人教A版高中数学必修2课时检测第二章点、直线、平面之间的位置关系Word版含答案

1、21空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面平面导入新知1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍如图所示(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图所示3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.化解疑难几何中的平面有以下几个特点(1)平面是平的(2)平面是没有厚度的(3)平面是无限延展而没有边界的平面的基本性质导入新知平面的基本性质公理内容

2、图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl化解疑难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相

3、互转化例1如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点M与平面AC.(4)点A1与平面AC.(5)直线AB与直线BC.(6)直线AB与平面AC.(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字

4、语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图所示；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图所示；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图所示点、线共面问题例2证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内法一：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B

5、.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内法二：(辅助平面法)l1l2A，l1，l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“

6、反证法”活学活用下列说法正确的是()任意3点确定一个平面；圆上的3点确定一个平面；任意4点确定一个平面；两条平行线确定一个平面ABCD答案：C共线问题例3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如右图所示求证：P，Q，R 3点共线证明法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R 3点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P

7、，Q，R三点共线类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上活学活用如右图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1 3点共线证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD

8、1，即B，Q，D1三点共线2.证明三线共点问题典例(12分)如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD交于一点解题流程活学活用如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.点P在直线BD上.一、选择题1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()A

9、Al，lBAl，lCAl，lDAl，l答案：B2下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面答案：D3空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是()A1B2C3D1或3答案：D4下列推断中，错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，重合答案：C5在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上DM既不在直线AC

10、上，也不在直线BD上答案：A二、填空题6线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_答案：直线AB平面7把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，abcO_.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8平面平面l，点A，B，点C平面且Cl，ABlR，设过点A，B，C 3点的平面为平面，则_.答案：CR三、解答题9求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面解：已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：如图所示，因为ab，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为.因

11、为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面10已知正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 4点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线证明：如图(1)连接B1D1，EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，

12、B1D1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ.故P，Q，R 3点共线21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系导入新知1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法：2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点化解疑难1对于异面直线的定义的理解异面直

13、线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线例如，如右图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线2空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线平行公理及等角定理导入新知1平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac.2等角定理空间中如果两个角的两边

14、分别对应平行，那么这两个角相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：0°90°.(3)当90°时，a与b互相垂直，记作ab.化解疑难对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补两直线位置关系的判定例1如右图所

15、示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_. 答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，

16、B，l，BlAB与l是异面直线(如右图)活学活用如右图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由：M，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1DC1C，A1AC1C.四边形A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC.A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1，BC 平面CC1D1.而

17、BC平面CC1D1，BC平面CC1D1，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线平行公理及等角定理的应用例2如右图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，MM1AA1.又AA1BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐

18、角BMCB1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等(3)公理4.2空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点求证：BFED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.F为CC1的中点，BGC1F.四边形BGC1F为平行四边形BFGC1.又EGA1B1，A1B1C1D1，EGD1C1，四边

19、形EGC1D1为平行四边形，ED1GC1，BFED1.两异面直线所成的角例3如右图所示，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小解取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90°，异面直线CD1，EF

20、所成的角为90°.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角(2)证：证明作出的角就是要求的角(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值范围是0°90°.活学活用已知ABCD­A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小解：如右图所示，连接A1D和C1D.B1CA1D，DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，A1DA1C1C1D，A1C1D为等边三角形即C1A1D60

21、6;.异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.2.探究空间中四边形的形状问题典例在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明如右图所示，连接BD.因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD.同理，FGBD，且FGBD.因此EHFG.又EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EHBD，同理EFAC，又BDAC，因此EHEF，所以四边形EFGH为矩形2菱形的判断本例中，若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证

22、明：由例题知EHBD，且EHBD，同理EFAC，且EFAC.又ACBD，所以EHEF.又四边形EFGH为平行四边形，所以四边形EFGH为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ACBD，且ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1与2可知，四边形EFGH为正方形4梯形的判断若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CFFBCGGD12，则四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知EH是ABD的中位线，则EHBD且EHBD.又，FGBD，FGBD，FGEH且FGEH，四边形EFGH是梯形方法感悟根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明

