因子分析 浙江大学数学系

1、1因子分析因子分析2 1 1 引言引言 因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。 例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。3 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在

2、的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为： iiiiiiFFFx33221124, 1i 称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分 ，称为特殊因子。321FFF、i4注：注： 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；确的实际意义； 主成分分析分析与因子分析也有不同，主成主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型

3、。子模型。 主成分分析主成分分析: :原始变量的线性组合表示新的原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；综合变量，即主成分； 因子分析：潜在的假想变量和随机影响变因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。量的线性组合表示原始变量。5 2 因子分析模型因子分析模型 一、数学模型一、数学模型 设 个变量，如果表示为iX), 2 , 1(pip11iiiimmiXa Fa F)(pm 11111211122212222212mmpppppmpmXFXFXF或XAF或6 称为 公共因子公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子特殊因子，是不能被前m个公共

4、因子包含的部分。并且满足：mFFF,21iIFD111)(cov( , )0,F,F即不相关；mFFF,21即 互不相关，方差为1。722221)(pD即互不相关，方差不一定相等， 。), 0(2iiN8用矩阵的表达方式X- = AF+( )EF0( )E0( )VarFI22212( )(,)pVardiag1 11212 122212()()()()()()cov()()()()()ppppppE FE FE FE FE FE FEE FE FE FF,F09二、因子分析模型的性质 1、原始变量X的协方差矩阵的分解X- = AF+()( )( )VarVarVarX- = AF A+x =

5、 AA +DA是因子模型的系数22212( )(,)pVardiagD D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成分越多。10 2、模型不受计量单位的影响 将原始变量X做变换X*=CX,这里Cdiag(c1,c2,cn),ci0。)C(X-) =C(AF+CXC+CAF +C*XC+CAF+C*X + A F +*FF11*()EF0*( )E0*()VarFI*22212()(,)pVardiag* *cov()()EF ,F 012 3、因子载荷不是惟一的 设T为一个pp的正交矩阵，令A*=AT，F*=TF，则模型可以表示为*X+A F +()ET F0( )E0*()()( )Var

6、VarVarFTFTF TI22212( )(,)pVardiag*cov()()EF ,F 0且满足条件因子模型的条件13 三、三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征 1 1、因子载荷、因子载荷a aijij的统计意义的统计意义 因子载荷 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数 ija模型为 imimiiFaFaX11 在上式的左右两边乘以 jF,再求数学期望 )()()()()(11jijmimjjijjijiFEFFEaFFEFFEaFXE 根据公共因子的模型性质，有ijFxji （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对

7、值越大，相关的密切程度越高。14 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定义：定义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为iX统计意义统计意义：imimiiFaFaX11两边求方差 )()()()(2112imimiiVarFVaraFVaraXVarmjiija1221 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。iXmjija122imjija12。mjijiah12215 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义jF因子载荷矩阵中各列元素的平方和

8、称为第j个公共因子 对所有分量 的方差贡献和。衡量 的相对重要性。piijjaq122), 1(pijFiXjF16 3 3 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量 的均值为 ，协方差为 , 为的特征根， 为对应的标准化特征向量，则pxxx,21x021pp21u,u,u12p = UUAA +D（一）主成分分析法（一）主成分分析法17 上式给出的 表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的p-m项的贡献，有21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu up2uuuuuuppp21122111100p2

9、12ppuuuuuu18 12 mmm1122AA +Du uu uu uD1121122 mmp mpmm p2uuuuuDAADu 上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从 的分解中忽略了特殊因子的方差。22212(,)pdiagD其中221miiiijjsa19结论：结论： 设pmX21的特征根为的协差阵， 对应的单位正交化的特征向量为pUU,1，根据主成分思想，取累计贡献率7 . 00 p的前m个主分量。则正交因子模型中因子载荷阵的主成分解为 mpijmmaUUA11 特殊因子方差矩阵的解为 221pdiagD 其中 mtitiiias122 20注：残差矩阵 ppijDAA

10、S)(其中S为样本的协方差矩阵。则有221112)(pmpimjijmQ 21 （二）主因子法（二）主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则 R=AA+D R*=AA=R-D称R*为为约相关矩阵约相关矩阵， R*对角线上的元素是对角线上的元素是 ,而不是1。设 是 的初始估计,则2ih2ih2ih2221iiih的初始估计为222112122122212ppppphrrrhrRrrhR-D*10pR特征根：*12,pu uu正交特征向量：23*1122mmAuuu的主因子解为则得到因子载荷阵个特征向量，的前取结论：AmR*mtitipadiagDD1222

