北师大版九下数学第一章单元测试题

1、北师大版九下数学第一章单元测试题一选择题（共10 小题）1如图，在Rt ABC 中， BAC=90 °， AD BC 于点 D ，则下列结论不正确的是（）ABCD2在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）A BCD 23在 ABC 中，C=90 °，a、b、c 分别为 A 、 B、 C 的对边， 下列各式成立的是 （）A b=a?sinB B a=b?cosB C a=b?tanB D b=a?tanB4 sin30°的值为（）A BCD5已知 为锐角，且 sin=，那么 的余弦值为（）A BCD6在 ABC 中，若 | sinA |+ （2） tanB

2、） =0 ，则 C 的度数为（A 30° B 60° C 90° D 120°7已知 为锐角， sin（ 20°） =，则 =（）A 20° B 40° C 60° D 80°8在 Rt ABC 中， C=90°， sinA=，BC=6 ，则 AB= （）A4B6C8D109如图，点P 在第二象限， OP 与 x 轴负半轴的夹角是，且 OP=5，cos=，则点 P 坐标是（）A （ 3， 4）B （ 3， 4）C（ 4， 3）D（ 3， 5）10如图ABC中， tanC=，DE AC ，若CE=

3、5，DE=1 ，且 BEC的面积是ADE面积的10 倍，则BE的长度是（）A tBCD二填空题（共10 小题）11如图， ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=12在 ABC 中， C=90 °，AB=13 ， BC=5 ，则 sinA 的值是13在 RtABC 中， C=90 °，如果 AC=4 ， sinB= ，那么 AB=14 tan60°=15已知在 Rt ABC 中， C=90 °， tanA= ，则 sinA=16计算 tan1°?tan2°?tan3° ?tan88°?tan89°

4、;=17求值： sin60° tan30°=18如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A 的坐标为（1， 0），ABO=30 °，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA 的边按 OB A O 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动， 如果 PQ=，那么当点 P 运动一周时， 点 Q 运动的总路程为19已知 ABC 中， tanB=， BC=6 ，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点D，且满足 BD ：CD=2 ： 1，则 ABC 面积的所有可能值为20已知点 P 是 ABC 内一点，且它到三角形的三个顶

5、点距离之和最小，则P 点叫 ABC的费马点（ Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120°的 ABC 中，当 APB= APC=BPC=120 °时， P 就是 ABC 的费马点若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PD +PE+PF=三解答题（共10 小题）21 ABC 中， C=90 °， BC=3 ，AB=5 ，求 sinA ， cosA， tanA 的值22计算： 4sin45° 2tan30°cos30°+23计算：24在锐角 ABC 中， AB=15 ， BC=14 ， SABC =84

6、 ，求：（ 1） tanC 的值；（ 2） sinA 的值25如图，在正方形ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE=3AE ，试求 sin ECM 的值26在 ABC 中， B 、 C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=27如图，四边形ABCD 是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据： A=90 °， ABD=60 °， CBD=54 °， AB=200m ， BC=300m 请你计算出这片水田的面积（参考数据： sin54° 0.809， cos54°0.588， tan54° 1.376， 1.732）28如图

7、，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分ABC ，若CD=3 ，BD=，sin DBC=，求对角线AC的长29如图， ABC 中， ACB=90 °，sinA=，BC=8 ，D 是 AB 中点，过点B 作直线 CD 的垂线，垂足为点E（ 1）求线段 CD 的长；（ 2）求 cosABE 的值30如图，在 ABC中，CD是边AB上的中线， B 是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos CDB的值北师大版九下数学第一章单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共10 小题）1（ 2016?乐山）如图，在Rt ABC 中， BAC=90 °，A

8、D BC 于点 D，则下列结论不正确的是（）A BCD【分析】 根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】 解：在 RtABC 中， BAC=90 °， sinB=，AD BC，sinB=，sinB=sin DAC=，综上，只有C 不正确故选： C【点评】 本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义2（ 2016?东方校级模拟）在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）ABCD2【分析】 此题可以根据 “角的正切值 =对边÷邻边 ”求解即可【解答】 解：由图可得，tan=2÷ 1=2故选 D【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解

9、正切值的含义是解决此题的关键3（ 2016?澄迈县二模）在ABC 中， C=90°，a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，下列各式成立的是（）A b=a?sinB B a=b?cosB C a=b?tanB D b=a?tanB【分析】 根据三角函数的定义即可判断【解答】 解： A 、 sinB=， b=c?sinB，故选项错误；B、 cosB=， a=c?cosB，故选项错误；C、 tanB=， a=，故选项错误；D、 tanB=， b=a?tanB，故选项正确故选 D【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，

