定积分与微积分

1、2016年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分应用从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要 在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察 了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下， 才能在这么多省份间拉开差距所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具 有参考价值。在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20% 30%、知识精讲.定积分：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点<x：x- :：: Xn:：:Xn二b。

2、把区间a,b分成n个小区间，各小区间的长度依次为n似=xi _x(i =1,2)并作和S =迟f (fJAx，记扎=maxAxMx2,AxJ，如果不论对a,bi 4怎样的分法，也不论在小区间Xi,Xi上点fi怎样的取法，只要当0时，和S趋于确定的 极限I ,我们称这个极限I为函数f(x)在区间ab 上的定积分，记为f (x)dx 二 I Tim。' f (fi xiai吕.定积分存在定理: 当函数f (x)在区间a,b上连续时，贝U f (x)在区间a,b上可积;设函数f (x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，贝Uf (x)在区间a,b上可积。三. 定积分的几何意义：bf(x)

3、 0时，f(x)dx =A，则A表示f (x)的图像与X二a,x = b及x轴围成的曲边梯形面a积；b若f (X) < 0，令.f (x)dx = -A，贝U - A表示f (x)的图像与X =a,x = b及x轴围成的曲边梯a形面积的负值。四. 微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式b如果f (X)是区间a,b上的连续函数，并且F '(X)二f (X)，则f (x)dx= F(b) - F(a)。若bF(b)-F(a) =F(x)|：，则 f(x)dx=F(x)|： = F(b)-F(a)。a牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数 问题。五洛必

4、塔法则：设(1)如果当x > a时，函数f(x),g(x)都趋于零；(2 )在(a,、：)内，f '(x), g '(x)都存在，且g'(x)=O ; (3)极限lim匚凶存在(或为无穷大)；则lim匕勺存在， Tg'(x)Tg(x)f (x)f'(x)且 limlimx)a g(x) x a g'(x)上述准则称为洛必塔法则。六二次曲线在某点处的切线方程： 设P(xo,yo)是圆x 2 设P(x0, y0)是双曲线2 y -1上一点，则过p(x), y0)的双曲线切线方程为xx -= 1 ；a ba b 设P(x0,y°)是抛物

5、线y2 =2px上一点，则过P(x0,y°)的抛物线切线方程为y°y二p(x 心)；七. 函数的单调性：若函数f在(a,b)内可导，贝U f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f '(x)二0 ( f'(x)兰 0 )，x%)。八. 函数的极值：1. 定义：已知函数y二f(x)及其定义域内一点X。，对于存在一个包含X。的开区间内的所有点x，如果都有f (x)< f (xo)则称函数y二f(x)在点xo处取得极大值，记作y极大值二f(xo)，并把xo称为函数y=f(x)的一 个极大值点；如果都有f(x)>f (xo) y2 = R2上一点，则过P

6、(xo,y。)的圆切线方程为xoX y°y = R2;2 2 设P(x0,y°)是椭圆xr与/上一点，则过点P(x0,y。)的椭圆切线方程为x02 呼 可;a ba b则称函数y二f (x)在点xo处取得极小值，记作y极大值工f(X)，并把xo称为函数y = f (x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 注意:(1) .函数y=f(x)的最大(小)值是函数在指定区间内的最大(小)值；(2) .极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内 或所研究问题的整体性质。2. 极值的必要条件：若函数f在xo可导，且在xo

7、处取得极值，则f'(xo)=O。九. 两个重要的极限:sin xx6三、典例精讲例1. (2011复旦)设a为正数，f (x) -x3 -2ax2 a2，若f (x)在区间(0,a)上大于0，则a的 取值范围是()。(A) (0,1( B) (0,1)(C) (1,(D) 1,二)?答案：A?分析与解：f'(x) = 3x2-4ax，当(0, a)时，f'(x) ： 0，所以f (x)在(0, a)上单调递减，所以f(x)在(0,a)上大于0,当且仅当f(a)_ 0,即a3 - 2a3 a2 _ 0,0 ： a乞1 例2. (2011“华约”)已知y=x3-x2-2x，

8、1，过(-1,1)的直线与该函数图像相切，且(-1,1)不是切点，求直线斜率。?分析与解：显然(-1,1)在y =x3-x2-2x1的图象上。设切点为(心冷3 - x。2- 2x01)，3 2 2y'心g '所以k沁2沁一2。另一方面，-匕即=冷(冷-2)。所以 x°(x0 -2) =3冷2 -2x° -2， 2x02 =2,冷二 1，而 x -1，所以 x° = 1，所以k 。例3. (2010南开)求证:3xsin x x , x0-10,2x3 ?分析与解：令f (x) =sinX X JIx - io,6 i I 2丿1 2，贝U f (0

9、) = 0. f '(x)二 cosx -1 £ x ，f "(x) = -sin x x。由三角不等式x>sinxLl引，由 f''(x ) . 0知 f'(x)单调递增。又f'(0)二0,f '(x) - 0,从而f(x)单调递增。3所以，f (x) . f (0) = 0，即 sin x x-。得证。63xx -6357?注：在高等数学中sin x的泰勒展开式为：sin x=x-x x x (-： x ：)。3!5!7!为其前两项。例4. (2003复旦)已知过两抛物线G :x 1 =(y-1)2,C2 ：( y-