11、211,其中的主因子解为矩阵24 的的初始估计初始估计方法方法有如下几种有如下几种：2ih 1）取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价； 2）取 ， 为xi与其他所有的原始变量xj的复相关系数的平方，即xi对其余的p-1个xj的回归方程的判定系数，这是因为xi 与公共因子的关系是通过其余的p-1个xj 的线性组合联系起来的；12ih22iiRh 2iR25 3）取 ，这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者；)( |max2ijrhiji 4）取 ，其中要求该值为正数。pjijijirph, 1211 5）取 ，其中 是 的对角元素。iiirh/12iir1R26 （三）极大似

12、然估计法 如果假定公共因子F和特殊因子 服从正态分布，那么可以得到因子载荷和特殊因子方差的极大似然估计。设 为来自正态总体Np( , )的随机样本。 n21x,x,xAA )()(21exp)(112 iininp2XX12 ()( )()()()nLff Xf Xf X,A,DX)()(21exp)2(12121 iipnixx27 它通过 依赖 和 。上式并不能唯一确定 ,为此可添加一个唯一性条件： 这里 是是一个对角矩阵，用数值极大化的方法可以得到极大似然估计 。极大似然估计 将使 为对角阵，且似然函数达到最大。 相应的共同度的似然估计为： 第j个因子对总方差的贡献：1和x 和和、122

13、2212imiiiaaah222212pjjjjaaaS28 例例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为法 一试用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/25/15/215/15/15/1129 特征根为： 55. 11 85. 02 6 . 03 6 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 06 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 0085. 0883. 055. 1475. 0A707. 0331. 0629. 0707. 0331. 0629. 00883. 0475. 0U548. 0305. 0783. 0

14、548. 0305. 0783. 00814. 0569. 030 可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献为。第一公因子F2为投资因子，对X的贡献为。共同度分别为1，。211814. 0569. 0FFx3212548. 0305. 0783. 0FFFx3213548. 0305. 0783. 0FFFx31 法二:试用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 )( |max2ijrhiji2ih52, 1,51232221hhh221251111515/25/25/15/215/15/15/15/1*R32 特征根为： 9123. 010877.

15、0203 对应的非零特征向量为：261. 0657. 0261. 0657. 0929. 0369. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0929. 09123. 0369. 0077. 0628. 0077. 0628. 0275. 0352. 0331211275. 0352. 0FFx2212077. 0625. 0FFx3211077. 0682. 0FFx新的共同度为：18129. 0275.352. 02221oh3966. 0077. 0625. 02222h4710. 0077. 0682. 02

16、223h34 4 因子旋转 建立了因子分析模型的目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵中每列或使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵中每列或行的元素平方值向行的元素平方值向0 0和和1 1两极分化两极分化。有三种主要的正交旋转法:四次方最大法、方差最大法方差最大法和等量最大法。（一）（一）为什么要旋转因子为什么要旋转因子35 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏

17、铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 36102. 017. 002. 001. 039. 018. 008. 009. 007. 0124. 034. 018. 013. 017. 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051.

18、 034. 0142. 035. 0159. 0137变量共同度0.6910.217-0.58-0.2060.840.7890.184-0.1930.0920.70.7020.5350.047-0.1750.80.6740.1340.1390.3960.650.620.551-0.084-0.4190.870.6870.042-0.1610.3450.620.621-0.5210.109-0.2340.720.5380.0870.4110.440.660.434-0.4390.372-0.2350.570.1470.5960.658-0.2790.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7

19、X8X9X10X 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。于是考虑旋转因子，得下表 38变量共同度0.844*0.1360.156-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0790.72-0.0360.1760.762*0.2170.66-0.048

20、0.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.934*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X39 通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑， 跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷， 可以称为短跑速度因子； 铅球， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子； 百米跨栏， 撑杆跳远， 跳远和为 跳高在 上有较大的载荷， 爆发腿力因子； 长跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X40变换后因子的共同度性质变换后因子的共同度性质设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换 AB

21、)()( mlljilmpijab1Bmjmjmlljilijiabh111222)()(B mjmlmjmlmltttjljitilljilaaa1111122)(2111222Aimlmjmlilljilhaa变换后因子的共同度没有发生变化！变换后因子的共同度没有发生变化！（二）旋转方法（二）旋转方法41变换后因子贡献的性质变换后因子贡献的性质设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换 AB )()( mlljilmpijab1B pipimlljilijjabS111222)()(B pimlpimlmltttjljitilljilaaa1111122 pimlmlljjljilSa1