23、了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法一、选择题1若a，b，c是空间3条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是()A异面B相交C平行D异面或相交答案：D2.如右图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或异面答案：A3如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直答案：D4下列命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直

24、线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行其中正确的结论有()A1个B2个C3个D4个答案：B5若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B二、填空题6直线a，b平面，且a，b成的角为40°，经过外一点A与a，b都成30°角的直线有且只有_条答案：27已知正方体ABCD ­A1

25、B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_答案：8如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_答案：三、解答题9.如右图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.E是AA1的中点，EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，EQB1C1(平行公理)四边形EQC1B1为平行四边形B1EC1Q.又Q，F是DD1，C1C两边的中点，QDC1F.四边形QDFC1为平行

26、四边形C1QDF.又B1EC1Q，B1EDF. 四边形B1EDF为平行四边形10.已知三棱锥A­BCD中，ABCD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60°角，所以MPN60°或MPN120°.又因为ABCD，所以PMPN，若MPN60°，则PMN是等边三角形

27、，所以PMN60°，即AB与MN所成的角为60°.若MPN120°，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30°，即AB与MN所成的角为30°.综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.21.3 & 2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系导入新知直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示化解疑难1利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系(1)当直线与平面

28、无公共点时，直线与平面平行(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内2直线在平面外包括两种情形：a与aA.空间中平面与平面的位置关系导入新知两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两平面相交l有无数个公共点(在一条直线上)化解疑难1判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型2画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行直线与平面的位置关系例1下列说法：若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中

29、说法正确的个数为()A0B1C2D3答案B类题通法空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断活学活用下列说法中，正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平

30、行A0B1C2D3答案：C平面与平面的位置关系例2(1)平面内有无数条直线与平面平行，问：是否正确？为什么？(2)平面内的所有直线与平面都平行，问：是否正确？为什么？解(1)不正确如图所示，设l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行(因为a1，a2，an，与平面无交点)，但此时与不平行，l.(2)正确平面内所有直线与平面平行，则平面与平面无交点，符合平面与平面平行的定义类题通法两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直

31、线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一条公共直线若平面与平行，记作；若平面与相交，且交线为l，记作l.活学活用1在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有_组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有_个答案：462.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC­A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：平面ABC与平面A1B1C1无公共点，平面ABC与平面A1B1C1平行平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，平面ABC与平面ABB1A1相交同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B

32、1均相交3.有关截面图形的形状问题典例(12分)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状解题流程规范解答由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图所示(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图所示(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图所示(12分)活学活用如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点G及AC；(2

33、)过3点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示一、选择题1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行B相交C平行或相交D不能确定答案：C2如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A平行B相交

34、C直线在平面内D平行或直线在平面内答案：D3若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案：B4已知直线m，n和平面，mn，m，过m的平面与相交于直线a，则n与a的位置关系是()A平行B相交C异面D以上均有可能答案：A5给出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行其中正确说法的个数为()A0B1C2D3答案：B二、填空题6下列命题：两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若l，m

35、是异面直线，l，m，则.其中错误命题的序号为_答案：7与空间四边形ABCD 4个顶点距离相等的平面共有_个答案：78下列命题正确的有_(填序号)若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.答案：三、解答题9.如右图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM

36、所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交10已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论解：平面ABC与的交线与l相交证明：AB与l不平行，且AB，l，AB与l一定相交，设ABlP，则PAB，Pl.又AB平面ABC，

37、l，P平面ABC，P.点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与的交线即平面ABCPC，而PClP，平面ABC与的交线与l相交22直线、平面平行的判定及其性质22.1 & 2.2.2直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定导入新知表示图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行a化解疑难1用该定理判断直线a和平面平行时，必须同时具备3个条件：(1)直线a在平面外，即a.(2)直线b在平面内，即b.(3)两直线a，b平行，即ab.2该定理的作用：证

38、明线面平行3应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可平面与平面平行的判定导入新知表示图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行化解疑难1平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的2面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行直线与平面平行的判定例1如右图所示，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ.求证：PQ平面CBE.证明作PMAB交BE于点M，作QNAB交BC于点N，连接MN，如图，则PMQN，.

