2014年江苏高考数学试题

1、【答案】42014 年江苏高考数学试题数学I试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S圆柱二cl,其中 c 是圆柱底面的周长，I 为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱二Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合 A = -2 , -1,3, 4 , B = -1,2, 3，则 A B 二.【答案】-1,32 已知复数 z =（5 2i）2（i 为虚数单位），则 z 的实部为.【答案】213.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是.【答案】5概率是.【答案】-35.已知函数y =cosx与 y =s

2、in（2x：；：）（0 S：二），它们的图象有一个横坐标为-的交点，贝 U 的值是.3【答案】-66.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm）,所得数据均在区间80,130上，其频率分布 直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm.【答案】247.在各项均为正数的等比数列 an中，若4.从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的SO 旳 I0U 110 120 LW 氐部同拴/cm （第 6題）【答案】4a1 ,a62a4, 则 a6的值是.68.设甲、乙两个圆柱的底面积

3、分别为S ,3，体积分别为V ,V2，若它们的侧面积相等，且则 p 勺值是.【答案】39.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y_3=0 被圆(x 2)1 2 (y T)3=4 截得的弦长为.【答案】乙互510.已知函数 f(x)=x2mx -1,若对任意 xm,m 1,都有 f(x)：0 成立，则实数 m 的取值范围是.【答案】一冷2,02b11.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y 二 ax -(a ,b 为常数)过点 P(2 , -5)，且该曲线在点 P 处的 x切线与直线 7x 2y 0 平行，则a b的值是.【答案】七12.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB =8

4、 ,AD=5 , CP =3PD ,APBP=2，贝 U AB AD 的13.已知 f (x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 可 0,3)时，f(x) =在区间七，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是.【答案】0,114.若ABC的内角满足 sin A 2sin B =2sin C，贝 UcosC的最小值是.【答案】24二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤15.(本小题满分 14 分)已知，二,sin5.25(1) 求 sin 4 7-啲值；51 _952 =4，值是.【答案】2

5、2【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分 14 分.(1)，二，sin5,2f5cos :1sin : =-E5sinsin cos 二川 coss in2(cos 二川 s in：)10；444210(2)Tsi n2: =2s in : cos : = - ,cos2: =cos2：-sin2：=-55迹一2，coscos2ss 評 n 2,今332 -5 -驾卢16.(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥P-ABC中，D ,E ,F 分别为棱PA _ AC , PA =6 , BC =8 ,DF=5 .(1) 求证：直线 PA/平面

6、DEF ;(2) 平面 BDE 丄平面 ABC.【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.(1)TD , E 为 PC , AC 中点 DE / FA/PA二平面 DEF , DE 二平面 DEF PA /平面 DEF(2)TD ,E 为 PC , AC 中点 D-2P3 E , F 为 AC , AB 中点 EF 二?BC =4- DE2EF2=DF2. DEF =90 DE 丄 EF/ DE /PA ,PA_AC ,DE_AC/ ACEF 二 E DE 丄平面 ABC/ DE 二平面 BDE ,平面 BDE 丄平面

7、 ABC .2217.(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，R , F2分别是椭圆 -y?=1(a b 0)的左、a b右焦点，顶点 B 的坐标为(0,b)，连结 BF2并延长交椭圆于点一点 C,连结 FC .(1)若点 C 的坐标为 4 1，且 BF 2，求椭圆的方程;33x -2x+：.若函数 y= f(x) -aPC , AC , AB 的中点.已知A，过点(2 )若 FC _ AB，求椭圆离心率 e 的值.3【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力满分 14 分.16 1(1)C3，3， I l=9 BF22

8、二 b2c2=a2, a2=( 2)2=2,b2=12椭圆方程为2 y2=1(2) 设焦点 F) ,F2(c ,0) ,C(x ,y)/ A ,C 关于 x 轴对称， A(x, - y)TB, F2, A 三点共线，屯=_2,即 bxcy_bc=0 -c-xy b1 ,即 xc - by 亠 c2=0 x c -c18.(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 经测量，点C 位于点 O 正东方向 170m

9、处(OC 为河岸)，tan._BCO.3(1)求新桥 BC 的长;(2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形 等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能 力.满分 16 分.解法一：(1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角 坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60) , C(170, 0),4直线 BC 的斜率 kBC= tan/ BCO=联立方程组,解得厂2ca22b c C_ _2bc2C(b2_c2，b2c2yb72 2a c 2bc化简得 5c2=a2, a2c22bc22 2 2

10、 2b - - c _ _ b - - c_ 1=，a2許宦故离心率为 iOA 上并与 BC 相切的圆，且古桥A 位于点 0 正北方向 60m 处，点3又因为 AB 丄 BC,所以直线 AB 的斜率 kAB=.4设点 B 的坐标为(a,b),贝 U kBc=b一4,a1703b -603kAB=,a 04解得 a=80, b=120.所以 BC=(170-80)2(0-120)2=150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0 d 80i 5d一80所以即5解得10 d 80683d6d) 805故当 d=10 时,r =翌 最大，

11、即圆面积最大.5所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大 解法二:(1)如图，延长 OA,CB 交于点 F.443因为 tan/ BCO =.所以 sin / FCO = , cos/ FCO =.355因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tan/ FCO=6803CF=C850,从而AFrOF-OAr500cos乂FCO 3 3因为 OA 丄 OC,所以 cos/ AFB=sin/ FCO=-,5又因为 AB 丄 BC,所以 BF=AF cos/ AFB=400，从而 BC=CF-BF=150.3因此新桥 BC 的长是 150 m.设保护区的边界圆 M 与 BC 的

