsinz，

24、xdx = cos11 xdx5 .设 9(。是正值连续函数，f(x) = x - t(p(t)dt-a <x< a(a > 0),则曲线 )，= /(x)在上是凹的。6 .证明:I1 dx -fT dx r 1 + x2 1 + x27 .设/(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 f /(x)t/x = £ f(x)dx8 .若/(x)是连续函数，则9 .设f(x)，g(x)在口上连续,证明至少存在一个岁w (凡b)使得 /优)j(x)dx10 .设/(x)在a,b上连续，证明:< (b-a)£ f2(x)dx11 .设

25、f(x)在a,“上可导,且广f(a) = 0证明:高等数学练习测试题库参考答案选择题1-10ABABDCCDAA1120ABABBCAADC21 30DCDAABCCCA31 40BABDDCCAAD41 50ABCDDCACCA5155DDCCA二. 填空题1. 22. 3/43. 04. e-15. e-16. (31Z2+l)/28. 9/2510. 211. -1, 012. -213. 1/514. 015. 0, 116. C+ 2 x3/7517. F(x)+C18. 2xe21 (1+x)19.020.021.21/822.271/623. /3a24. /625.026. 2

26、(3 g1)27. /228. 2/329. 4/330. 21/231.031. 34/233. (1,3)34. 1435. 冗36. 7/637. 32/338. 8a39. 等腰直角40. 4x+4y+10z-63=041. 3x-7y+5z-4=042. (1,-1,3)43. y+5=044. x+3y=045. 9x-2y-2=0三. 解答题1. 当X=l/5时，有最大值1/52. X=-3时，函数有最小值273. R=l/24. 在点(史，-庭)处曲率半径有最小值3X3"2/2 225. 7/66. e+l/e-27. x-3y-2z=08. (x-4)/2=(y+l

27、)/l=(z-3)/59. (-5/3, 2/3, 2/3)10. 2(2,/2-1)11. 32/312. 4x2 叫313. 9/42一 U 公21A%、14. (a -e )415. e/216. 8a2/317. 3 Ji/1018. 2" + (e- -e -)4 L 219. 160 Ji 220. 2 .n 2 a2b167621. 7t322. 7 Ji 2 a323. 1 + 1/2 In 3/224. 2 73 -4/3j 2I 2乂 可/厂 + 厂 j i y + Jpf20,11112 p2p28.1n3/2+5/1229. 8a30. 5x2,/231. (

28、0, 1, -2)32. 5a-llb+7c33. 4x+4y+10z-63=034. V+zxy 轴：4(x2+z2)-9y2=3635. x+y2+z2=936. x Ml： 4x2-9(y2+z2)=3637. x2+y2(l-x)2=9 z=038. x2+y2+(l-x)29z=039. 3x-7y+5z-4=040. 2x+9y-6z-121=041. x-3y-2z=042. x+y-3z-4=0143. 3j3x-4y+1z-344. =215 x-3y+ 2”145. =-=-42146. 二二二-23147. 8x-9y-22z-59=048. (-5/3,2/32/3)5

29、0.17x + 31)，-37z-117 = 04x - y + z -1 = 0四.证明题1 .证明不等式：2 < f1 71 + x4 dx < - Jt3证明：令 /(x) =+4 J2 t '则广=2V1 + x4 VI + x4令广(x) = 0,得x=。f(-i)=HD=、Q,f(o)=i贝ij 1 < /(x) < V2上式两边对x在-1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然与 /(x) = Jl +x" < yl + 2x2 +X4 = J(l+.d)2 =1 +/,于是|* Jx <+<

30、J： (1 + x2 )dx,故2< ' yl + x4dx<-Jt32 .证明不等式<£,(> 2)2 J。6证明：显然当问0,；时,(n>2)有1 << .Jl -x" J1 一工p<p = arcsinx 4 J。江-6=1-20即，1< p. dx <-n>2)2 L VFTF 63 .设/(x)，g(x)区间0)上连续，g(x)为偶函数，且/(x)满足条件f(x) + /(-x) = 4A为常数)。证明：(/'(x)g(xMx = g(x)dx证明：£/Wg(A>/A

31、- = £ f(x)g(xix + £ f(x)g(xlx. Il f(x)g(x)dxx = u - £ f(-u)g(-ulu = £ f(-x)g(xix。f(x)g(xlx = £ /(T)g(x)"x + /(x)g(xMx = £ fW + /(r)k(xMx = A j： gWdx4.设n为正整数，证明j1cos" xsin' xdx = 2 cos“ xdx证明：令t=2x,有开厅1cos" xs'xdx = (Sin 2xYd2.x =三kin" 乂，Jz7s

32、in " tdtt = 7T-u - f s in"(万 一 )(/ = £2 s in " udu ,女乃刀k1 <rcos" xsin'M"西(：sin“ rJr + psii? =-f sii?' 3 =Mx又,；sin“ xdxx = -r-cos' tdt = £2cos' xdx 222°因此,£1£T j 1 fT n >-cos xsin xdx = - -cos xdx)2n Jo5 .设 9。)是正值连续函数，/(x) = x-t(p(t)dt-a <x< a(a > 0),则曲线 y = /(x)在一出上是凹的。证明："X)=匚(x - t)(pQ)dt + £ (/ - x)0Q)，=xf (p(t)dt - f t(p(t)dt + f t(p(t)dt -xf(p(t)dt