10、正切为对边比邻边4（ 2016?无锡） sin30°的值为（）ABCD【分析】 根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值【解答】 解： sin30°=，故选 A【点评】 本题考查特殊角的三角函数值， 解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少5（ 2016?闵行区一模）已知为锐角，且sin=，那么 的余弦值为（）ABCD【分析】 利用平方关系得到cos=，然后把 sin=代入计算即可22【解答】 解： sin +cos =1，cos=故选 D22【点评】 本题考查了同角三角函数的关系：sinA +cos A=1 6（ 2016?安徽四模） 在 ABC

11、中，若 | sinA |+（2） tanB） =0，则 C 的度数为 （A 30° B 60° C 90° D 120°【分析】 先根据非负数的性质求出sinA= ，tanB=，再根据特殊角的三角函数值即可求解【解答】 解： | sinA |+ （2， tanB） =0| sinA | =0，（ tanB） 2=0，sinA =0， tanB=0 ，sinA=， tanB= A=30 °， B=30 °， C=120°故选 D【点评】 本题考查的知识点为： 考查了非负数的性质； 考查了三角形内角和为180°； 考查

12、了特殊角的三角函数值7（ 2016?罗定市一模）已知为锐角， sin （ 20°） =，则 =（）A 20° B 40° C 60° D 80°【分析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可【解答】 解： 为锐角， sin（ 20°）=， 20°=60 °，=80 °，故选 D【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目8（ 2016?兰州）在Rt ABC 中， C=90°， sinA=， BC=6 ，则 AB= （）A4B6C8D10【分析】 在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数

13、定义表示出 sinA ，将 sinA 的值与 BC 的长代入求出 AB 的长即可【解答】 解：在 RtABC 中， C=90°， sinA=， BC=6 ，AB=10，故选 D【点评】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键9（ 2016?石家庄一模）如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是，且OP=5，cos=，则点 P 坐标是（）A（3，4）B （ 3， 4）C（ 4， 3）D（ 3， 5）【分析】 过点P 作PA x轴于点A ，过点P 作PB y 轴于点B，根据OP=5， cos=可求出 OA ，再根据勾股定理可求出 PA，由此即可得出点 P

14、 的坐标【解答】 解：过点 P 作 PAx 轴于点 A ，过点 P 作 PB y 轴于点B ，如图所示OP=5， cos=，OA=OP ?cos=3，PA=4，点故选P 的坐标为（ B 3， 4）【点评】 本题考查了解直角三角形以及点的坐标，解题的关键是：求出OA ，PA 的长本题属于基础题， 难度不大， 解决该题型题目时， 构建直角三角形通过解直角三角形来找出点的坐标是关键10（ 2016?涪城区模拟） 如图ABC中， tan C=，DE AC ，若CE=5，DE=1 ，且 BEC的面积是ADE面积的10 倍，则BE 的长度是（）A tBCD【分析】 作辅助线 BF AC ，根据题目中的数据

15、利用三角形相似和勾股定理可以分别求得 BF 、EF、 BE 的长度，本题得以解决【解答】 解：作 BF AC 于点 F，如右图所示， CE=5 ， DE=1 ，且 BEC 的面积是 ADE 面积的 10 倍， DE AC ，即，解得， BF=2AE ，设 AE=a ，则 BF=2a， DEAC ，BFAC ， ADE ABF ，即，得 AF=2a 2， EF=2a2 a，tanC=， tanC=， BF=2a，解得， CF=4a， CE=CF +EF ， CE=5 ，即 5=4a+2a2a，解得， a=1 或 a= 2.5（舍去）， BF=2 ， EF=1 ，BE=，故选 C【点评】 本题考查

16、直角三角形， 解题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答二填空题（共10 小题）11（ 2016?新化县一模） 如图， ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则 cosC=【分析】 先构建格点三角形ADC ，则AD=2 ， CD=4 ，根据勾股定理可计算出AC ，然后根据余弦的定义求解【解答】 解：在格点三角形ADC中， AD=2 ， CD=4 ，AC=，cosC=，故答案为：【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义：斜边的比值也考查了勾股定理在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与12（ 2016?永春县模拟）在ABC中， C=90 °，AB=13

17、， BC=5 ，则sinA的值是【分析】 利用锐角三角函数的定义求解，sinA 为 A 的对边比斜边，求出即可【解答】 解：在 ABC 中， C=90°， AB=13 ，BC=5 ，sinA=故答案为【点评】 此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边在直角三角形中，锐角的正弦为对边13（ 2016?昆明模拟）在RtABC 中， C=90°，如果 AC=4 ， sinB=，那么 AB=6【分析】 根据正弦函数的定义即可直接求解【解答】 解： sinB=，AB=6故答案是： 6【点评】 本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比