22、112222)(A变换后因子的贡献发生了变化！变换后因子的贡献发生了变化！42 1 1、方差最大法、方差最大法 当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于 1 1，另一部分，另一部分趋于趋于0 0。1,2, ;1,2ijijiadip jh令211(pjijiddp这是列和）max/)()(1212pddVmjpijij简化准则为：max/)()(1212mjpijijpddVA的方差为：定义因子

23、载荷矩阵43例:时2m2122211211ppaaaaaaA221122212122121111FaFaXFaFaXFaFaXppp44cossinsincosT设旋转矩阵为：cossinsincosAATB则cossinsincoscossinsincos112112111211ppppaaaaaaaa*2*1*12*11ppaaaa4500V令，则可以解出0000cossinsincosT旋转矩阵为：46 1 1、四次方最大旋转、四次方最大旋转 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷

24、，而在其它的因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最简单的。 四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。47max)1(2112 pimjijmbQ简化准则为： pimjijijpimjijmbmbmbQ112242112)112()1( pimjpimjijpimjijmbmb111122114)112( pimjpimjijpimjijmbmb111122114)112( pimjijmpb114)2(MAXbQpimjij 114最终的简化准则为：

25、48 3、等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法结等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求合起来求Q Q和和V V的加权平均最大。的加权平均最大。 MAXpbbEpimjmjpiijij 1111224/)(最终的简化准则为：权数等于m/2，与因子数有关。49 5 因子得分因子得分 （一）因子得分的概念（一）因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。50 人均要素变量因子分析人均要素变量因

26、子分析。对我国32个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：X1 ：人口（万人） X2 ：面积（万平方公里）X3 ：GDP（亿元） X4 ：人均水资源（立方米/人）X5：人均生物量（吨/人） X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有科学家、工程师数（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR351 高载荷指标因子命名因子1X2；面积（万平方公里）X4:人均水资源（立方米/人）X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子因子2X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有的科学家、工程师数（人） 人力资源因子 因子3 X1;人口（万

27、人）X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 52 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR353REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.21

28、4990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三个因子得分54 因子分析的数学模型为： mpmppmmnFFFXXX2121222211121121 原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原变量的线性组合。 因子得分函数： pjpjjXXF11mj, 1可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于pm，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。551、巴特莱特因子得分巴特莱特因子得分( (

29、加权最小二乘法）加权最小二乘法） 把 看作因变量；把因子载荷矩阵 看成自变量的观测；把某个个案的得分 看着最小二乘法需要求的系数 。iixpmppmm212222111211ijF1) 巴特莱特因子得分计算方法的思想56mmpmpppipmmimmifafafaxfafafaxfafafax221122222121221121211111由于特殊因子的方差相异，所以用加权最小二乘法求得分，每个各案作一次，要求出所有样品的得分，需要作n次。 pjimimiiiijfafafax1222211/)()(1,mff使上式最小的是相应个案的因子得分。57 用矩阵表达：x- = AF+1()()minx

30、-AF Dx-AF满足上式的F是相应个案的因子得分。2112200D其中58111D (x-) = D AF+D 1-1-1AD (x-) = AD AF+AD -1-1A D (x-) = A D AF1-1-1AD AAD (x-) = F1()()0 x-AF Dx-AFF12()0A Dx-AF1( )0A D592）得分估计的无偏性如果将f和 不相关的假定加强为相互独立，则1(E-1-1A D AA DAF +/F)1)/ )EE-1-1(F/FAD AAD(x-) F1-1-1AD AAD AF11-1A DAA D AF F603）F的估计精度1()FF-1-1AD AADAF+

31、F1-1-1A D AA D ()EF-F)(F-F11E-1-1-1-1A D AA D D A A D A11-1-1-1-1A D AA D DD A A D A1-1A D A61 2、回归方法 nmnmnnmmnFFFXXX212121222211121121pjpjjXbXbF11mj, 1mmpmmppbbbbbbbbbbbb212122221112111) 思想62)(jiFxijFXEji)(11pjpjiXbXbXEipjpijbb11jpjjipiibbbrrr2121 则，我们有如下的方程组：63pjjjjpjjppppppaaabbb2121212222111211j