10、1)2 =-4x a 1的交点的各自的 切线互相垂直，求a。 2?分析与解：联立X (y_1) ,2r x +a +1 = (y -1)得交点坐标为a,1a5o对C2 求导，有：2(y -1)y'二-4,y-2 。y-1由对称性，不妨设切线在 a, . a 1处互相垂直55 丿，故 11-1= a 二 0。1 1它们切线的斜率分别为p=2 fa例5.(2009清华)一元三次函数f (x)的三次项系数为-，f '(x) 9x 0的解集为(1,2)。 3(1)若f'(x) 70有两个相等实根，求f'(x)的解析式；若f(x)在R上单调递减，求a的范围a?分析与解：

11、设 f (x)x3 bx2 cx d ,贝Uf' (x )2 a x 2 ,b x c32f '(x) 9x 二 ax 2bx c 9xf '(x) 9x . 0 的解集为(1,2)，故有 a ：. 0，且 a 2b c 9一0,得 2b - -3a 9, c = 2a。4a +4b + c +18 = 0,(1) f'(x) 7a =ax2 -(3a 9)x 90 ，f'(x)7a=0 有两 个相等 实根，2 2 : =(3a 9)2 -36a2 =0整理得 a2 -2a -3 =0,a 二-1 或a =3 (舍去)，2b =-6,c = -2，所以

12、f'(x) =-x2 - 6x- 2。(2) f '(xax2 2bx ax2 -(3a 9)x 2a，要使 f (x)在 R 上单调递减，只需ax2(3 a 9)x2a辽0在R上恒成立即可，故只需la <0,awO,3 c0,A <0(3a9)24ax2aE0、a2+54a+81 兰 0解得-27 -18.2"冬-27 18 .2，所以 a 的范围为 -27 -18.2 la 乞-27 18. 2。例6 . ( 2010武大)已知f(x)是定义在区间(0,=)上的可导函数，满足f(x) 0，且f (x) f '(X) ： 0(1) 讨论函数F(x

13、)=exf(x)的单调性；(2) 设0 x : 1，比较函数xf (x)与-fl1的大小。x lx丿?分析与解：(1)由于 F'(x)=exf(x) exf'(x) = ex(f(x) f'(x)：0。所以 F(x)在(0,上单调递减。1 门、(2)当 0 ：x ：1 时，有 xf(x) -f -。证明如下：x lx丿、1丄 dd注意到，当 0x ：1 时，x ，故由(1)可得 exf (x)exf i -，即f(x) ex f ixlx丿lx丿下证e汀丄，即证1-x 2l nx 0。xx1为此，考虑函数 g(x) x 2ln x, 0 ： x ： 1。x因为，当0 .

14、 x : 1时，有g (x)=12-1 2xxx(x")2 <0，所以g(x)在(0,1)上单调减少，故g(x) . g(1)=0，即(X I，即 xf (x) >例 7. (2011 “卓越联盟”)(1)设 f (x) = xln x，求 f '(x)设0：a：b，求常数C，使得 b|l nx-C|dx取得最小值; b a；(3)设(2)中的最小值为ma,b，证明ma,b£ln2。1?分析与解：(1) f '(x) = ln x x ln x 1 ； x(2)若 C 空lna，则 |ln x-C|=ln x-C，显然，当 C = ln a,ln

15、 x-C取最小;若 C _ln b，贝U | In xC |= Cln x，当 C = In b,CIn x取最小。故不妨设ln a二C二ln b。1 b a|l nx-C|dx b _a aeCb -a IIba (C -ln x)dx ec(lnx -C)dx1ecb - a Nb.a (C 1)-(lnx 1)dxec(ln X 1)-(C 1)dx。ccceeeCeC由(1)知 (C 1)-(l nx 1)dx 二(C 1)dx- (l nx 1)dx = (C 1)(eC -a)-xl nx|；， 'a“a'abbb因 c(ln X 1)-(C 1)dx 二 c(ln

16、x 1)dx- °(C 1)dx = xln x|bc -(C 1)(b-eC)，eeee所以丄bab1Ca|lnxC|d"b1；(alna blnb 2e nbb)(*)记 g(C)二 al na bl nb 2eC - (a b)C - (a b)，令 g'(C) =2eC -(a b) =0，得 C =ln即cn¥时,1b ab|ln x _C | dx取最小值。a(3) 将 C =n _-代入(*)式右边，mab = ialna+blnb_(a + b)ln _ l n 2= al na2 ， ba2 a +bbln b (a b)ln(b a)l

17、n 2：= a ln a bln b 2aln 2 ： (a b)ln( a b)二 2aln 2 ： aln(a b)2-a ln a bln(a b) -bln b：= 2a ln 2 ： aln1 b blnaia b1 b aln2。 a由于 0 ： a ： b, b 1 2，所以 alnaF面只须证明blni1j-.aln2即可。I b丿(b fal n2<bln 1占 ln 2<=ln 1+-I b丿a I b丿1 令t (0,1)，则 bln 1 a =3=ln(1ty， ba . b t1注意到函数ln(1 t)1是单调递减的，且t <1。1 1所以 ln(1