18、，理解定义是关键14（ 2016?黔东南州）tan60°=【分析】 根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可【解答】 解： tan60°的值为故答案为：【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键15（ 2016?路北区二模）已知在Rt ABC 中， C=90°， tanA=，则 sinA=【分析】 根据 tanA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA 的值【解答】 解：在 RtABC 中， C=90°， tanA= = ，设 a=3x，则 b=4x ，则 c=5xsinA=故答

19、案是：【点评】 本题考查了同角三角函数的关系 求锐角的三角函数值的方法： 利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角 （或余角）的三角函数关系式求三角函数值16（ 2016?汉川市模拟）计算tan1°?tan2°?tan3° ?tan88°?tan89°=1【分析】 根据一个角的正切函数等于它余角的余切函数，根据同一个正切乘以余切的乘积为1，可得答案【解答】 解：原式 =cot89°?cot88°?cot87°?cot86°?tan86°?tan87°?tan8

20、8°?tan89° =（tan89°?cot89°） ?（ tan88°?cot88°）?（ tan87°?cot87°）?tan45°=1故答案为： 1【点评】 本题考查了互余两角三角函数的关系，数是解题关键利用一个角的正切函数等于它余角的余切函17（ 2016?闸北区一模）求值：sin60° tan30°=【分析】 根据 sin60°=， tan30°=得到原式 =，然后通分合并即可【解答】 解：原式 =故答案为【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值：sin60

21、°=， tan30°=也考查了二次根式的运算18（2016?舟山）如图，在直角坐标系中， 点 A ，B 分别在1，0）， ABO=30 °，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动， 如果点 Q 运动的总路程为4x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为 （ OBA 的边按 OBA O 运动一 PQ= ，那么当点 P 运动一周时，【分析】 首先根据题意正确画出从OBA 运动一周的图形，分四种情况进行计算： 点P 从 O B 时，路程是线段PQ 的长； 当点 P 从 B C 时（ QC AB ，C 为垂足），点 Q 从O

22、 运动到 Q，计算 OQ 的长就是运动的路程； 点 P 从 CA 时，点 Q 由 Q 向左运动，路程为 QQ ； 点 P 从 A O 时，点 Q 运动的路程就是点P 运动的路程；最后相加即可【解答】 解：在 RtAOB 中， ABO=30 °， AO=1 ，AB=2 ， BO=， 当点 P 从 OB 时，如图1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为， 如图 3 所示， QC AB ，则 ACQ=90 °，即 PQ 运动到与 AB 垂直时，垂足为 P，当点 P从BC时， ABO=30 ° BAO=60 ° OQD=90 ° 60°=30

23、°cos30°=AQ=2OQ=2 1=1则点 Q 运动的路程为QO=1 ， 当点 P 从 CA 时，如图3 所示，点Q 运动的路程为QQ=2 ， 当点 P 从 A O 时，点 Q 运动的路程为AO=1 ，点 Q 运动的总路程为：+1+2+1=4故答案为： 4【点评】 本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题19（ 2016?盐城）已知ABC中， tanB=，BC=6 ，过点A 作BC边上的高，垂足为点D，且满足 BD ：CD=2 ： 1，则 ABC 面积的所有可能值为8 或

24、 24【分析】 分两种情况，根据已知条件确定高AD 的长，然后根据三角形面积公式即可求得【解答】 解：如图1 所示：BC=6 ， BD ：CD=2 ： 1，BD=4 ，AD BC ， tanB=，=，AD=BD=，SABC =BC ?AD=× 6×=8；如图 2 所示： BC=6 ， BD ：CD=2 ： 1， BD=12 ，AD BC ， tanB=， = ，AD=BD=8 ，SABC =BC ?AD=× 6× 8=24；综上， ABC 面积的所有可能值为8或 24，故答案为 8 或 24【点评】 本题考查了解直角三角形， 以及三角函数的定义，三角形面

25、积，分类讨论思想的运用是本题的关键20（ 2016?株洲）已知点P 是 ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 ABC 的费马点（ Fermat point ）已经证明：在三个内角均小于120°的 ABC 中，当 APB= APC= BPC=120°时，P 就是 ABC 的费马点 若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则PD+PE+PF=+1【分析】 根据题意首先画出图形，过点D 作 DM EF 于点 M ，过 E、 F 分别作 MEP= MFP=30 °就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM ，