32、=1,2,m矩阵为原始变量的相关系数pppppp21222211121164个因子得分函数的系数为第 jbbbjpjj21列为载荷矩阵的第 jaaapjjj21 注：共需要解注：共需要解m次才能解次才能解出出 所有的得分函数的系数。所有的得分函数的系数。65矩阵表示方法 在因子模型中，假设 服从（m+p)元的正态分布，有F( )( )EEEFF0 xxVEFFFx-xx-66()()()EEEEFFF x-x- Fx- x-()()IEEF x-x- F()()IEEF AF+AF+ FIAA67()E-1-12F/x-A + A x21xx这是一个 对于给定的 的多元回归模型。1()A x1

33、22()(E-1-11122212222x /x - )+ x1FA(AA +D) (x-)可见682）估计的有偏性11()()EF-F)(F-FI + A D A3）平均预报误差11()EF/FF-(I + A D A) F69国民生活质量的因素分析 国家发展的最终目标，是为了全面提高全体国民的生活质量，满足广大国民日益增长的物质和文化的合理需求。在可持续发展消费的统一理念下，增加社会财富，创自更多的物质文明和精神文明，保持人类的健康延续和生生不息，在人类与自然协同进化的基础上，维系人类与自然的平衡，达到完整的代际公平和区际公平(即时间过程的最大合理性与空间分布的最大合理化)。 从1990年

34、开始，联合国开发计划署(UYNP)首次采用“人文发展系数”指标对于国民生活质量进行测度。人文发展系数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的健康状况(使用出生时的人均预期寿命表达)、人的智力程度(使用组合的教育成就表达)、人的福利水平(使用人均国民收入或人均GDP表达)，并且特别强调三类指标组合的整体表达内涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。70在这个指标体系中有如下的指标：X1预期寿命X2成人识字率X3综合入学率X4人均GDP（美圆）X5预期寿命指数X6教育成就指数X7人均GDP指数71 旋转后的因子结构 Rotated Factor Pattern FACTOR1

35、 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 X2 0.12166 X3 0.64803 X4 X5 0.38854 0.43295 X6 0.28207 X7 FACTOR1为经济发展因子 FACTOR2为教育成就因子 FACTOR3为健康水平因子72 被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 73 Standardized Scor

36、ing Coefficients标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 *6*5*4*3*2*109230. 017918. 05399. 035462. 024109. 018875. 01xxxxxxf*6*5*4*3*2*162258. 031604. 017336. 050232. 060335. 034397. 02xxxxxxf*6*5*4*3*2*124876. 081490. 010335. 059895. 010234. 085077. 03xxxxxxf74生育率的影响因素分析 生育率受社会、

37、经济、文化、计划生育政策等很多因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量，其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下用新生成的因子对生育率进行分析。 选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是1990年中国30个省、自治区、直辖市的数据。75多子率（%）综合节育率（%） 初中以上文化程度比例（%）人均国民收入（元） 城镇人口比例（%）0.9489.8964.51357773.082.5892.

38、3255.41298168.6513.4690.7138.2114819.0812.4690.0445.12112427.688.9490.4641.83108036.122.890.1750.64201150.868.9191.4346.32138342.658.8290.7847.33162847.170.891.4762.36482266.235.9490.3140.85169621.242.692.4235.14171732.817.0787.9729.5193317.914.4488.7129.04131321.3615.2489.4331.0594320.43.1690.2137.

39、85137227.349.0488.7639.7188015.5212.0287.2838.76124828.9111.1589.1336.3397618.2322.4687.7238.38184536.7724.3484.8631.0779815.133.2183.7939.44119324.054.7890.5731.2690320.2521.568622.3865419.9314.0980.8621.4995614.7232.3187.67.786512.5911.1889.7141.0193021.4913.886.3329.6993822.0425.3481.5631.3110027

40、.3520.8481.4534.59102425.8239.664.938.47137431.9176EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.0201 1.0000特征根与各因子的贡献特征根与各因子的贡献77 Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.

41、56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962没有旋转的因子结构没有旋转的因子结构78Factor1可解释方差Factor2可解释方差2.99754292.1642615各旋转后的共同度各旋转后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.9300636979 在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。 Factor1Factor2x1-0.35310-0.8717

42、0 x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728 Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋转后的因子结构方差最大旋转后的因子结构标准化得分函数标准化得分函数80 6 因子分析的步骤、展望和建议 2 2、计算所选原始变量的相关系数矩阵、计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变