保角变换和曲线坐标

1、8.7保角变换和曲线坐标学习思路:弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如 果利用空间的变换， 将是简化问题求解的最好途径。 保角变换就是充分发挥复变 函数的特长， 将孔口冋题映射到 平面的单位圆。这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换，矢量一 位移，张量-应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使 得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分 析。在本节学习之前，请你先学习 附录2，（有关保角变换的知识）学习要点:1.保角变换和曲线坐标；2.矢量的保角变换；3.位移分量的曲线坐标表达式;4.应力分量的曲线坐标表达

2、式。为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换Z =（）将物体在z平面上所占的区域变为在平面所占的区域。一般的说，通 过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为匕平面的单位圆内的 区域二 并且将z平面上的区域S的边界I映射为单位圆，对应的关系如下表:匕平面z平面-=0（无穷远点）z=0（原点）P=const（圆）P =con st（曲线）=co nst（半射线）=co nst（曲线）域$域Sddz由于平面上的任一点可以表示为，匚 和、是点的极坐标。而根据保角变换公式z = (),则z平面任意一点也可以通过 匸和，表 示。因此， 和

3、又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式 表示位移和应力有利于问题的分析。曲线坐标的概念：平面的一个圆周T=COnst和一条径向直线:=const分别 对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作=COnst和,const。于是和可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正 交的，而且坐标轴r和的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所 示。首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标 ，即=COnst与x轴夹角，如果A为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标夹角。设Ax, Ay分别表示矢量A在x，y轴的投影；Ar, A.表示在=const和=COnst上的投影，贝

4、U4 +L4=j4cos(cf + 0) +1Asin( + 0) =+4二T4COS + L4siii0二 -)c上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动a角后，其在Oxy坐 标系的位置，相当于A在曲线坐标系(二，)中的位置，如图所示。血=| 血 |cos + i | dz | sin o =|血 |elc碼二|時|严dz區Ti讥釧帖I|讥釦const如果用u:：- , u分别表示曲线坐标下的位移矢量分量,知+i%根据保角变换，有宅二防童人E二P严血二少 （時所以沿曲线（。取微分线段埜-丄血川（dz,则在平面对应的有d，由于少皓-讥亠少（芒3（0 9.弘-讥I所以，取其共轭可得J将上式

5、回代到公式1 ，可得叫叫=1空晒+%)下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先，设K-M函数和 (z)分别使用1和(z)代替，同时令件(二伊fiO)二跖!(狞毎)二沖二衍的(纫则=聲=丄两伴=垃 玖認二业凹(血2G（巩+iv） = -啓-旳乜）-卩1 + 1/3I/13 izm(2G(u+ iv) =-n-旳=7ft (*?)-=% (-叽1 + K1 + K少()在Z平面上，将位移矢量向曲线坐标和投影。由公式捉+辿二匹圭位+辿)可得+i叫=|迪纽+%）3IQ上式两边同时乘以2G，可得根据位移表达式，有上式是 平面上的曲线坐标系表达的位移表达式下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达

6、式。如果用lp OXp ,Tpip表示物体在曲线坐标中的应力分量。则而由公式$ 吨）F二H_kWJL二 / 抄（巴 创心）1_b 占（丽一 b 屈所以%厂2殄+ p=4Rc务-勺+21。厂羽辺+珥二萌炉（0 +讥卵它）上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函 数表达式。因为 2cyx- 卜2心加+心疣cos 2acos2cr一siii 2左sill 2a +8.8无限大薄板的孔口问题学习思路:本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍然是将K-

7、M函数分解为以级数表达的解析函数和对数表 达的多值函数两部份。对于K-M函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数 的求解方程。这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质， 使用柯西积 分使得计算简化。学习要点:1.保角变换公式与K-M函数；2.利用孔口边界条件确定K-M函数求解公式；3.柯西积分确定K-M函数的级数形式。保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界I映射为平面上的单位圆，将I以 外的无限区域S映射为平面上的单位圆内的有限区域 三，将z平面上的无穷远 点映射为 平面的坐标原点，如图所示。保角变换公是将I式:以外的无限区域映射为单位圆内（|v1）的普遍变换式，公式中R为实

8、数，Ck为复数，而且1。保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数门和*（），即将K-M函 数L-n和T（z）变换到曲线坐标中去。3 -v歼住）二二一（F迟）贬+（BiCf）z +肌二In R _ln彳十lnl + （Cg + q学 + +qy+】）IGI由于1，将上式展开，有（兀+迟血唸+福InzP=城严冲卄.严）其/、中因为lnXGf+q孑+q严）二y 严）-扣證yy了于所以,In z = In +单位圆内部 的解析函数0二净 n 孑）=（i + cu+c/ + q严）尺根据上述分析，厂的各项都转变为单位圆内的单值解析函数。因此例（二-罟产（兔+i号）h诸+加（ +初（3 v呎 = -迟）l

9、nf +（阳心）少 +兀（0 071其/、中，%（二 F，肌（二丈0蜜*=1Jt=l讨论边界条件确定K-M函数1_1和=。）。根据面力边界条件，经过保角变换后，可得以十題乔丙+菊二（町+迟）血血（歹）例（）*鶴） +卩 Q）二（码+馮）也打2）*为 9）CD（CF）3在单位圆的圆周上,条件可以表示为1。所以上述面力边界宝二Z根据公式兀丰迟）ln沙工呼”二-字（巴+i）liiz+（B+iqz + pf0（z） o7l肖二兴（耳-迟血（EW6+肌 呂兀，则在边界即单位圆周上刃G）二-学（巧卡迟） 血小加 Q）+ %（3 v好（二飞一（兀-迟）InIT+ （5r+i丁）少（b） + %9）将上述K-

10、M函数的边界值回代面力边界条件，并且将已知函数与需要 确定的未知函数分开，可得%（b）+=Lf（T）+ 阮（歸=兀（另曲（G外）（+竺头兔 3 5 9）=无 9） 讥 E其中已知函数为兀Q） =L（陷+i嘉）血-巴+ i % 1 + P .ZJ（r）.-市厂In厂盂（迟）舖b 2脳9）-0皿）辿因为池-和：0（）是单位圆内的泰勒级数，它们是从Z平面上1R之外无穷区域 的罗伦级数转化而来的。因此对于公式% 3） + 阮=兀O讥疗）兔（d）+（b）+必 9）=无 9）少（bj幕级数求解时，由于方程两边都含有口k=e以 的各个项（k由一到）,比较各个同类项的系数，即可求得ak，bk的佝值。不过这样作太麻烦了，由于和*o（ J在单位圆内是解析的，而且在圆内和圆周上是连续的，因此可以直接采用柯西积分计算企将边界条件的第一式两边乘以，积分可得由于沁一在单位圆内是解析的，因此公式的第一个积分即等于公V CEU -，它是级数二