26、DP 的长，进而得出答案【解答】 解：如图：等腰RtDEF 中， DE=DF=，过点 D 作 DM EF 于点 M ，过 E、 F 分别作 MEP= MFP=30 °，则 EM=DM=1 ，故 cos30°=，解得： PE=PF=，则 PM=，故 DP=1，则 PD+PE+PF=2×+1=+1故答案为：+1【点评】 此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE 的长是解题关键三解答题（共10 小题）21（ 2015 春 ?西安校级月考）ABC 中， C=90°， BC=3 ，AB=5 ，求 sinA ， cosA ，tanA的值【分析】 首先利用勾

27、股定理求得AC 的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答【解答】 解： Rt ABC 中， C=90°，BC=3 ， AB=5 ，AC=4，sinA=；cosA=；tanA=【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边22（ 2016?徐汇区一模）计算：4sin45° 2tan30°cos30°+【分析】 根据特殊角的三角函数值进行计算即可【解答】 解：原式 =4× 2××+=2 1+2=2+1【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算

28、能力，是各地中考题中常见的计算题型23（ 2016?宝山区一模）计算：【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解【解答】 解：原式 =+=+【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值24（ 2015 春 ?凉州区校级月考）在锐角ABC 中， AB=15 ， BC=14 ， SABC =84 ，求：（ 1） tanC 的值；（ 2） sinA 的值【分析】（1）过 A作 AD BC 于点 D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了（2）同理作 AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA

29、 的值【解答】 解：（1）过 A 作 AD BC 于点 DSABC = BC ?AD=84 ， × 14× AD=84 ，AD=12 又 AB=15 ，BD=9 CD=14 9=5在 Rt ADC 中， AC=13，tanC=；（ 2）过 B 作 BEAC 于点 E SABC = AC ?EB=84 ，BE=，sin BAC=【点评】 考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用25（ 2016?厦门校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE=3AE ，试求 sin ECM 的值【分析】 依题意设 AE=x ，

30、则 BE=3x ，BC=4x ， AM=2x ， CD=4x ，先证明 CEM 是直角三角形，再利用三角函数的定义求解【解答】 解：设 AE=x ，则 BE=3x ， BC=4x ， AM=2x ， CD=4x ，EC=5x ，EM=x，CM=2 x，222，EM +CM =CE CEM 是直角三角形，sin ECM=【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法 关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解26（ 2014?黄冈模拟）在ABC 中， B 、 C 均为锐角，其对边分别为b、 c，求证：=【分析】 如图，过 A 作 AD BC 于 D，如果利用三角函数可以分别在

31、可以得到 sinsB，sinC 的表达式，由此即可证明题目的结论【解答】 证明：过 A 作 AD BC 于 D，ABD和 ADC中在 Rt ABD中， sinB=，AD=ABsinB，在 Rt ADC中， sinC=， AD=ACsinC ， ABsinB=ACsinC ，而 AB=c ， AC=b ， csinB=bsinC ，=【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边， 正切为对边比邻边 解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题27（ 2016?梧州）如图，四边形 ABCD 是一片水田，某村民小组需计算其面积，测

32、得如下数据： A=90 °， ABD=60 °， CBD=54 °， AB=200m ， BC=300m 请你计算出这片水田的面积（参考数据： sin54° 0.809， cos54°0.588， tan54° 1.376， 1.732）【分析】 作 CM BD 于 M ，由含 30°角的直角三角形的性质求出BD，由勾股定理求出AD ，求出 ABD 的面积，再由三角函数求出CM ，求出 BCD 的面积，然后根据 S 四边形ABCD =S ABD +S BCD 列式计算即可得解【解答】 解：作 CM BD 于 M ，如图所示：

33、 A=90 °， ABD=60 °， ADB=30 °，BD=2AB=400mAD=AB=200，m， ABD的面积=× 200× 200=20000（ m2）， CMB=90 °， CBD=54 °，CM=BC ?sin54°=300×0.809=242.7m ， BCD 的面积 =× 400×242.7=48540 （ m2），这片水田的面积=20000+4854083180（ m2）【点评】 本题考查了勾股定理，由含 30°角的直角三角形的性质，三角函数的运用；熟练掌握

34、勾股定理，由三角函数求出 CM 是解决问题的关键28（ 2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分 ABC，若 CD=3 ， BD=， sin DBC=，求对角线AC的长【分析】过 D 作 DEBC 交DE=2，推出四边形ABCDBC 的延长线于 E，得到 E=90°，根据三角形函数的定义得到是菱形，根据菱形的性质得到 AC BD ，AO=CO ，BO=DO=，根据勾股定理得到结论【解答】 解：过 D 作 DE BC则 E=90°，交 BC的延长线于E，sin DBC=，BD=，DE=2， CD=3 ， CE=1 ， BE=4 ， BC=3 ，BC=CD ， CBD= CDB ，BD 平分 ABC ， ABD= DBC ， ABD= CDB ，AB CD，同理