39、EABD，APDQ，EPBQ.又ABCD，PMQN，四边形PMNQ是平行四边形，PQMN.又PQ平面CBE，MN平面CBE，PQ平面CBE.类题通法利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等活学活用如下图所示，已知A1B1C1­ABC是三棱柱，D是AC的中点求证：AB1平面DBC1.证明：A1B1C1­ABC是三棱柱，四边形B1BCC1是平行四边形，连接B1C交BC1于点E，则B1EEC.连接DE，在AB1C中，ADDC，DEAB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC

40、1.面面平行的判定例2如下图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB.证明(1)连接B1D1.E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，EFB1D1.而BDB1D1，BDEF.E，F，B，D四点共面(2)易知MNB1D1，B1D1BD，MNBD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB，MN平面EFDB.连接MF.M，F分别是A1B1，C1D1的中点，MFA1D1，MFA1D1.MFAD，MFAD.四边形ADFM是平行四边形，AMDF.又AM平面BDFE，D

41、F平面BDFE，AM平面BDFE.又AMMNM，平面MAN平面EFDB.类题通法两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行活学活用如右图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点求证：平面AFH平面PCE.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FHPC.因为PC平面PCE，FH平面PCE，所以FH平面PCE.又由已知得AECF且AECF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AFCE，而CE平面PCE，AF平面PCE，

42、所以AF平面PCE又FH平面AFH，AF平面AFH，FHAFF，所以平面AFH平面PCE.线线平行与面面平行的综合问题例3如右图所示，在四棱锥O ­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则MEAB.又ABCD，MECD.又ME平面OCD，CD平面OCD，ME平面OCD.又NEOC，且NE平面OCD，OC平面OCD，NE平面OCD.又MENEE，且ME，NE平面MNE，平面MNE平面OCD.MN平面MNE，MN平面OCD.类题通法解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常

43、见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的(2)所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理活学活用如右图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD.F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1

44、，FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.4.探索点的位置问题典例(12分)如下图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解题流程Q为CC1的中点，P为D1D的中点，PQDC.(3分)又DCAB，PQAB且PQAB，四边形ABQP为平行四边形，QBPA.(5分)又PA平面PAO，QB平面PAO，BQ平面PAO.(7分)连接BD，则OBD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，POD1B.(8分)

45、又PO平面PAO，D1B平面PAO，D1B平面PAO.(10分)又D1BBQB，平面D1BQ平面PAO.(12分)活学活用如右图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：如图，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所

46、以BG平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B.因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.一、选择题1已知两条相交直线a，b，a平面，则b与的位置关系是()Ab平面Bb或bCb平面Db与平面相交，或b平面答案：D2下列说法正确的是()A若直线l平行于平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线ab，b，则aD若直线ab，b，那么直线a平行于内的无数条直线答案：D3在正方体ABCD ­ABCD中，E，F分别为平

47、面ABCD和平面ABCD的中心，则正方体的6个面中与EF平行的平面有()A1个B2个C3个D4个答案：D4已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()Aml，lmBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM答案：D5下图4个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()ABCD答案：B二、填空题6已知a，b，c为3条不重合的直线，为3个不重合的平面，现给出6个命题：ac，bcab; a，bab；c，c； ，；c，aca； a，a.正确命题是_(填序号)答案：7下列说法正确的个数是_若直线l上有两点到平面的距离相等，则l平面；若

48、直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行；两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行答案：08.如右图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.答案：MFH三、解答题9.如右图所示，在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1.证明：如图，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1DC，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.10在正方体ABCD ­A1B1C1