实数_知识点+习题型归纳

1、欢迎阅读第六章实数知识讲解+题型归知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2数轴：数轴的三要素原点、正方向和单 位长度。数轴上的点与实数 对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反 数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数， 负数的相反数是正数，零的相反数是零.性 质：互为相反数的两个数之和为 0。2. 绝对值：表示点到原点的距离，数 a的绝对 值为3. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实 数a的倒数为丄.0没有倒数。a4. 相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本 身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身 的数是土 1.I'三、平方根与

2、立方根1. 平方根：如果一个数的平方等于 a,这个数 叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反 数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根， 零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平 方。2. 立方根：如果一个数的立方等于 a,则称这 个数为a立方根。数a的立方根用3 a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方 根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根日疋零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把

3、绝对值相加；b）异号两数相加。绝对值相等时和为 0;绝对 值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用|a较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与 零相加等于原数。2. 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。F. u3. 乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝 对值相乘；零乘以任何数都得零.b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负 因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时， 积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0,积就为04. 有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正， 异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0 实数都得0。b）除以一个数等于

4、乘以这个数的倒数。5. 有理数的乘方：在an中，a叫底数，n叫指数a）正数的任何次幕都是正数；负数的偶次幕 是正数，奇次幕是负数；0的任何次幕都是0b）a0=1（ a 不等于 0）6. 有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方， 接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于 左边的点表示的数2）比差法：若a-b>0则a>b;若a-b<0则a<b; 若 a-b=0 贝U a=b 3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b;a/b<1 则 a<bB. 两个数均为

5、负数时，a/b>1则a<b； a/b<1 贝U a>bC. 一正一负时，正数 >负数4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反'lI I5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论 正负）题型归纳经典例题 类型一有关概念的识别i.下面几个数： 0. 23 ，22匕旧，3n， ，仁，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3，3 n，】是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、-的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1 C - = ± 1 D、丁是 5 的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方

6、根、算术 平方根、立方根的概念，心l =9，9的平方根是土 3，二A正确. 1的立方根是1，的=1，"是5的平方根，二B、C、D都不正确.【变式2】如图，以数轴的单位长线 段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆 心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴 正半轴于点A，则点A表示的数是（）101 A 2A、仁B、1.4C、厂D、【答案】本题考察了数轴上的点与全 体实数的对应的关系.正方形的边长为1,对角线为匸，由圆的定义知|AO|=，二A表示数为 二，故选C.【变式3】刃：w 1听【答案】 n = 3.1415，二 9V3nV 10因止匕 3n -9>0，3n -10V0伽血+細“)2

7、 =1'3)点A在数轴上表示的数为-,点B在数轴上表示的数为 -类型二计算类型题0 2设上，则下列结论正确 的是()A. ' I ' - ' - .B.5.0 <a <5.5C. : j '； ' : I'D.6.0 <a <6.5解析：(估算)因为-所以选B举一反三：【变式1】1)1.25的算术平方根是；平方根是.2)-27立方根是. 34士施二? ?迺+迈 厂2【答案】1)二；一 一 .2) -3. 3)， 2 1二“±13 TI I【变式2】求下列各式中的：(1) '二严(2)：(3) 二【

8、答案】（1）-（ 2） x=4或x=-2（3） x=-4类型三数形结合A, B两点的距离为解析：在数轴上找到A、B两点，|AB| = 4j5举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1,匸 的对应点分别为A，B，点B关于点A的 对称点为C,则点C表示的数是().? 1 J2 一 A 一.丄 鼻o c a nA.庞-1 B. 1 羽 C. 2-旋D.'厂-2【答案】选C变式2已知实数、1在数轴上 的位置如图所示：?nr化简2e-a +卜一町一”+引一 a-c-b【答案】：一；b类型四.实数绝对值的应用4.化简下列各式：I(1) | J -1.4】| |n -3.1421(3) I 二；| |x

9、-|x-3| (xw 3)2(5) |x +6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要 弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是 零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对 值。' =1.414V 1.4i| 匸-1.4一 |=1.4一-匸 v n =3.14159V 3.142 |n -3.142|=3.142-n v 丄 V ；,二 | 丄-.；|= J J(4) v x< 3, x-3< 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3|3- 2x (x <)=1 2说明：这里对|2x-31的结果采取了分类 讨论的方法，我们对卜卜如0)V °) 这个绝

10、对值的基本概念要有清楚 的认识，并能灵活运用。2 2 2(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|2 2v (x+3) > 0, (x+3) +1> 02 2- |x +6x+10|= x +6x+10举一反三：【变式1】化简： 炉2婀+憾+再4別謁【答案】,'"'=-, _ +- .1 _ . - - .1 _类型五.实数非负性的应用05.已知:数a, b的值。疋-49|-iZT? =o, 求实分析：已知等式左边分母-不能为o, 只能有丄>0,则要求a+7>0,分子 'r _2+|a-49|=0，由非负

11、数的和的性质知：3a-b=03a - t = 0=0且 工49=0,由此得不等式组1"'从而求出a, b的值。3a - £? = 0(1)=.0.解：由题意得a + 7 > 0丄耳由得 a2=49 a=± 7由得a>-7, a=-7不合题意舍去 只取a=7把a=7代入 得b=3a=21- a=7, b=21 为所求。举一反三：【变式1】已知(x-6)2+ '二；亠+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值。解：v (x-6)2+ '''+|y+2z|=0且(x-6)2> 0,二> 0, |y+2z

12、|>o,几个非负数的和等于零，则必有每个 加数都为0。6 = U ?: = 62x-= 0= 2丿+熬=0解这个方程组得 干13333 (x-y) 3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【变式2】已知石刁+0+5)'+”+1|二0那么a+b-c的值为【答案】初中阶段的三个非负数：| ,a2 >0, |>0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六.实数应用题a6.有一个边长为11cm的正方形和 一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个 面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm,根据题意得x2=112+

13、13X 8欢迎阅读(2)(3)当 x=0 或 2 时，- U(4)2 x =225x= ± 15边长为正， x=-15不合题意舍去，只取 x=15（cm）答：新的正方形边长应取15cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个 长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并 且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方 形。（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明 的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间 小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比 小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的 边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长 是：2 一： ，所

14、以面积为大正方形的面积 =， 一个长方形的面积=兀。所以，（迄+掰二©-期+4必大正方形的边长：一，小 正方形的边长：-3，即又：大正方形的面积比小正 方形的面积多24 cm2所以有，.一-：）二二 化简得：_!将i -代入，得：.'： -I* 三r ' - -I* /'j.Xa 41.5= 2.5 cmr ；= i:答：中间小正方形的边长2.5类型七易错题7 判断下列说法是否正确（1）；厂；的算术平方根是-3;一二的平方根是土 15.-是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数故；'- J -（2） 心表示225的算术平方根,二

15、川+ 2ab +沪答：中间的小正方形的面积-'：，发现的规律是： 即二二=15.实际上，本题是求15的平方根， 故仁二的平方根是-.（3）注意到，当x=0时，-=一川一 -_，显然此式无意义，欢迎阅读发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故XM 0,所以当x=2 时,XU、=0.(4) 错在对实数的概念理解不清-形如分数，但不是分数，它是无理数.i| i设x 0.10 ?则-，得999x=107，0J07 =107弼.类型八引申提高8.( 1)已知.的整数部分为a, 小数部分为b，求a2-b2的值.(2)把下列无限循环小数化成分数：一 1-(1)分析：确定算术平方根的整数部分 与小数部分，首先判断