八年级数学下册7.6立方根开方运算中的数学思想素材(新版)青岛版

1、 开方运算中的数学思想 数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策 略.熟练掌握数学思想对于提高分析与解决问题的能力具有重要作用. 开方运算中所涉及的 数学思想方法较多，现例述如下. 一、转化思想 转化思想是指在研究和解决有关数学问题时， 通过某种方式与手段将复杂的问题转化为 简单的问题，将难解的问题转化为易于求解的问题，将未知的问题转化为已知的问题 例 1 化简-3）的结果是（ ）. A. 3 B 3 C. 土 3 D . 9 分析：根据开平方运算的性质 .a2 =| a|，可把求算术平方根的运算转化为绝对值的计 算问题. 解：；（-3） 2 =| 3|=3 .

2、选 A. 二、数形结合思想 数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、以形助数，把数与形结合起来分 析问题的一种思想方法应用数形结合思想解题，为分析问题和解决问题创造了有利条件， 可使复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，收到简捷、明快之功效 例 2 如图 1，数轴上A, B两点表示的数分别为 1 和3，点B关于点A的对称点为点 C,则点C所表示的数是（ ）. 0 C A B A. ,3 1 B . 1 .3 图 1 C. 2 .3 D . .3 2 分析与解：不妨设原点为 0,根据题意，结合图形可知， 0（=0A_ AC=OA-AB=OA-（OB- 0A=2 0A- 02 .3，即点C所表

3、示的数是 2 .3，选 C. 三、方程思想 所谓方程思想， 是指对所要求解的数学问题， 利用已知量和未知量之间的数量关系构建 方程 （组） ，通过解方程（组）使问题获解的思维方式 方程思想是中学数学中非常重要的 思想方法之一，它的应2 用十分广泛. 例 3 已知一个数的平方根是 3a+1 和a+11，求这个数的立方根. 分析：由于正数的两个平方根互为相反数，所以它们的和为 0,由此可通过解方程先求 得a值，进而易求该数. 解：根据题意，得方程 3a+1+a+1 仁 0.解得a= 3. 所以这个数是(3+11) 2 =64. 3 64 =4. 答：这个数的立方根是 4. 四、分类讨论思想 当被研

4、究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，必须按出现的所有情况来分别讨论， 得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方式就是分类讨论思想 分类时不重复、 不遗漏，是分类讨论的基本要求 例 4 阅读材料，解答下列问题. 例：当a0 时，女口 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0 时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当av0 时，女口 a= 6 则|a|=| 6|=6= ( 6)，故此时 a的绝对值是它的相反数. a 当a 0 I 综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 a=0 当a = 0 -a 当 acO 这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想. 问：(1)请仿照例中的分类讨论的方法，分析实数 .a2的各种展开的情况. (2)猜想a2与|a|的大小关系. 分析：该例阅读材料中已经给出了分类探索 .a2的值的方法，考生只需按部就班地借 助特殊值分析与验证当 a分别为正数、负数、0 三种情况下的化简结果，并发现规律，很好 地展现了分类讨论思想在解决问题中的妙用. 解：(1 )当a0 时，女口 a=8 则a2= 82=8，故此时 a2等于它本身； 当a=0 时，.a2 =0,故此时.a2等于零； 当 av 0 时，女口 a= 8 则, a2 =(-8)2 =8= ( 8)，故此时 、a2 等