18、 t)tln(1 1)1 =ln 2，得证。四、真题训练1. （2006武大）如果定义在R上的函数f（x） =ax（2008南大）函数f（x）=ex-ln（1 x） 2的单调减区间为 。 bx2 cx（a =0）的单调递增区间为（-1,1），那么实数a,b,c的大小关系是（）（A） a b c（ B） b c a（ C） a c b（ D） c b a2. （ 2007武大）在曲线y =-x3-x 7的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）。32（A） y=0（ B） y=1（ C） x y-1=0（ D） x-y 034. （2008武大）求常数a，b的值使呱亡-占“5. （2000上海交大）

19、若方程x'-27xm=0有3个不同实根，求实数 m的取值范围;26. （2000上海交大）设f（x）二X bx c,x 0在乂“处可导，且原点到f住）中直线的距离lx + m,x 乞 01为-，原点到f（x）中曲线部分最短距离为3,试求b,c,l,m的值（b,c 0）。3x7. (2007清华)求f(x)二巳的单调区间及极值。x8. (2008 武大)已知函数 f (x) = x2 旦(x = 0, a R)。x(1判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2, ：)上是增函数，求实数a的取值范围9. (2000 上海交大)已知函数 f (x)满足：f(x y)二 f (x) f

20、 (y) xy(x y)，又 f '(0) = 1， 求函数f(x)的解析式。(3) 求证：an为递减数列，且an 0恒成立。五、真题训练答案1. Df '(x 3ax2 2bx c。由题意知f'(x)=O的两根为-1，1，且注意到f (x)在(-1,1)上递增，故 a ：0。2bc由韦达定理，0,1 = b = 0, c - -3a 0= c b a。3a3a2. C y' =x2 -1，故过(心y。)的切线斜率为x。2 -1，即所有曲线的切线构成的直线系为2y-y°讥-忱-冷)。又怡2-1_-1，故x =0时斜率最小，此时y0 =1，切线方程为y-

21、1 - -x，即x y-1 = 0。3( 10,，、 x 1ex(1+x)-13. ( -1,0f '(x)二 e -x+11 +xx 0 时，ex 1,1 x 1，故 ex(1 x)1 0 ；x : 0 时，ex (0,1)，即 1 x < 1，故 ex(1 x) -1 ： 0 ；x = 0 时，ex(1 x) -1 =0。又函数定义域为(“，=)，所以单调减区间为(-1,0。4.分析与解答：2 2aba(1 x x)-b ax ax (a-b)3333，而 l i m (1 x =),0 故1-x 1-x31 -x31 -x3x：1u ma空a x (a-b)f 0 b=。由

22、i a limx 1 1 -x1 -x3Lim 乎2丿 C x+x +1-3a=1= a - 一 1,b = -3。，且设5. 分析与解答：记f (x) =x3-27x m, f (x) =0有3个根，则f'(x)=0应有两根xn x必，则f(xj 0 (如图所示)。令 f '(x) = 3x - 27 = 0= Xr - -3,X? = 3。x=-3时，f(x)有极大值，故 f(-3)0= m -54 ;x =3 时，f(x)有极小值，故 f(3) : 0= m -54。所以 -54 ： m :：: 54。6. 分析与解答：由题意知，f(x)在零点连续，且右导数与左导数相等，

23、则2lim (x bx c)二 limlx m)b=l,c 二 m又(0,0)到直线y =bx c距离为丄=一1 c| =丄=9cb2 1。3 3由于b, c 0,x2 bx c在0,=)上单调递增，故在曲线上与原点最近的点为所以 m=c=3,b=l =4、5。xx7. 分析与解答：令f'(x)二一 =0= x =1或e 1 时，f'(x)0= f(x)单调递增；0 x < 1 时，f'(x) ：0二 f(x)单调递减；x ：0 时, = 0 (显然不可能)。xf '(x) : 0, f (x)单调递减。故f (x)极小值为e ( x =1时取到),f(x

24、)在(一：,0)上单调递减，在(0,1)上单调递减，在 (1, -)上单调递增。8. 分析与解答：(1)对a进行讨论:a=0= f(x)=x2为偶函数；a0n f(x) = x2+ n f(x)=x2-一，对Px,f (x) =f (孑)f(R =f(冈不恒成立，故xxf(x)非奇非偶。(2)由题意，在x _2时,af'(x)=2x 2x2x - a3 0,a _(2X )min=16，即a的范围是(-：,169. 分析与解答：取x二y =0，则f(0) =0。2x令 x = y = 0，有 f(2x) = 2f(x) 2x3, f(2x) f x2* I(*)由f'(0) =1知，对a，R，有从而有f(x)x2x2f '2x2f xT 42_ xX 1642nx2n2n1x2* 12x?2n £J,门12时丿4 l 14丿丿f (a)af(a)-f(O)a -0f '(0) =1f(x)x23xx-1f(x)x33且 x=0 时 f(x) =0。10. 分