12、切点为 D，连接 MD，贝 U MD 丄 BC,且 MD 是圆 M 的半径， 并设 MD=r m, OM=d m(0 d 60).因为 OA 丄 OC,所以 sin/ CFO=cos/ FCO ,故由知，sin/ CFO =MDMF OF -OM 680 d 3z 680 3dd=10时,r最大，即圆面积最大.5所以当 0M = 10 m 时，圆形保护区的面积最大佃.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=ex(丄其中 e 是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数;(2)若关于 x 的不等式 mf(x) e 丄 m-1 在(0 , :：)上恒成立，求实数 m 的取值范围;(3)

13、已知正数 a 满足：存在 X01,xc)，使得 f (人)a(-x0+3x。)成立.试比较 ea丄与 ae的大小, 并证明你的结论.【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分.(1)xR， f(-x) =eex=f(x)， f(x)是R上的偶函数(2)由题意， m(e ex) ，m 1，即 m(ex-1) -1，当且仅当 t=2 时等号成立t -t 1 (t -1)(t-1) 1t 丄 V 3t 1 / 1mw3(3)f (x) =ex-e，当 x 1 时 f(x)0， f (x)在(1，：)上单调增令 h(x

14、)二 a(-x33x)， h(x) - -3ax(x-1) / a 0 ,x 1， h(x)：0，即 卩 h(x)在 x (1，：)上单调减因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以r_d80即 Jr -(60-d) 80680-3dd 805680-3d(60d) 80解得10 d 35MD=3,所以=68-3d55故当存在 Xo1,：)，使得 f(X。)：a(_x。33Xo) , f(1) =e 丄：:：2a，即 a1e -e2 ee-1Tn 空 =ln ae-Jn ea=(e -1)ln aa T e _设 m(a) =(e _1)ln a _a 1 ,贝Um(a

15、)1_1 二e-1_a , a .丄 e -aa2、 e11当 2 e e ”: a”：e-1 时，m(a) .0, m(a)单调增；当a e-1 时，m(a)：0, m(a)单调减因此 m(a)至多有两个零点，而 m(1)=m(e) =0当 a e 时，m(a)：；0， ae- : ea-；当斗 e 1 :;a : e 时，m(a) : 0， ae_ea丄；2e当 a =e 时，m(a) =0， ae- =ea-.20.(本小题满分 16 分)设数列a.的前 n 项和为 Sn.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得-am, 则称an是“ H 数列”.(1)若数列an的前 n 项和 S

16、=2n(nN “)，证明：an是“ H 数列”;(2)设an是等差数列，其首项 a1=1，公差d 2 时，an=Sn-Sn2n2丄=2 心当 n =1 时，a1二 S =2 n二1时，S1=a，当n2时，Sn=an 1 -a“是“ H 数列”m N 使 Sn=am，即 nn(：d =1 (m -1)d取n =2得 1 d =(m -1)d , m =2 + d d：0, m：2，又 mN，二m =1,d.n(n T)2n(n _1)2Sn2（3）设 an的公差为 d令 bn(n 一 1) =(2 n，对 一 n N , bni-dCn=(n 1)($ d)，对 一 n 二 N , cnt-cn

17、d则 bnCn= a!(n -1)d =&，且bn ,G为等差数列bn的前 n 项和 Tn二 na（f），令= （2 - m），贝 U m 二n（n；3）当n =1时m =1;当n =2时m =1;当n3时，由于 n 与n-3 奇偶性不同，即 n（n 一 3）非负偶数，mm N因此对-n ,都可找到 m N ，使成立，即bn为“ H 数列”.Rn二业尸（Q d），令 Cn二仲-“ d）=Rm，则 E 二叫尸 1T对-nN ”，n（n -1）是非负偶数， m N即对-nN “，都可找到 m N ,使得 R 二 q 成立，即G为“ H 数列” 因此命题得证数学H（附加题）21.【选做题】本

18、题包括 A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.【选修 4-1:几何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，AB 是圆 0 的直径，C、 D 是圆 0 上位于 AB 异侧的两点证明：/ OCB= / D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力满分 10 分证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.故/ OCB= / B.又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故/ B,/ D 为同弧所对的两个圆周角，所以/ B=/ D.因此/ OCB= / D.B.【选

19、修 4-2:矩阵与变换】（本小题满分 10 分）G的前n项和【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力Ba= P+y1，由Aa=Ba得2 + 解得 X舟，y = 44 - y 2 xy =4 - y ,2C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)乂亠炉,在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 I 的参数方程为_ (t 为参数)，直线 I 与抛物线 y2= 4xy=2+亚 t/ 2交于 A,B 两点，求线段 AB 的长.【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10分.直线 I: x y =3 代入抛物线方程 y

20、2=4x 并整理得 x2-10 x 亠 9=0交点 A(1,2) , B(9 , -6)，故 |AB|=8、2D.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)2 2已知 x0, y0,证明：(1 + x+y)(1 + x+y) 9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 x0, y0,所以 1 + x+y233xy20, 1+x2+y33x2y 0,所以(1+x+y2)(1+x2+y) 33xy233x2y=9xy.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

21、或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1) 从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为X1,X2, x3，随机变量 X 表示 X ,2,中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望E(X).22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.已知矩阵 A2,I1x，B=1|(2 -1x,y为实数，若Aa= Ba，求x,y的值.满分 10 分.A一 2y:2，xy(1) 一次取 2 个球共有 C2=36 种可能情况，2 个球颜色相同共有 C2C3C10 种可能情况取出的2个球颜色相同的概率卩疇埒X 的所有可能取值为 4,3, 2，则2 16- 十-故2f1q)寸2(2)1P(X=c94=126P(X=3)c：c；c；c613P(X=2)C36311=1 _p(x =3) _P(X =4) J14X234P111311463126故 X 的数学期望 E(X)=2吧十3噪 3+4磊 6=晋23.(本小题满分 10 分)