定积分在几何中的应用

1、第五节 定积分在几何中的应用然后讨论定积分在几本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法一一微元法, 何中的应用。、微元法本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定A f i Xi在实用上，为简便起见，省略下标i。用 A表示任一小区间 x，x dx上的小曲边梯形的面积，这样A A取X,X dx的左端点X为i ,以点X处的函数值f X为高，dx为底的矩形面积为A的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即严w/i£用4边號XA f x dx上式右端f X dx称为面积微元， 记为dA f X dx，于是面积图 5-14A就是将这些微元在区间 a，b上 的“无限累

2、加”，即a到b的定积分bbA dA f xdxaa分通过上面的作法，我们可以把定积分一一和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F的积分表达式，可按以下步骤确定：（1）确定积分变量x,求出积分区间 a,b 。（2）在a，b上，任取一微小区间x, Xdx ,求出部分量 F的近似值F dFf X dx （称它为所求量F的微元）。bb（3）将dF在a，b积分，即得到所求量 FdFf x dxaa，通常把这种方法叫做微元法（或兀素法）F面用微元法讨论定积分在几何中的应用。、平面图形的面积1.直角坐标情形根 据定积 分的几 何意义由区间a，b连续

3、曲线g x ,xa，b及直线xa、x b所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为Aa利用微元法求解可得同样的结果。x g x dx其中d A f x g X dx，就是面积元素例1计算由两条抛物线y2 x和x2 y围成的图形面积。解（1）如图5-15所示，确定积分变量为 解得两抛物线交点为（0，0）、（ 1， 积分区间o,1x2x由方程组 x1 ），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即（2）在区间0,1上，任取小区间 底为dx的小矩形面积，从而得面积元素.x x2 dx所求图形面积为x, x dx对应的窄条面积近似于高为 x x ，dAx2dx2x3图 5-16例2、求曲抛

4、物线110= 3 （平方单位）X与直线y X 2所围成的图形面积。2 y5-16所示确定积分变量为 y，解方程组 y解：（1）如图解得交点（1,-1 ）及（4,2）从而知这图形在 y 1与y=2之间，即积分区间12（2）在区间1,2上，任取一小区间 y,y dy ,对应的窄条面积近似于高为dy，底- 2为y 2 y的矩形面积从而得到面积元素2dA y 2 y dy（3） 求图的面积为22 2 1 2 1 3A 1 y 2 y dy 尹 2y9 （平方单位）=2如果取x为积分变量，则积分区间须分成0,，,4两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。般地，

5、由区间c,d上的连续曲线x y、x y y y,yc,d及直线c、y d所围成平面图形面积为dy y dy面积元素是dA y y dy一般说来，求平面图形面积的步骤为：(1) 作草图，确定积分变量和积分区间;(2) 求出面积微元。(3) 计算定积分求出面积。上任取一小区间，在2、极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算它们的面积方便。用微元法计算：由极坐标方程示的曲线与射线 扇形面积(图 以极角所围成的5-17 )。为积分变量，积分区间为，与它相应的小曲边扇形面积近似于以ddA为圆心角。1为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素2于是所求面积为12d2d例3计算心形线cos (0)所围成的平面图形的面

6、积(图5-18 ）。解由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积 再2倍即得所求面积A。对于极轴以上部分图形,d上任一小区间 ，'1 cos 、圆心角为1dA2 1 cosAicos2d2 cos2 cos2cos1cos 2 dA1的变化区间为°，。相应于°，的窄曲边扇形的面积近似于半径为的圆扇形的面积。从而得到面积元素2d22si n=4所求，所求面积为2A 2A132三、体积1、旋转体的体积f x与直线x a、x b、及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴设一旋转体是由曲线 y 旋转而成（图5-19）。现用微元法求它的体积。在区间a,b上任取x,x dx，对应于该小

7、区间的小薄片体积近似于以 以dx为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为dV从a到b积分，得旋转体体积为f X为半径,类似地，若旋转体是由连续曲线Xy 6 y d及y轴所围成的图形绕f x 2dxb f2 xdxa与直线积例（图解y轴旋转而成，则其体积为d 2c2x24求椭圆a5-20 ）。将椭圆方程化为y dy2_y_b2轴旋转而成的旋转体的体所求体积为b2V adx体积元素为dVa2dxb22adx当a=b=R时,例5试求由过点0（ 0， 转而成圆锥体的体积（图解过OP的直线方程为得球体积0)5-21)。2 b22-a4 R33dxb2ab2及点P（r,h）的直线，yh及y轴围成的直角三角

8、形绕y轴旋因为绕y轴旋转，所以取体积元素为y为积分变量，积分区间为0,h。dV2dy于是圆锥体的体积为图 5-20图 5-212、2rh213-y3平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积图 5-22取x为积分变量，它的变化区间为a,b。立体中例6 一平面经过半径为 这个平面截圆bV A xdxaR的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图 5-23 ）。计算分计算。如图5-22所示，取上述定轴为 x轴，并设该立体 在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以 A(x

9、)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。A(x)为x的 已知的连续函数。相应于a,b上任一小区间x，X dx的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素dV Ax dx于是所求立体的体积为边的长度分别为 y及ytana，柱所得立体的体积。解取这平面与圆柱体的底y轴。面的交线为x轴，以过底圆中心且垂直 x轴的直线为 此时，底圆的方程为2 2 2x y R。立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形。它的两条直角R2 x2及 R2 x2 tana。于是截面面积为1 R2x2 tan a2因此所求立体体积为VTr2R231_2xtan aR x23x2 tan adxR习题5-5-R3 tan a31.求由下列已知曲线围成的图形的面积：(1)yx3,y2x；(2)yln x, yln 3, yln 7, x 0;(3)y2x ,yx2 2,y0;>(4)2y2x, x2y2x.0;(5)y2x , y2x(6)y1,y xx, y2.2求由下列各曲线或射线围成图形的面积(1)0,0,2(2)2 cosa0;3 cos 和1cos的内部22ca cos2 a03.求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积:2 2(1)yx ,yx,绕x轴(2)ycosx, x0,x,y °,绕x轴(3)2xy40,x0, y